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⎧ ⎫ t

Δ Δ

T T −

ω φ ψ φ ψ

= + + − + − − − τ

Ar Ar

T t T t T T e

⎨ ⎬

( ) [cos( )] [cos( )]

C m stz r m stz r

, 0 0 , 0

ω τ ω τ

+ +

⎩ ⎭

2 2 2 2

1 1

T svanisce esponenzialmente nel tempo

Si noti che la dipendenza dalla temperatura iniziale 0

assieme al termine in parentesi graffa. Ciò vuol dire che dopo un certo numero di tempi

regime transitorio)

caratteristici (che misurano il la soluzione si riduce in buona approssimabile ai

regime periodico stabilizzato).

primi due termini (che caratterizzano il T

Nel regime periodico stabilizzato la temperatura della parete oscilla attorno al valore m,stz

(condizione di equilibrio per il regime stazionario) con la stessa pulsazione della forzante ma con

una riduzione dell’ampiezza (smorzamento) e un ritardo temporale (sfasamento) entrambi

dipendenti dalla pulsazione della forzante e dal tempo caratteristico della parete.

Δ ψ ωτ

T h 1 artan( )

≡ =

C stb ≡ =

A

a , r

t

r ω

ω

r

Δ +

T h h ω τ

+ 2 2

1

A A B

Concludiamo questa sezione valutando il flusso specifico scambiato ai due lati della parete nel

regime periodico stabilizzato:

ϕ = − =

t h T t T t

( ) [ ( ) ( )]

A stb A A C stb

, , Δ

h h h T

ω φ ω φ ψ

= − + Δ + − + −

A B A A

T T h T t t

( )( ) [ cos( ) cos( )]

A stz B stz A A r

+ , , 0 0

h h ω τ

+ +

h h 2 2

( ) 1

A B A B

ϕ = − =

t h T t T

( ) [ ( ) ]

B stb B C stb B

, , Δ

h h h h T ω φ ψ

= − + + −

A B A B A

T T t

( )( ) cos( )

A stz B stz r

+ , , 0

h h ω τ

+ +

h h 2 2

( ) 1

A B A B

Si osservi che i due flussi differiscono solo nei termini oscillanti (periodicamente) nel tempo,

mentre quelli constanti corrispondono al flusso che sarebbe scambiato in regime stazionario se le

condizioni al contorno fossero fissate ai loro valori medi. Di conseguenza è immediato verificare

che, poiché l’integrazione dei termini oscillanti su un periodo è nulla, su tale lasso di tempo

T

l’energia scambiata attraverso la parete corrisponde a quella che sarebbe scambiata in regime

stazionario tra i due ambienti mantenuti ai valori medi delle loro temperature:

π

T

1 2

ϕ ϕ

≡ =

t dt

( ) T ω

A stb A stb

, ,

T 0 h h

ϕ ϕ

= = −

A B T T

( )

A stb B stb A B

+

, , h h

A B 19

CONVEZIONE TERMICA (CENNI)

Per convezione termica si intende il meccanismo complesso di trasporto dell’energia che avviene

sia per conduzione (e radiazione) che per trasporto di massa. Tipicamente ciò si realizza in un fluido

e nel contatto tra un fluido e un solido.

La trattazione analitica della convezione richiede perciò lo studio del moto del fluido assieme con la

propagazione dell’energia. Il problema differenziale può essere impostato similmente a quanto

abbiamo fatto per studiare la conduzione nei solidi individuando un elemento del continuo materiale

e scrivendo per esso un’equazione di bilancio dell’energia (I principio della Termodinamica), ma

poiché si tratta di un fluido in movimento ad essa andranno aggiunte un’equazione di conservazione

della massa e le equazioni del moto (II princio della Dinamica).

Tutto ciò rende il problema differenziale molto complicato dal punto di vista analitico per cui

spesso si fa ricorso a correlazioni empiriche oppure a metodi di risoluzione numerica al calcolatore.

Per le finalità di questo corso sarà sufficiente richiamare alcuni elemeti descrittivo-qualitativi sul

regime di moto del fluido e la definizione dei parametri principali attraverso i quali vengono

generalmente espresse le correlzioni per lo scambio termico convettivo riportate in letteratura.

Anche per la convezione come per la conduzione i problemi possono essere classificati in funzione

convezione naturale,

delle “condizioni al contorno” o delle “forzanti”. Si distingue così tra in cui il

fluido è messo in moto dal campo gravitazionale per effetto di variazioni di densità (analogamente

convezione forzata

alla spinta di Archimede) dovute a variazioni di temperatura, e la in cui il campo

di velocità è imposto da altre forze esterne (per esempio da un ventilatore) dominanti rispetto alle

spinte di galleggiamento.

La formula di Newton

La formula di Newton è già stata introdotta nei paragrafi precedenti per fissare le condizioni al

contorno di un problema di conduzione, ovvero determicare lo scambio termico tra la parete e un

fluido. Si tratta di una relazione fenomenologica che permette di determinre il flusso termico

convettivo sulla superficie della parete date la temperatura della parete e la temperatura di

h

riferimento del fluido e noto il valore di un coefficiente , detto di scambio termico superficiale

cv

convettivo. ( )

ϕ

= ⋅ = ⋅ ⋅ −

Φ A h A T T

n cv s

dove: è la temperatura superficiale della parete (supposta uniforme).

Ts

∞ è la temperatura del fluido misurata ad una distanza dalla superficie solida tale che il

T

gradiente di temperatura nel fluido sia trascurabile (supposto l’andamento asintotico).

è la superficie della parete (supposta piana).

A 2

hcv

Relazione dalla quale si definisce (W/m K)

Φ

h

cv ⋅ −

A T T

( )

s hcv

Il problema convettivo in questi casi sta quindi nella determinazione di , che in generale

dipende dalle proprietà del fluido (conduttività termica, viscosità, densità, etc.) , dal moto (velocità)

20

e dalla rugusità della temperatura superficie lambita, e che per un alcune applicazioni di nostro

interesse è ricavabile da valori tabulati o correlazioni empiriche riportate in letteratura.

Valori del Coefficiente h

cv 2

Valori del coefficiente convettivo h W/(m K)

*

Aria convezione naturale 3 - 15

Aria o vapore surriscaldato in conv. forzata 15 - 300

Olio in convezione forzata 50 - 1700

Acqua in convezione forzata 300 - 12&000

Acqua in ebollizione 3000 - 55&000

Vapore condensante 5500 - 100&000

Tabella 2 – Valori del coefficiente di scambio termico superficiale convettivo

Il numero di Nusselt h

Generalmente il coefficiente convettivo è espresso in forma adimensionale dal numero di

cv

:

Nusselt, Nu ⋅

h L

= cv

Nu λ f

L

Dove la lunghezza caratteristica viene scelta a seconda della geometria del problema: per un

L = D;

condotto cilindrico è generalmente uguale al diametro idraulico del condotto per una lastra

L

piana di dimensioni finite lambita da un fluido in campo aperto può essere scelta come la

lunghezza della lastra etc. L

Dal punto di vista dell’interpretazione fisica il caso più interessante è dato dalla scelta di come

lunghezza caratteristica nella direzione del flusso, per esempio come una distanza efficace tra la

superficie solida della parete e la regione in cui la temperatura del fluido è quasi asintotica, oppure

come distanza tra due pareti separate da un fluido. In questa situazione infatti possiamo scrivere:

ϕ

R

L −

cd f

= ⋅ = = ≥

cv

Nu h 1

ϕ

cv λ R −

f cv f cd

Ovvero che il Numero di Nusselt rapresenta il rapporto tra il flusso convettivo che si innesca nel

fluido (dovuto a conduzione più trasporto convettivo) e quello che si avrebbe per pura conduzione

Nu

(fluido in quiete). Pertanto in questo caso non può mai esere minore di uno.

Convezione Forzata

Nella convezione forzata, cioè quando il campo di moto è imposto dall’esterno (

velocità media v

nota), il numero di viene generalmente correlato ad altri due numeri adimensionali,

Nusselt, Nu ,

, e attraverso funzioni della forma:

Reynolds, Re Prandlt, Pr = ⋅ ⋅

b c

a

Nu Re Pr 21

μ

ρ ν c

⋅ ⋅ L

v p

= =

= Pr

con Re e

μ λ

a

a, b c

dove e sono delle opportune constanti numeriche (empiriche e/o sperimentali)

ρ ν μ=ρν

è la densità del fluido, e sono rispettivamente la viscosità cinematica e dinamica,

c

è la diffusività termica e è il calore specifico a pressione costante.

a p

Convezione Naturale

Nella convezione naturale, cioè quando il campo di moto si sviluppa per effetto di forze di

galleggiamento (spinta di Archimede) dovute a gradienti di densità a loro volta dovuti a gradienti di

presssione, il numero di viene generalmente correlato ai numeri adimensionali di

Nusselt Prandlt,

e , attraverso funzioni della forma:

Pr Grashof, Gr = ⋅ ⋅

b c

a

Nu Gr Pr μ

ρ β β c

⋅ ⋅ Δ ⋅ ⋅ ⋅ Δ ⋅ ν

g T L g T L

2 3 3 p

= =

= = e

con Pr

Gr λ

μ ν

2 2 a

a, b c

dove e sono delle opportune constanti numeriche (empiriche e/o sperimentali)

ρ ν μ=ρν

è la densità del fluido, e sono rispettivamente la viscosità cinematica e dinamica,

c

è la diffusività termica e è il calore specifico a pressione costante.

a p 22

RADIAZIONE TERMICA

Due corpi a temperature diverse e non isolati scambiano tra loro energia per irraggiamento, ovvero

attraverso radiazione elettromagnetica (fotoni nella fisica dei quanti), che viene emessa e assorbita

dalla materia nelle transizioni tra i livelli energetici atomici e molecolari e che può propagarsi

attraverso un mezzo o nel vuoto. La propagazione dell’energia per irraggiamento, quindi, a

differenza della conduzione e della convezione, non necessita di un mezzo partecipe.

Nella prossima sezione si richiameranno le grandezze fondamentali atte a descrivere i fenomeni

radiativi e le leggi fisiche che legano l’emissione di radiazione termica alla temperatura dei corpi.

Per "radiazione termica" s’intende generalmente quella parte dello spettro elettromagnetico che

interessa solitamente i problemi di scambio termico e che può corrispondere all'intervallo di

λ μ λ μ

-1 2

: 10 m < < 10 m.

lunghezze d'onda

La radiazione termica ricopre quindi almeno parzialmente tre bande spettrali:

μ λ μ

-2

10 m < < 0.4 m

UV: μ λ μ

0.4 m < < 0.7 m

Visibile: μ λ μ

3

0.7 m < < 10 m

Infrarosso:

Grandezze fondamentali

Le grandezze che descrivono le proprietà della radiazione possono essere riferite ad una lunghezza

λ λ λ λ β φ

[ , + d ] ( , )

d'onda , all'interno di un intervallo e/o ad una direzione di osservazione

Ω

d

all'interno di un certo angolo solido .

Nel primo caso si parla di grandezze (o monocromatiche), nel secondo di grandezze

spettrali

. Si dicono invece le grandezze riferite all'intero spettro di lunghezze d’onda ed

direzionali totali Ω π

=2 sr.)

quelle valutate su un emisfero (

emisferiche

L’intensità della radiazione: la radianza β,φ

La potenza termica irradiata attraverso una superficie orientata nella direzione ( ) all’interno

dA

Ω

d

del cono è data da: r

r

β φ

Φ = Ω ⋅

d L d d A

( , )

Ω

rad

Figura: emisfero sovrastante la superficie di riferimento nel sistema di coordinate polari. 23

2 sr]

L è detta [W/m e fornisce l’intensità della radiazione (si noti che essendo la radianza

radianza

Ω Ω

intrinsecamente direzionale l’uso del pedice è ridondante e ha qui solo una funzione didattica nel

rimarcarne la natura).

Considerando quindi il sistema di coordinate polari riportato in figura, il flusso termico radiativo

proveniente da una superficie che raggiunge una superficie , comunque orientata, si ottiene

A A

1

x x

integrando il flusso infinitesimo valutato da a e a e tenendo conto dell’orientazione della

1 β β

superfici infinitesime e rispetto alla direzione di propagazione (indicando con e gli

dA dA 1

1

angoli tra le normali alle due superfici e la direzione di propagazione):

r r

L x x

r ( , )

∫∫ ∫∫

β φ β β β

Φ = Ω = Ω

L x dA d dA dA

1

( , , ) cos cos cos

r r

→ Ω

rad A A −

_ 1 1

x x 2

| |

1 1

r β

r r dA

r r r cos

β β φ

= − Ω = Ω = ⋅ =

r x x d sen d d d d

A 1 1

1 1 r

3 2

r

OSS: In questa trattazione è implicito che il mezzo di propagazione sia completamente trasparente,

“non partecipe”, alla radiazione, ovvero si ipotizza che tutta l’energia irraggiata che lascia dA

Ω

d

nell'angolo solido raggiunga , ovvero che:

dA

1 r r r β φ

=

L x x L x

( , ) ( , , )

Ω Ω

1

Sei parla di uniformità radiante della superficie se

r β φ β φ

=

L x L

( , , ) ( , )

Ω Ω

E di isotropia della radiazione se β φ =

L L

( , )

Ω Ω

Con riferimento alle proprietà spettrali della radiazione si definisce implicitamente anche l'intensità

λ

L ( )

della radiazione monocromatica, cioè la radianza associata a una certa lunghezza d'onda, Ω λ

,

μ

2

[W/m sr m] attraverso la relazione: λ 2

∫ λ λ

=

L L d

( )

λ λ λ

Ω Ω

,

[ , ] ,

1 2 λ

1

,λ ) la radianza associata a tale banda spettrale.

che fornisce per ogni coppia (λ

1 2

Analogamente la radianza totale è data dall’integrazione su tutto lo spettro della radianza

monocromatica: ∞

∫ λ λ

=

L L d

( )

λ

Ω Ω ,

0

Nel passaggio da grandezze direzionali a grandezze emisferiche è spesso utile precisare se si fa

riferimento alla radiazione che lascia una superficie o alla radiazione che incide su di essa. Si

definiscono dunque: 2

: la potenza termica radiativa emessa da una superficie unitaria (W/m ).

Eccitanza M

: la potenza termica radiativa che complessivamente, per emissione e per riflessione,

Radiosità J 2

lascia una superficie unitaria (W/m ) 24

2

: la potenza termica radiativa incidente su una superficie unitaria (W/m ).

Irradianza E

Per cui se consideriamo la radianza dovuta a un processo di emissione dalla superficie abbiamo:

dA

π π ∞

2

2 v

1 ∫ ∫ ∫∫ β φ λ β β β φ λ

= e

M L x dAsen d d d

( ) ( , , , ) cos

λ

Ω ,

A ∈

x A 0 0 0

Analogamente includendo nella radianza anche la radiazione che lascia dopo essere stata riflessa

dA

si ottiene al posto di .

J M π π ∞

2

2 v

1 ∫ ∫ ∫ ∫ β φ λ β β β φ λ

+

= e r

J L x dAsen d d d

( ) ( , , , ) cos

λ

Ω ,

A ∈

x A 0 0 0

β

cos

Si osservi che il termine proietta la superficie da cui la radiazione diparte sulla superficie

ortogonale alla direzione di propagazione, per cui ad esempio quando la direzione di osservazione è

nel piano della superficie emettente/riflettente il contributo risulta nullo.

L'irradianza su una superficie può essere ricavata in modo analogo considerando

A

1

simmetricamente la radianza proveniente da ogni elemento di una calotta emisferica e

dA

integrando rispetto a la radiazione contenuta negli angoli solidi infinitesimi puntati su :

dA A

1 1

π π ∞

2

2 v

1 ∫ ∫ ∫∫ β φ λ β β β φ λ

= i

E L x dA sen d d d

( ) ( , , , ) cos

λ

Ω , 1 1 1 1 1 1 1 1

A ∈

x A

1 0 0 0

1 1

Nel caso di radiazione isotropa e uniforme la radianza non dipende dalla direzione e dalla posizione

per cui si ottiene facilmente:

π

π ∞ ∞

2 2

∫ ∫ ∫ ∫

φ β β β λ λ π λ λ π π

= = = =

e e e e

M d d sen d L d L L M L

( ) ( ) ( )

( )

cos ( ) ( ) , ,

λ λ λ λ

Ω Ω Ω Ω

, ,

, 0

0 0 0 π π

+ +

= =

e r e r

J L J L

( ) ( )

, λ λ

Ω Ω ,

π π

= =

i i

E L E L

( ) ( )

λ λ

Ω Ω ,

L’interazione della radiazione con la materia

Per caratterizzare l’interazione tra la radiazione e la materia consideriamo una lastra sulla quale

E

incide una radiazione (irradianza) ipotizzata isotropa, ovvero prescindendo al momento dalle sue

caratteristiche direzionali. 25

E

Eτ Eρ

La radiazione termica che incide sul componente può essere:

E

parzialmente riflessa dalla superficie, ρ

E

parzialmente assorbita dal mezzo, α E

parzialmente trasmessa attraverso il mezzo, τ

Il rapporto tra queste quantità e la radiazione incidente definisce le seguenti proprietà globali:

ρ = E E

/

,

riflettanza ρ /Ε

α Ε

=

,

assorbanza α

τ Ε

=

,

trasmittanza τ ρ α τ

+ + = 1

da cui per conservazione dell’energia deve risultare:

Analogamente si possono definire la riflettanza, l’assorbanza e la trasmittanza spettrale

E , E , E

(monocromatica) come rapporto tra le rispettive quantità e l’irradianza

λ ρ λ α λ τ

, , ,

E

monocromatica , ovvero in termini di potenza incidente per unità di superficie e con lunghezza

λ λ

d’onda all’interno di un intervallo unitario attorno al valore fissato di .

ρ α τ

+ + = 1

Sempre per la conservazione dell’energia deve risultare: λ λ λ

La radiazione termica che lascia una superficie è generalmente composta da due termini: M

-la radiazione termica emessa dalla superficie per effetto della propria temperatura, E

-la radiazione riflessa dalla superficie per effetto di una radiazione incidente su di essa, ρ

Con le definizioni date sopra la radiosità può quindi essere riscritta come:

ρ

= M + E

J = M + E ρ τ = 0,

Da cui nel caso di componenti opachi alla radiazione incidente, si ricava:

ρ α

J = M + E = M + (1 - ) E

Radiazione di Corpo Nero

Il Corpo Nero è definito idealmente come un corpo che assorbe tutta la radiazione incidente, il

nome deriva infatti dall'analogia con quanto si verifica per la radiazione visibile.

α α

= =1

λ

di conseguenza la superficie di corpo nero è tale che

ρ ρ

= =0

λ

per cui vale anche

M =J

b b 26

E’ possibile realizzare un corpo nero in laboratorio costruendo una cavità con un piccolo foro in

modo che la radiazione riflessa dalle pareti interne rimanga all’interno e dopo un certo numero di

riflessioni venga progressivamente assorbita. Quando il sistema raggiunge l’equilibrio ovvero la

temperatura delle pareti diventa uniforme e costante la radiazione uscente dal forellino è dovuta

essenzialmente all’emissione ed è equivalente alla radiazione di corpo nero. M ,ha caratteristiche

Il corpo nero è detto anche emettitore ideale poiché la radiazione che emette, b

totali e spettrali che dipendono solamente dalla sua temperatura.

π

M = L

Inoltre la radiazione di corpo nero è , per cui .

isotropa Ω

b

La potenza termica emessa da una superficie nera è data dalla legge di Stefan e Boltzmann:

∫ σ

= = ⋅

Φ M d A M T

max 4

b b

σ -8 2 4

= 5.67*10 [W/(m K )]

dove è detta costante di Stefan-Boltzmann.

Φ emessa da un corpo nero rappresenta anche la che una

La potenza termica potenza massima

T e geometria, può in tutte le

superficie reale, avente la stessa temperatura assoluta emettere

direzioni dello spazio ad essa sovrastante. Una superficie non nera può pero avere un radiosità J

superiore se riflette una buona parte della radiazione incidente.

Spettro di emissione del Corpo Nero T

La distribuzione spettrale della radiazione emessa nel vuoto da un corpo nero ad una temperatura

è data dalla Legge di Planck, che introducendo l’ipotesi dei quanti di radiazione riuscì a ricavarla

analiticamente dalla termodinamica statistica. C

λ =

M ( ,T) 1

bλ ⎞

⎛ C

( )

2 ⎟

⎜ −

λ e

5 λT 1

⎜ ⎠

μ μ

8 4 2 4

C C

= 3.7415·10 W· m /m = 1.439·10 m·K

1 2

Dalla distribuzione di Planck è possibile dedurre un’utile relazione che lega la lunghezza d’onda a

cui corrisponde il massimo dell’intensità con la temperatura. Questa relazione era già nota a Planck

come Legge dello spostamento di Wien.

λ μ

T C C

= = 2897.8 m·K

max 3 3 27

μm)]

Eccitanza monocromatica: [W/(m^2 μ

Lunghezza d'onda: m]

[

Figura: Eccitanza monocromatica di corpo nero.

L’emissività termica

Qualsiasi superficie reale emette e assorbe meno di una superficie equivalente nera alla stessa

temperatura.

La frazione di potenza emessa da una superficie reale, rispetto a quella emessa dalla superficie

ideale nera, viene chiamata in generale dipende dalla temperatura del corpo

emissività termica

(anche nell’ipotesi in cui l’ non dipenda dalla temperatura)

emissività termica monocromatica

oltre che dallo stato di finitura della superficie, dalla direzione e dalla lunghezza d’onda.

Si ha infatti: ε λ β φ λ β φ λ

= M T M T

( , , ) ( , , , ) ( , )

λ λ λ

Ω Ω Ω

b

, , , ,

ε λ λ

= M T M T

( , ) ( , )

λ λ λ b

, ∞

∫ ε λ λ

M T d

( , )

λ λ

ε = =

T M T M T 0

( ) ( ) ( )

b ∞

∫ λ λ

M T d

( , )

λ b

,

0 28

Principio di Kirchhoff

Si può mostrare come conseguenza del primo e del secondo principio della termodinamica che per

un corpo in equilibrio termico con l’ambiente circostante l'emissività e l'assorbanza spettrale

direzionale devono essere uguali. ε λ β φ α λ β φ

=

T T

( , , , ) ( , , , )

λ λ

Ω Ω

, ,

Se la radiazione è diffusa isotropicamente vale anche la relazione

ε λ α λ

=

T T

( , ) ( , )

λ λ

Sebbene l'ipotesi dell'equilibrio termico possa sembrare troppo restrittiva, a tal punto da essere di

scarsa applicabilità, si può mostrare che l'emissività e l'assorbanza monocromatica sono proprietà

del corpo e dipendono in generale debolmente dalla sua temperatura, allora una volta dimostrata

l'uguaglianza in un caso particolare - come all'equilibrio termico – si può ritenerla valida sempre.

ε λ α λ

=

( ) ( )

λ λ

L'assunzione fatta è fisicamente giustificata dal punto di vista microscopico in quanto sia

l'emissione che l'assorbimento dei quanti di radiazione sono dovute alle transizioni tra i livelli

energetici della struttura atomico-molecolare, mentre la distribuzione statistica dei livelli occupati

dipende dalla temperatura.

Il Corpo Grigio

Un corpo si definisce grigio, quando il suo spettro di emissione della radiazione è simile, rapportato

in scala, a quello di un corpo nero, ovvero con intensità ridotta dello stesso fattore per ogni

lunghezza d’onda a pari temperatura.

Per la radiazione emessa isotropicamente da un corpo grigio si ha quindi:

ε λ =ε λ)

(costante per ogni

( )

λ λ

Si deduce dall'estensione del principio di Kirchhoff che per superfici grigie diffuse vale

l'uguaglianza ε α

=

T T

( ) ( ) 29

μm)]

Eccitanza monocromatica: [W/(m^2 ε

Superficie nera: = 1.

ε = 0.6.

Superficie grigia: ε ε λ , T).

= (

Superficie reale: μ

Lunghezza d'onda: [ m]

Figura: Spettro di corpo nero, grigio e reale. 30

Scambio termico radiativo tra superfici nere e/o grigie

Fattori di Forma

Nei problemi di scambio radiativo tra superfici opache in cui

-la radiazione è emessa isotropicamente,

-le superfici sono diffusive

-il mezzo non è partecipe

risulta comodo definire dei fattori forma, detti anche fattori di vista, che tengono conto globalmente

delle caratteristiche geometriche ovvero della mutua esposizione delle superfici (vedi in figura).

n n

1 2

β

β 2

1 dA

r

dA 2

1 Ι

Ι 2

1

Figura: Riferimento geometrico per la definizione dei fattori di forma per corpo nero.

Per non appesantire la notazione ci limitiamo qui a considerare superfici nere o grige, una

trattazione analoga può comunque essere fatta per le grandezze monocromatiche anziché totali.

A A T T

Consideriamo inizialmente due superfici nere e di temperature e , definiamo

1 2 1 2

Fattore di Forma F :

1,2

Φ Flusso termico che emesso da A arriva su A

≡ =

F 1 2 1 2

Φ

1

, 2 Flusso termico emesso da A

1 1

Dalle ipotesi fatte all'inizio si ottiene un campo di radianza uniforme per cui

r β β

L r

( ) cos cos

∫∫ ∫∫

β β

Φ = =

Ω dA dA L dA dA

1 2

cos cos

→ Ω

1 2 1 2 1 2 1 2

r r

2 2

e quindi β β

cos cos

∫∫

L dA dA

1 2 β β

Φ Ω 1 cos cos

1 2

r 2 ∫∫

= = =

F dA dA

1 2 1 2

π

Φ

1

, 2 1 2

πL A A r 2

→ Ω

1 1 1

dove effettivamente l'ultimo termine è un fattore puramente geometrico.

Si dimostra facilmente che vale la :

proprietà di reciprocità

=

A F A F

, ,

1 1 2 2 2 1

Con cui si ricava che la potenza termica netta scambiata dalle due superfici è:

=

Φ A F M ( )

→ , b, ≡ − = − = −

1 2 1 1 2 1 Φ Φ Φ A F M M A F σ T T

4 4

( )

↔ → →

= , b, b, -

Φ A F M 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2

→ , b,

2 1 2 2 1 2 31

⌠ β β

⌠ cos cos

1 i j

=

F dA dA

⎮ ⎮

Generalizzando a più superfici si hanno: ⎮

ij i

⌡ j

πA r 2

i Aj

Ai

:

e per le proprietà di reciprocità =

A F A F

i ij j ji

A n A A

è composta da superfici nere che scambiano con la superficie nera

Se una superficie j k i

allora vale la proprietà di additività: ∑ n

=

F F

ij ik

=

k 1

N

Che estesa a superfici nere che formino una cavità chiusa, porta alla relazione di

:

interdipendenza N

∑ =

F 1

j ij

1 Φ →

i j

=

F

che si dimostra facilmente ricordando che per definizione: ij Φ →

i

F non è necessariamente nullo perché se la superficie non è piana ma concava parte

Si noti che i,i

della radiazione emessa attraverso di essa incide su se stessa. 32

Scambio termico radiativo tra superfici grigie

Piani paralleli infiniti A

T T

1 2

M 1 J

1 ρ E

2 2

ρ E

1 1 J

2 M 2

ε ε

1 2

n α ε

=

Si ricorda che nell'ipotesi di radiatori grigi diffusi vale: .

Si ha inoltre: ε

= = + − ε ε σ

⎧ = =

⎧ E J M E M M T 4

(

1 ) b

2 1 1 1 1

⎨ ⎨ 1 1 1 1 1

ε ε ε σ

= = + − = =

E J M E M M T 4

⎩ ⎩

(

1 ) b

1 2 2 2 2 2 21 2 2 2

Per cui, note le temperature e le emissività superficiali la risoluzione del problema consta in un

E E

sistema di due equazioni in due incognite, ed , che forniscono:

1 2

ε ε ε

+ −

⎧ M M

(

1 ) =

= b b

E J

1 1 1 2 2

⎪ ε ε

− − −

2 1

⎪ 1 (

1 )(

1 )

1 2

⎨ ε ε ε

+ −

M M

(

1 )

⎪ = =

b b

E J

2 2 2 1 1

⎪ ε ε

− − −

1 2

⎩ 1 (

1 )(

1 )

1 2 A)

Da cui si può ricavare il flusso netto per unità di superficie (attraverso la superficie virtuale

dell'energia scambiata per via radiativa tra le due superfici grigie: σ

M M

ϕ ϕ

Φ = = − = = −

b b

A J J T T

4 4

1 2 ( )

↔ n n 1 2

1 2 1 2 1 1 1 1

+ − + −

1 1

ε ε ε ε

1 2 1 2

ε

Si noti che poiché vale sempre <1, il flusso termico è positivo verso i corpi a temperatura inferiore

in accordo col secondo principio della termodinamica. 33

Metodo delle radiosità

Consideriamo una singola parete piana, opaca e grigia, la cui superficie emetta e rifletta radiazione

diffusa. J i

n

E

i α ε τ ρ ε

= =0, =(1- )

Come si è già visto sotto queste ipotesi fatte valgono: ,

Lo scambio termico radiativo “netto” della parete i-esima attraverso la sua superficie è dato dal

Φ

flusso :

i −

⎧ M J

Φ = b i i

,

⎪ ε

i 1

Φ ≡ Φ − Φ = − i

⎧ A J E ⎪

( ) ε

→ ←

i i i i i i A

⇒ ⎨

⎨ i i

ε ε

= + −

J M E

(

1 )

⎩ ⎪ ε

i i b i i J M

, ⎪ = i i b i

E ,

ε

i

⎪ −

⎩ (

1 )

i J

Utilizzando l’analogia elettrica, dando questa volta alla radiosità il ruolo di “potenziale” e al

resistenza

flusso globale il ruolo della “intensità di corrente”, risulta conveniente definire la

-2

R [m ]:

"superficiale" S,i ε

1

≡ i

R ε

S i

, A

i i

che dipende solo dall’emissività e dall’area della superficie e fornisce il rapporto tra il flusso

termico radiativo e la differenza tra la radiosità di una superficie nera alla stessa temperatura e la

radiosità della superficie in questione.

Si faccia attenzione al fatto che questa resistenza non è confrontabile dimensionalmente con quelle

introdotte nei paragrafi sulla conduzione e convezione termica sempre attraverso analogia elettrica

differente.

Consideriamo ora una cavità chiusa formata da N pareti grigie con le stesse ipotesi.

N N N N N

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Φ = − Φ = − = − = −

A J A J A F J A J F A F J A F J J

( )

i i i j i i i j ji j i i ij i i j j i ij i j

,

= = = = =

j j j j j

1 1 1 1 1

-2

R [m ] tra le superfici i-esima e j-esima:

resistenza "nodale"

Risulta quindi utile definire la i,j

1 1

≡ =

R

i j

, A F A F

i i j j j i

, ,

che dipende simmetricamente solo dal fattore geometrico di vista e dall’area delle superfici e per

ogni coppia fornisce il rapporto tra lo scambio termico radiativo e la differenza tra le rispettive

radiosità. 34

Mettendo insieme le due espressioni ricavate per il flusso i-esimo per ogni superficie si ricava

l'equazione: −

− J J

M J N ( )

( ) ∑ i j

Φ = =

b i i

,

i R R

=

j

S i i j

1

, , N N

che note le resistenze porta ad un sistema algebricamente risolubile di equazioni in le cui

incognite sono le radiosità, per cui è noto come .

metodo delle radiosità

Anziché risolvere il sistema algebricamente è possibile ricorrere all'analogia formale con i circuiti

elettrici. L'equazione delle radiosità risulta infatti rappresentabile dal seguente schema:

J 1

R R

S,i i,1

J i

M b,i J j

R

Φ i,j

i R i,N J N

1° Esempio: Applicando questo schema al caso trattato nel paragrafo precedente di due superfici

grigie a piani paralleli e infinitamente estese si ha:

M J J M

b,1 1 2 b,2

R

R R

1,2

S,1 S,2

Dove: ε ε

− −

1 1

1 1 =

= = =

R R

R

1 2

ε ε

S S

,

1 , 2

1

, 2

A A

AF A

1 2

1

, 2

e sommando le resistenze in serie si ha: 1 1 1

= + + = + −

R R R R ( 1

)

ε ε

tot S S

,

1 1

, 2 , 2 A 1 2

con cui si ottiene: − −

M M

M M

Φ = Φ = − Φ = =

b b b b

A

1 2 1 2

1 2 1 2 R 1 1

+ −

tot 1

ε ε

1 2

che corrisponde al risultato ricavato nel paragrafo precedente. 35


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