Trasmissione del calore - Appunti

Studio del problema di conduzione in un continuo materiale

Per studiare tale problema consideriamo il sistema racchiuso in un volume e richiamiamo l'equazione di bilancio energetico per un sistema chiuso (primo principio della termodinamica).

dU = -in + out + Q - W

Dove secondo la convenzione in uso, Q è il calore assorbito e W è il lavoro compiuto dal sistema.

Per adattare lo studio al problema di conduzione in un continuo materiale facciamo le seguenti ipotesi:

1. Il sistema sia rigido e indeformabile e quindi non compia lavoro; come conseguenza di ciò si ha c = c = c, che implica che i calori specifici a volume e pressione costante risultano uguali: cV = cp
2. Il materiale continuo sia omogeneo e isotropo
3. Il sistema non incorra in transizioni di fase
4. Le variazioni di volume del sistema conseguenti alle variazioni di temperatura siano trascurabili
5. Anche le altre proprietà termofisiche del mezzo non dipendano dalla temperatura

Si noti che questo insieme di ipotesi restringe di fatto il campo di studio.

applicazione ai soli corpi solidi.Tenendo conto della prima ipotesi e delle modalità di trasmissione del calore si ha:dU ∑ in in& &= = = + + = + Πin inQ Φ Φ Φ Φ Φ( )i cd cv rd abs rd int cd int& , , S intdt S ext __iΦ [W] è indicato il flussi termico globale per conduzione e convezione sullaDove con cd&cv Φ [W] il flussi radiativo globale assorbito sulla superficiesuperficie esterna del contorno e con rd,abs Sesterna. Per continuità, poiché la superficie chiusa è solo un contorno geometrico, la somma diquesti due flussi deve dare la potenza che si propaga verso l’interno in modo puramente conduttivoΦ Φ[W] . La radiazione eventualmente assorbita all’interno del mezzo è indicata dal termine .cd rd,intQuesto termine è non nullo nel caso di mezzi semi-trasparenti (ad una certa radiazione incidente) epoiché si tratta di potenza distribuita all’interno del

Il termine "volume" può essere riscritto come una generazione di potenza interna con W, che ovviamente contribuisce al bilancio energetico del sistema. Nel caso invece di corpi opachi (ad una certa radiazione incidente) tutta la radiazione è assorbita in prossimità della superficie esterna e il termine di generazione è nullo. Si noti che il termine di generazione sarebbe nullo anche se il corpo fosse totalmente trasparente alla radiazione incidente. Nel proseguo e nella pratica, con qualche perdita di rigore, si capirà di utilizzare il termine "trasparente" in luogo di semitrasparente riferito a elementi dell'involucro edilizio come vetri, etc. Allo stesso modo anche altre "forme" di energia che possono contribuire all'energia interna del sistema a seguito di un'interazione/conversione interna possono essere considerate come "sorgenti interne", senza violare il principio generale di conservazione dell'energia.

parametro ).( )r∂ r r r r∫ ∫ρ λ σ= − − ∇ ⋅ +u T x t dV T x t ndS x t dV( ( , )) ( , ) ( , )∂tV S V

Applicando quindi il Teorema della divergenza di Gauss all’integrale superficiale si ottiene:

( )r r∂ r r∫ ∫ρ σ λ− = ∇ ⋅ ∇c T x t x t dV T dV[ ( , ) ( , ) ]∂tV V

E per l’arbitrarietà del volume deve risultare per ogni punto:

( )r r∂ rr rρ σ λ− = ∇ ⋅ ∇c T x t x t T x t( , ) ( , ) ( , )∂t

Che sempre per le ipotesi di omogeneità, isotropia e non dipendenza della conduttività termica dallatemperatura porta all’equazione generale per la conduzione:

∂ r r rρ λ σ= ∇ +c T x t T x t x t2( , ) ( , ) ( , )∂t

Dall’equazione generale in assenza di generazione di potenza ricaviamo l’equazione di diffusionedel calore, detta anche equazione di Fourier:

λ∂ r r= ∇ =T x t a T x t a2( , ) ( , ) ρ∂t c2[m /s] è la del materiale.Dove a diffusività termicaLimitando lo studio a problemi in regime stazionario in presenza di generazione di potenza si hal’equazione di Poisson: rσ xr ( )∇ = −T x2 ( ) λmentre in regime stazionario senza generazione di potenza si ha l’equazione di Laplace:r∇ =T x2 ( ) 0Abbiamo così ottenuto tre equazioni differenziali lineari del secondo ordine alle derivate parziali,che per essere integrate richiedono la formulazione di opportune condizioni al contorno e, in regimevariabile, di una condizione iniziale.Si osservi che sola dipendenza della conduttività termica dalla temperatura porterebbe a probleminon lineari la cui risoluzione dal punto di vista analitico è genericamente molto più complessa. 7Le condizioni al contornoLe condizioni al contorno che maggiormente si incontrano nei problemi di trasmissione

del calore possono essere classificate come segue:

1. Condizioni di I specie o di Dirichlet (temperatura superficiale imposta): quando è assegnata la temperatura sulla superficie del corpo, eventualmente anche in funzione del tempo: fs
2. Condizioni di II specie o di Neumann (flusso superficiale imposto): se sulla superficie del corpo è noto il gradiente di temperatura o direttamente la derivata della temperatura in direzione della normale. Ciò, per la Legge di Fourier, equivale a fissare il flusso termico specifico in ogni punto della superficie esterna del corpo:

(∇⋅T)⋅n = -∇⋅(λ∇T)⋅n = g⋅∇s

3. Condizioni di III specie o miste: la derivata della temperatura in direzione normale alla superficie (vedi il flusso specifico) è funzione della temperatura stessa sulla superficie oltre che eventualmente della posizione e del tempo:

∂T/∂n = -∇⋅(λ∇T)⋅n

x t Th( , ; )∂ λ⎝ ⎠n s

Come caso particolare di queste condizioni rientra una situazione molto tipica in cui il flusso termico superficiale dipende linearmente dalla temperatura, si pensi per esempio alla formula di Newton per la convezione, in tal caso si ha:

∂⎛ ⎞T r rϕ− = ⋅ =⎜ ⎟λ n h (T - T )∂ cv S fn⎝ ⎠ s 2[W/m ]h è il coefficiente convettivo (da non confondere con la generica funzione "h" menzionata sopra) e la temperatura di riferimento (asintotica/imperturbata) del fluido con cui scambia la superficie.

d) Condizioni di IV specie (problemi conduttivi a contatto): corrispondono al caso in cui si attua uno scambio termico conduttivo attraverso l’interfaccia di due mezzi omogenei continui con differenti conduttività termiche e .1 2 ∂ ∂⎛ ⎞⎛ ⎞T T⎜ ⎟λ λ⎜ ⎟(1) (2)= -⎜ ⎟ ⎜ ⎟1 2∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠n n1 s 2 s

Il segno meno è

giustificato dal fatto che i versori uscenti ai due domini sono opposti. Per i problemi differenziali qui mostrati è generalmente garantita la dipendenza continua dai dati. Sono generalmente garantite inoltre l'esistenza e l'unicità delle soluzioni, tranne che nel caso di condizioni al contorno di II specie in regime stazionario. Infatti in regime stazionario i flussi entranti (e uscenti) non possono essere scelti arbitrariamente in quanto devono soddisfare l'equazione di bilancio energetico:

d r r∑ ∫ ∫ σ&= ⟹ + Π = ⟹ = −U Φ x dS x dV0 0 g ( ) ( )dt Sii S V 8

CONDUZIONE IN REGIME STAZIONARIO

In questa sezione vengono trattati problemi classici in regime stazionario che richiedono ovviamente condizioni al contorno costanti nel tempo. Questa ipotesi può risultare molto lontana dalle applicazioni a problemi reali in quanto le condizioni al contorno per una parete perimetrale sono sempre variabili, si pensi ad