Trasmissione del calore - Appunti

AA 2007/2008 Termofisica degli edifici

Alessandro Dama

Trasmissione del calore negli edifici – (terza versione 13/12/07)

• Introduzione e premessa................................................................................................................2
• Modalità di trasmissione del calore...............................................................................................2
• Il flusso termico.............................................................................................................................2
• Conduzione termica ................................................................................................................3
• Il flusso termico conduttivo...........................................................................................................3
• L’equazione generale per la conduzione .......................................................................................5
• Le condizioni al contorno..............................................................................................................8
• Conduzione in regime stazionario...............................................................................9
• Risoluzioni per parete piana indefinita..........................................................................................9
• Soluzione in assenza di generazione di potenza interna..............................................................11
• Soluzione in presenza di generazione interna .............................................................................13
• Conduzione in regime variabile (cenni) ..................................................................16
• Metodo dei parametri concentrati................................................................................................16
• Transitorio e regime periodico stabilizzato .................................................................................18
• Convezione termica (cenni) ...............................................................................................20
• La formula di Newton.....................................................................................................................20
• h Valori del Coefficiente .........................................................................................................21
• cv Convezione Forzata.....................................................................................................................21
• Convezione Naturale ...................................................................................................................22
• Radiazione termica ................................................................................................................23
• Grandezze fondamentali .................................................................................................................23
• L’intensità della radiazione: la radianza......................................................................................23
• L’interazione della radiazione con la materia .............................................................................25
• Radiazione di Corpo Nero ..............................................................................................................26
• Spettro di emissione del Corpo Nero ..........................................................................................27
• L’emissività termica ....................................................................................................................28
• Principio di Kirchhoff .................................................................................................................29
• Il Corpo Grigio ............................................................................................................................29
• Scambio termico radiativo tra superfici nere e/o grigie..................................................................31
• Fattori di Forma...........................................................................................................................31
• Scambio termico radiativo tra superfici grigie ...............................................................................33
• Piani paralleli infiniti...................................................................................................................33
• Metodo delle radiosità .................................................................................................................34
• Fattore di Radiazione Mutua .......................................................................................................36
• Scambio Termico Radiativo Linearizzato ......................................................................................37
• La Temperatura Media Radiante.................................................................................................37
• La Temperatura Operante............................................................................................................39

Introduzione e premessa

Per trasmissione del calore si intende il trasferimento di energia da un corpo ad un altro per effetto di differenze di temperatura. In questa breve dispensa vengono richiamate le nozioni di base della trasmissione del calore per approfondirne la trattazione nelle applicazioni rivolte allo studio dello scambio termico attraverso l’involucro edilizio e nella caratterizzazione dell’ambiente termico interno ed esterno. La versione attuale della dispensa, pur cercando di fornire uno sviluppo coerente degli argomenti trattati nel corso, non ha ambizione di completezza (vedere programma dettagliato).

Modalità di trasmissione del calore

Dal punto di vista fisico i modi indipendenti della propagazione del calore sono due: conduzione e radiazione. Ad essi si aggiunge il meccanismo della convezione, che è dovuto ad una combinazione di trasferimento di energia per conduzione (e radiazione) e di trasporto di energia associato al trasporto di massa. Pur tuttavia a questo meccanismo è solitamente dedicata una specifica trattazione per la sua complessità e l’importanza che rivesta nella descrizione dei fenomeni di scambio termico.

Per conduzione si intende il modo in cui l'energia si trasmette nei materiali per contatto. Questo processo dal punto di vista microscopico nei solidi si spiega con la propagazione di vibrazioni e oscillazioni e della struttura atomico molecolare e reticolare.

Per convezione si intende il meccanismo congiunto in cui il trasporto di energia avviene per effetto del trasporto di massa e insieme per conduzione (e radiazione).

Per radiazione si intende il modo in cui il calore si propaga nel vuoto e attraverso i mezzi trasparenti mediante onde elettromagnetiche.

Il flusso termico

Il calore che si propaga attraverso una superficie S nell’unità di tempo viene indicato con flusso termico Φ_S [W], detto “globale” (o anche potenza termica). Il flusso termico “specifico” o densità di flusso “locale”, che attraversa ortogonalmente una superficie unitaria viene indicato invece con φ_n [W/m²].

Risulta allora conveniente utilizzare Φ_S e φ_n per definire implicitamente il flusso termico locale, come campo vettoriale indipendente dalla superficie e dall’orientazione della stessa:

Φ = ∫_S φ_n(x) dS = ∫_S φ(x) · n(x) dS | x ∈ S

Dove n è la normale all’elemento di superficie.

NB il vettore di flusso locale risulta implicitamente ben definito per l’arbitrarietà nella scelta della superficie infinitesima passante per quel punto.

Conduzione termica

Il flusso termico conduttivo

Consideriamo un sistema, costituito da una barra cilindrica di lunghezza L e sezione A note, manteniamo le basi del cilindro a temperature diverse e costanti T₁ > T₂ (per esempio tenendo le estremità a contatto con due liquidi in transizione di fase) e coibentiamo la superficie laterale (dispersione laterale nulla) in modo che il calore possa propagarsi in una sola direzione (flusso termico monodimensionale).

Aspettiamo che il calore scambiato nell’unità di tempo, flusso termico, si stabilizzi (regime stazionario) e in questa situazione misuriamo per un intervallo di tempo Δt, Q [J]. Possiamo osservare che il calore trasmesso attraverso la barra è:

• Direttamente proporzionale all’area della sezione retta della barra, A;
• Direttamente proporzionale alla differenza delle temperature (T₁ - T₂) applicate agli estremi e all'intervallo di tempo, Δt;
• Inversamente proporzionale alla lunghezza della barra, L.

Quanto osservato si può scrivere in formule come:

Q ∝ A · (T₁ - T₂) · Δt / L

Che permette di definire il coefficiente di proporzionalità λ, detto conduttività termica del mezzo.

λ ≡ QL / [(T₁ - T₂) A Δt]

Il flusso termico medio nell’intervallo temporale Δt, è quindi:

Φ = Q / Δt = λ · A (T₁ - T₂) / L

Che riscritto per un cilindretto di spessore infinitesimo, sezione A e distanza x dal bordo diventa:

Φ(x) = - λ · A · lim_{Δx → 0} [T(x + Δx) - T(x)] / Δx = - λ · A · dT(x) / dx

Si noti che il segno meno è coerente con il secondo principio della termodinamica, ovvero nei processi spontanei il flusso termico è positivo nel passaggio da un corpo a temperatura maggiore ad uno a temperatura minore.

Generalizzando alle tre dimensioni spaziali e introducendo dipendenza nel tempo del campo di temperatura si ottiene la Legge di Fourier per la conduzione in un continuo materiale:

φ(x, t) = - λ · ∇T(x, t)

Più in generale λ = λ(x,T), ovvero la conduttività è una proprietà fisica che può dipendere dalla posizione (mezzi non omogenei), dalla temperatura (soprattutto nei fluidi) e dalla direzione (mezzi anisotropi).

Tabella 1. Conduttività e diffusività termica di alcune sostanze.

L’equazione generale per la conduzione

Il problema generale della conduzione consiste nel determinare il campo termico (e la sua evoluzione temporale) all’interno di un continuo materiale, T = T(x, t), una volta assegnate delle precise condizioni iniziali e le condizioni al contorno del sistema (su flusso e/o temperatura).

Per studiare tale problema consideriamo il sistema racchiuso in un volume V e richiamiamo l’equazione di bilancio energetico per un sistema chiuso (primo principio della termodinamica).

dU / dt = Q̇_in - Ẇ_out

Dove secondo la convenzione in uso Q̇_in è il calore assorbito e Ẇ_out è il lavoro compiuto dal sistema.

Per adattare lo studio al problema di conduzione in un continuo materiale facciamo le seguenti ipotesi:

• Il sistema sia rigido e indeformabile e quindi non compia lavoro; come conseguenza di ciò si ha anche che i calori specifici a volume e pressione costante risultano uguali: c_V = c_p = c;
• Il materiale continuo sia omogeneo e isotropo;
• Il sistema non incorra in transizioni di fase;
• Le variazioni di volume del sistema conseguenti alle variazioni di temperatura siano trascurabili;
• Anche le altre proprietà termofisiche del mezzo non dipendano dalla temperatura.

Si noti che questo insieme di ipotesi restringe di fatto il campo di applicazione ai soli corpi solidi.

Tenendo conto della prima ipotesi e delle modalità di trasmissione del calore si ha:

dU / dt = Σ_i Q̇_in = Φ̇_cd,int + Φ̇_cv,int + Φ̇_rd,abs + Φ̇_rd,int = Φ̇_cd,int + Π̇_int

Dove con Φ̇_cd [W] è indicato il flusso termico globale per conduzione e convezione sulla superficie esterna S_ext e con Φ̇_rd,abs [W] il flusso radiativo globale assorbito sulla superficie esterna S. Per continuità, poiché la superficie chiusa è solo un contorno geometrico, la somma di questi due flussi deve dare la potenza che si propaga verso l’interno in modo puramente conduttivo Φ̇_cd [W]. La radiazione eventualmente assorbita all’interno del mezzo è indicata dal termine Φ̇_rd,int.

Questo termine è non nullo nel caso di mezzi semi-trasparenti (ad una certa radiazione incidente) e poiché si tratta di potenza distribuita all’interno del volume può essere riscritto come una generazione di potenza interna con Π̇_int [W], che ovviamente contribuisce al bilancio energetico del sistema.

Nel caso invece di corpi opachi (ad una certa radiazione incidente) tutta la radiazione è assorbita in prossimità della superficie esterna e il termine di generazione è nullo. Si noti che il termine di generazione sarebbe nullo anche se il corpo fosse totalmente trasparente alla radiazione incidente.

Nel proseguo e nella pratica, con qualche perdita di rigore, capirà di utilizzare il termine “trasparente” in luogo di semitrasparente riferito a elementi dell’involucro edilizio come vetri, etc.

Allo stesso modo anche altre “forme” di energia che possono contribuire all’energia interna del sistema a seguito di un’interazione/conversione interna possono essere considerate come “sorgenti interne”, senza violare il principio generale di conservazione dell’energia. Altri esempi sono l’energia dissipata per effetto Joule in mezzi percorsi da corrente, oppure l’energia liberata da reazioni chimiche, nucleari etc.

Le grandezze utilizzate nell’equazione di bilancio possono ora essere riscritte come integrazione delle rispettive quantità specifiche su tutto il volume V. Se il contorno del sistema è omogeneo:

dU / dt = ∫_V ρu(T(x,t)) dV; Φ̇_cd = -∫_S φ(x,t) · n dS; Π̇_int = ∫_V σ(x,t) dV

Dove S è la superficie chiusa che delimita il corpo e V il suo volume.

n è la normale uscente al contorno del sistema (opposta al flusso entrante).

ρ [kg/m³] è la densità del mezzo.

u [J/kg] è l’energia interna specifica del mezzo.

σ [W/m³] è la distribuzione della “generazione di potenza” per unità di volume.

Si noti che per le ipotesi di rigidità, omogeneità e non dipendenza dalla temperatura la densità è considerata costante in tutti i punti, mentre avendo ipotizzato l’assenza di transizioni di fase e variazioni di volume l’energia interna specifica dipende localmente solo dalla temperatura e in particolare: du(T)/dT = c.

Sostituendo nell’equazione di bilancio la legge di Fourier per il flusso locale conduttivo per materiali isotropi e omogenei si ha:

∫_V ρ d[u(T(x,t))]/dt dV = -∫_S λ ∇T(x,t) · n dS + ∫_V σ(x,t) dV

Sempre per le ipotesi fatte sopra esiste un sistema di riferimento rigido in cui le parti del continuo materiale sono in quiete tra loro, per cui la derivata totale nel tempo coincide con la derivata parziale rispetto al tempo. Ciò unito al fatto che le variazioni di volume con la temperatura sono ipotizzate trascurabili permette di portare la derivazione rispetto al tempo all’interno dell’integrazione spaziale (come integrale di una funzione con parametro t).

∫_V ρ ∂[u(T(x,t))]/∂t dV = -∫_S λ ∇T(x,t) · n dS + ∫_V σ(x,t) dV

Applicando quindi il Teorema della divergenza di Gauss all’integrale superficiale si ottiene:

∫_V [ρc ∂T(x,t)/∂t - σ(x,t)] dV = ∫_V λ ∇²T dV

E per l’arbitrarietà del volume deve risultare per ogni punto:

ρc ∂T(x,t)/∂t - σ(x,t) = λ ∇²T(x,t)

Che sempre per le ipotesi di omogeneità, isotropia e non dipendenza della conduttività termica dalla temperatura porta all’equazione generale per la conduzione:

ρc ∂T(x,t)/∂t = λ ∇²T(x,t) + σ(x,t)

Dall’equazione generale in assenza di generazione di potenza ricaviamo l’equazione di diffusione del calore, detta anche equazione di Fourier:

∂T(x,t) / ∂t = a ∇²T(x,t), a = λ / ρc

Dove a [m²/s] è la diffusività termica del materiale.