Trasmissione del Calore M - Appunto

TRASMISSIONE DEL CALORE

3/11/15

OBIETTIVI

• APPROFONDIRE CONDUZIONE TERMICA
• CAMPI CON DIPENDENZA DAL TEMPO
• EFFETTI TERMOELETTRICI
• SCAMBIO TERMICO PER CONDUZIONE NEGLI ACCETTE
• CONDUZIONE FORZATA DENTRO I CONDOTTI

CUBI DI TESTO

• TITOLO NON PERMATATO "ADA TRASMISSIONE DEL CALORE" 2005, PITAGORA
• Introduzione alla FISICA TERMALE © 2002, PITAGORA
• la ce Gloria
• HEAT CONDUCTION disponibili nelle biblioteche DORA
• §E di approfondimento, il più completo

LEZIONI:

Aula Lavagna

ESAME:

ORALE

RISOLVERE DI 2 O PIÙ ESERCIZI SULLA CONDUZIONE TERMICA

PROVA IN ITINERE: ULTIMA SETTIMANA PRIMA DI NATALE

• 2 TURNI → 2 CISTE (o giovedì o venerdì)

Basi per la conduzione termica

• Campi di temperatura
• Densità di flusso termico

Materiale solido rigido

(Introduciamo subito una semplificazione che non ci interessano le deformazioni) Trascurato dilatazione termica

Campo di temperatura: T(x,y,z,t)

Densità di flusso termico: q̇(x,y,z,t) [W/m²]

Q̇ = ∫_S q̇·m̂ dS

È espressa tramite legge di Fourier:

q̇ = -k ∇T

Conduttività termica del solido (forma isotropa)

(Indipendente dalla direzione del flusso di calore)

Es: Blocco di materiale solido

Ma possiamo considerare flusso di calore anche verticale

E abbiamo lo stesso risultato

Attualmente dobbiamo generalizzare Fourier:

q_i = -k_ij ∂T/∂x_j

Forma anisotropa (dipendente dalla direzione)

Sottonotoria su j sottintesa

k_ij è tensore di rango 2

k̂ = ( k_xx k_xy k_xz ) ( k_yx k_yy k_yz ) ( k_zx k_zy k_zz )

Si ottiene forma isotropa nel caso particolare in cui la matrice è diagonale con valori uguali:

k̂ = ( k 0 0 ) ( 0 k 0 ) ( 0 0 k )

cos²(ωt) - sen²(ωt) = cos(2ωt)

cos²(ωt) + sen²(ωt) = 1

2cos²(ωt) - 1 = cos(2ωt)

∫₀^2π/ω cos²(ωt) dt =

∫₀^2π/ω [1 + cos(2ωt)] dt =

= 1/2 [t + sen(2ωt)/2ω]₀^2π/ω = π/ω

∫₀^2π/ω sen(ωt) cos(ωt) dt = 0

9_cCv ωT₁ = K∇²T₂ + q_g2

0 = K∇²T₀ + q_g0

9_cCv ωT₁ = K∇²T₂ + q_g2

-9_cv ωT₂ = K∇²T₁ + q_g1

∫ sen²(ωt) = 1 - cos²(ωt)

3 equazioni

Si risolve con temperatura complessa

è funzione scalare con valori complessi

T̃ = T̃₁ + λT̃₂

Se sotto il eq. + λ volte ca 1 eq.

ottengo:

9_cv ω (T̃₁ - T̃₂) = K∇²T̃ + (q_g1 + q_g2)

=> Possiamo ridefinire il differenziale?

dx² = h₁ dq₁ e¹ + h₂ dq₂ e² + h₃ dq₃ e³

Le componenti dello spostamento infinitesimo secondo i 3 versori sono:

h₁ dq₁ e¹ + h₃ dq₃ e³

Prendo un generico campo scalare f:

∇f ⋅ e¹ = ¹/_h1 ∂f/∂q₁

Seconda direzione della componente 2:

∇f ⋅ e² = ¹/_h2 ∂f/∂q₂

∇f ⋅ e³ = ¹/_h3 ∂f/∂q₃

Dimostrazione: da definizione di coordinate ortogonali

Si può dimostrare che sono ortogonaci tra loro

êⁱ ⋅ ê^j = δ_ij

êⁱ ⋅ ê^j = 0 se i ≠ j

È come dire ∂x/∂q_i ⋅ ∂x/∂q_j = 0 se i ≠ j

È la componente del tensore metrico

Tensore metrico diagonale ⇒ i versori sono ortogonaci

In coordinate curvilinee:

∇f = ¹/_h1 ∂f/∂q₁ ê¹ + ¹/_h2 ∂f/∂q₂ ê² + ¹/_h3 ∂f/∂q₃ ê³

Sono in funzione della posizione

∂_⏜r_⏜ = (- r sen θ, sen ϕ, r sen θ sen ϕ, r sen θ cos ϕ, 0 )

∂ϕ_⏜

h_θ = r sen θ

ê_θ = ( sen θ cos ϕ, sen ϕ, cos θ, sen θ, 0 )

ADESSO ČO FACCIO RSPETTO ACCA TERZA COORDINATA:

ă_⏜eϕ = ( r cos ϕ, r cos θ, 0, rcos ϕ sen ϕ, -r sen θ)

ê_⏜p = ( cos θ cos ϕ, cos θ sen ϕ, -sen θ )

QUINDI:

∇f = ∂e_⏜r + 1 ∂e_⏜ϕ +1 ∂e_⏜θ

∂r rsenθ ∂ϕ r ∂θ

LAVORIČRO ADESSO SUČA DIERGENZA:

∇·A =   +   +   + ...

∂ê_⏜2 · ê_⏜r1 =0    ∂ê_⏜2 ⊙ ê_⏜r2 ≠0    ∂ê_⏜2 ⬦ ê_⏜r3 ≠0

∂q_⏜1⏜ ∂q_⏜2⏜ ∂q_⏜3⏜

∂ê_⏜2 · ê_⏜e1 =0    ∂ê_⏜2 ⬦ ê_⏜e2 ≠0    ∂ê_⏜2 ⬦ ê_⏜e3   

∂q_⏜1⏜ ∂q_⏜2⏜ ∂q_⏜3⏜

∂ê_⏜3 ⬦ ê_⏜1 =0    ∂ê_⏜3 ⬦ ê_⏜2    ∂ê_⏜3 ⬦ ê_⏜3 ≠0

∂q_⏜1⏜ ∂q_⏜3⏜ ∂q_⏜3⏜

⇒ ∂ ✗ A = ∂A_r + 1 ∂A_ϕ + 1 ∂A_θ + ...

∂r rsenθ ∂ϕ r ∂θ

∂ ⊆ = (-sen θ sen ϕ, sen θ cos ϕ, 0 ) = ê⏜_ϕ - sen θ

∂ϕ

=ĭ ∂ê_⏜2 · ê_⏜⊗ = sin θ

∂q_⏜2⏜

h_ϕ = r sen θ

+ ∂A_r + ...

r

POTZiente DIFERSO DA ZERO

... È INTERESSANTE TROVARE SOLUZIONI NON BANALI ... 5/11/15

λ = AUTOVALORE

AD OGNI AUTOVALORE CORRISPONDE UNA SOLUZIONE NON BANAFE

- A(x) = - - AUTO FUNZIONE × - -

SE CONDIZIONI SONO x=0 E y=B

- β = + λ² > 0

d²A(x)dx² = λ² A(x)

d² B(x,y) d y² = - λ² B(x,y)

IN QUESTO CASO

λ = AUTOVALORE

B(y) = AUTO FUNZIONE

PROBLEMI DI STURM-LIOUVILLE

CARATTERIZZATI DA UN'EQ. DIFFERENZIALE PIÙ GENERICA

ddr [ a(r) _dddr ] + [ b(r) + β c(r) ] μ = 0

a, b, c FUNZIONI NOTE (ASSEGNATE) DI r

β = AUTOVALORE DEL PROBLEMA DI STURM-LIOUVILLE

(E' UNA COSTANTE )

CI RICONDUCIAMO A RISOLVERE UN PROBLEMA

CON r ∈ [r₁, r₂]

r = r₁ : h₁u + K_1dddr = 0

r = r₂ : h₂u + K_2dddr = 0

È LA DERIVATA IN DIREZIONE NORMALE

SE PRENDO a(r)=1, b(r)=0, c(r)=1

RI OTTENGO QUESTO RIPRESA: d²B(y)dg² = - λ² B(y)