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Studio della conduzione termica nei materiali solidi
Si parte usando le leggi di Fourier
... il campo di temperatura con un campo vettoriale chiamato densità di flusso termico
Densità di flusso termico: \(q = \left [ \frac{W}{m^2} \right ]\) = serie ... definisco la q di calore che passa nell'unità di tempo in una superficie
\( \begin{Vmatrix} q \end{Vmatrix} = \oint q \cdot ds\)
4 versione normale alla superficie
LEGGI DI FOURIER \( q = - k \nabla T\) è una proprietà dei materiali e \(k = K (T) \)
conducibilità termica \(\left [ \frac{W}{m \cdot K} \right ]\) temperatura locale del solido
La legge di fou.series = scrivere leg. di bilancio locale dell'energia \( \nabla \cdot L \cdot KvT(\vec{x}, t) = \rho c_s \frac{\partial T}{\partial t}\) (2) \(\vec{x} = (x,y,z) \) = VETTORE POSIZIONE \(\rho \) = DENSITÀ (e' costante !!)
\(c_s = \) CALORE SPECIFICO A VOLUME COSTANTE
Si ipotizza il solido come un corpo completamente rigido
escludiamo i fenomeni di termomeccanica per i deformazioni
... trascurando i fenomeni di dilatazione termica
\(q_g \) energia termica generata all'interno del solido = dentro di volume \(q_g = \left [ \frac{W}{m^3} \right ]\) ... e si può sviluppare calore = effetto Joule = effetti ...
reazioni chimiche che si sviluppano dell'interno, per reazioni nucleari (fissione ...)
... il materiale solido ha una struttura anisotropa il processo di conducità termica dipende di effetti = a secondo delle direzione del calore
... la conducibilità dei materiali dipende dalla direzione del calore
la legge di fourier diventa \(\vec{q} = - \sum_{j=1}^{3} K_{ij} \frac{\partial T}{\partial x_j} \) i,j = 1, 2, 3
non è più uno scalare ma un tensore di rango 2 (matrice 3x3)
Se la matrice \(K_{ij}\) è diagonale ... equivalente alla matrice identità \(\Rightarrow \) La (3) s'riconduce all'usuale legge di Fourier
D'ora in avanti faremo sempre riferimento a materiali ISOTROPI dove ... vale la legge di fourier (1)
Se nella (2), K e Cv dipendono da T → non è più un'equ.
lineare → la somma di 2 soluzioni della (2) non è più soluzionedell'eq. ⊕ il prodotto di uno scalare * unasoluzione generica, non è più soluzione della 2a.
non esistono metodi analitici → risolvere la (2).
Anche se K e Cv dipendono dalla T supponiamo essi dipendanomedole.
→ K e Cv possono sono.
=> la (2) si può ridurre a
Δ2T + q0(x,t) = 1/α ∂T/∂t
α = K/ρcv = Diffusività termica m2/sec
Per risolvere qst sistemi delle rette è utile utilizzare le coordinate sferiche e/o cilindriche → sono sistemi di riferimento curvilinei
Come riconoscere gli operatori gradiente, divergenza a partire dallecoordinate sferiche e cilindriche?
Coordinate curvilinee (x1, x2, x3) → (q1, q2, q3)
Geometriche curvilinee curvilinee
coordinate cartesiane
̅x = (x1, x2, x3) vettore posizione
dx – differenziale del vettore posizione = spostamento infinitesimo
µ è una funzione delle coordinate curvil. perione (x1, x2, x3) sono legate a (q1, q2, q3)
→ dx = ∂x1/∂q1dq1 + ∂x2/∂q2dq2 + ∂x3/∂q3dq3 = ∑i=13 ∂xi/∂qkdqi
dx2 = dx ⋅ dx = ∑i=13 ∑i=13 ∂xi/∂qi∂xj/∂qjdqidqj
TENSORE METRICO "gij"
Utilizzando le coordinate curvilinee ortogonaliy qst coordinate il tensore metrico qikj è diagonale → qij = 0 se
→ dx2 = h12dq12 + h22dq22 + h32dq32
sono le radici quadrate degli elementi sulla diagonale principaledel tensore metrico
h1 = √∂xi/∂q1 &hspace; h2 = √∂xi/∂q2 &hspace; h3 = √∂x2/∂q3
In generale l’eq. di bilancio di energia si può esprimere nelle coordinate che più ci fanno comodo
(A) ∇T + qp = 1/κ ∂T/∂t eq. di bilancio locale dell’energia per un solido
Non basta risolvere i problemi → servono le condizioni iniziali
stiamo infatti studiando l’evoluzione nel tempo della T
t = 0: T(→x,0), f(→x)
- → distribuzione non uniforme dipende dal vettore posizione
Ci spieghiamo che fare con un corpo esteso (solido) che interagisce con l’ambiente circostante
- Dobbiamo vedere cosa succede sulla superficie di confine del solido → è qst che interagisce con l’ambiente esterno
sup. di confine connessa
non ha ‘buchi/spazi vuoti’ al suo interno
Ci sono le distinte superfici!!
Su ciascuna Si dobbiamo imporre delle condizioni che mi dice come interagisce con l’ambiente circostante → imponiamo cioè delle condizioni al contorno!
x ∈ Si ∀ Si ci sono delle condizioni al calorno ≠ a seconda del tipo di interazione
∀ x ∈ Si
Condizione al contorno del 1o tipo
∀ x ∈ Si T(→x,t) = F1(→x,t) ∀ t ≤ 0
Condizione al contorno del 1o tipo in condizioni stazionarie T(→x,t) = f1(→x)
Condizione al contorno del 1o tipo uniforme T(→x,t) = F1(t)
Condizione al contorno del 1o tipo costante T(i x,t) = cost
→ si parla di superficie tramite isotermo stazionario
Condizione al contorno del 2o tipo
- impone da qp di calore che su x ↔ su x conosciuta (conocesc. area attraversa Si)
qp = densità di flusso termico
- è definito dalla legge di Fourier scrivere il flusso q noto
- è dippende da T ess.
CONDIZIONE IN REGIME STAZIONARIO
Trattiamo analizzando problemi bidimensionali in coordinate cartesiane (in base al problema posso scegliere quali coord. usare!)
L'eq. di bilancio di energia che ci serve è la seguente:
∂2T/∂x2 + ∂2T/∂y2 = qg(x,y)/k (1)
La condizione 2° è sulla coord. di simm. Truc. → lungo z q' problema Non cambia
Problema invariato + instazioni nella direzione x e y
Supponiamo una barra rettangolare co-mette profonda
La risoluz. di sost. problema è possibile solo sui 2 dei fochi di sue cond. al contorno NON omogenea
ad esempio, su 1 lato imposto uno T*
Risolvo il sistema uso la separazione delle variabili
L'eq. (4) non è omogenea ⇒ esprimo il campo di T nel seguente modo:
T(x,y) = Ts(x,y) + T1(x,y)
Soluzione particolare dell'eq. Soddisfa l'eq. di bilancio di energia non omogenea − associato non contiene → cond. al contorno
∂2Ts/∂x2 + ∂2Ts/∂y2 = qg(x,y)/k = 0
Questa è soluzione dell'omo assomato
Detta che soddisfi l'eq. al contorno
Per trovare la Θ(x,y) dopo che ho trovato la Ts(x,y) devo risolvere tutto il le eq. al contorno in funzione di Θ
es:
∂T/∂y = 0
∂T/∂x = 0
T = Ts(x,y) + Θ(x,y) soddisfa al calore (tutte le deve soddisfare)
sono condizione da adiabatici -di adiabatici omogenee
una condizione non omogenea => introduco una T* ridotta T+ = T - T0
⇒ Il problema diverto
∂T1/∂y = 0
∂T1/∂x = 0
⇒T+(x,y) = T's(x,y) + Θ(x,y)
si verica condizione NON omogenea
Θ = 1 - T4 - T0
Supponiamo di avere trovato in qualche modo la Ts(x,y) come faccio a trovare le temp. di contorno per Θ?
∂2Θ/∂x2 + ∂2Θ/∂y2 = 0
Θ(0,y) + Ts(x,0) = 0
Θ(0,0) = T1 - T0 - Ts(x,0)
Θ = T4 - Θ Ts(x,0)