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Studio della conduzione termica nei materiali solidi

Si parte usando le leggi di Fourier

... il campo di temperatura con un campo vettoriale chiamato densità di flusso termico

Densità di flusso termico: \(q = \left [ \frac{W}{m^2} \right ]\) = serie ... definisco la q di calore che passa nell'unità di tempo in una superficie

\( \begin{Vmatrix} q \end{Vmatrix} = \oint q \cdot ds\)

4 versione normale alla superficie

LEGGI DI FOURIER \( q = - k \nabla T\) è una proprietà dei materiali e \(k = K (T) \)

conducibilità termica \(\left [ \frac{W}{m \cdot K} \right ]\) temperatura locale del solido

La legge di fou.series = scrivere leg. di bilancio locale dell'energia \( \nabla \cdot L \cdot KvT(\vec{x}, t) = \rho c_s \frac{\partial T}{\partial t}\) (2) \(\vec{x} = (x,y,z) \) = VETTORE POSIZIONE \(\rho \) = DENSITÀ (e' costante !!)

\(c_s = \) CALORE SPECIFICO A VOLUME COSTANTE

Si ipotizza il solido come un corpo completamente rigido

escludiamo i fenomeni di termomeccanica per i deformazioni

... trascurando i fenomeni di dilatazione termica

\(q_g \) energia termica generata all'interno del solido = dentro di volume \(q_g = \left [ \frac{W}{m^3} \right ]\) ... e si può sviluppare calore = effetto Joule = effetti ...

reazioni chimiche che si sviluppano dell'interno, per reazioni nucleari (fissione ...)

... il materiale solido ha una struttura anisotropa il processo di conducità termica dipende di effetti = a secondo delle direzione del calore

... la conducibilità dei materiali dipende dalla direzione del calore

la legge di fourier diventa \(\vec{q} = - \sum_{j=1}^{3} K_{ij} \frac{\partial T}{\partial x_j} \) i,j = 1, 2, 3

non è più uno scalare ma un tensore di rango 2 (matrice 3x3)

Se la matrice \(K_{ij}\) è diagonale ... equivalente alla matrice identità \(\Rightarrow \) La (3) s'riconduce all'usuale legge di Fourier

D'ora in avanti faremo sempre riferimento a materiali ISOTROPI dove ... vale la legge di fourier (1)

Se nella (2), K e Cv dipendono da T → non è più un'equ.

lineare → la somma di 2 soluzioni della (2) non è più soluzionedell'eq. ⊕ il prodotto di uno scalare * unasoluzione generica, non è più soluzione della 2a.

non esistono metodi analitici → risolvere la (2).

Anche se K e Cv dipendono dalla T supponiamo essi dipendanomedole.

→ K e Cv possono sono.

=> la (2) si può ridurre a

Δ2T + q0(x,t) = 1/α ∂T/∂t

α = K/ρcv = Diffusività termica m2/sec

Per risolvere qst sistemi delle rette è utile utilizzare le coordinate sferiche e/o cilindriche → sono sistemi di riferimento curvilinei

Come riconoscere gli operatori gradiente, divergenza a partire dallecoordinate sferiche e cilindriche?

Coordinate curvilinee (x1, x2, x3)(q1, q2, q3)

Geometriche curvilinee curvilinee

coordinate cartesiane

̅x = (x1, x2, x3)   vettore posizione

dx – differenziale del vettore posizione = spostamento infinitesimo

µ è una funzione delle coordinate curvil. perione (x1, x2, x3) sono legate a (q1, q2, q3)

→ dx = ∂x1/∂q1dq1 + ∂x2/∂q2dq2 + ∂x3/∂q3dq3 = ∑i=13 ∂xi/∂qkdqi

dx2 = dx ⋅ dx = ∑i=13i=13 ∂xi/∂qi∂xj/∂qjdqidqj

TENSORE METRICO "gij"

Utilizzando le coordinate curvilinee ortogonaliy qst coordinate il tensore metrico qikj è diagonale → qij = 0 se

→ dx2 = h12dq12 + h22dq22 + h32dq32

sono le radici quadrate degli elementi sulla diagonale principaledel tensore metrico

h1 = √∂xi/∂q1 &hspace; h2 = √∂xi/∂q2 &hspace; h3 = √∂x2/∂q3

In generale l’eq. di bilancio di energia si può esprimere nelle coordinate che più ci fanno comodo

(A) ∇T + qp = 1/κ ∂T/∂t eq. di bilancio locale dell’energia per un solido

Non basta risolvere i problemi → servono le condizioni iniziali

stiamo infatti studiando l’evoluzione nel tempo della T

t = 0: T(x,0), f(x)

  • → distribuzione non uniforme dipende dal vettore posizione

Ci spieghiamo che fare con un corpo esteso (solido) che interagisce con l’ambiente circostante

  • Dobbiamo vedere cosa succede sulla superficie di confine del solido → è qst che interagisce con l’ambiente esterno

sup. di confine connessa

non ha ‘buchi/spazi vuoti’ al suo interno

Ci sono le distinte superfici!!

Su ciascuna Si dobbiamo imporre delle condizioni che mi dice come interagisce con l’ambiente circostante → imponiamo cioè delle condizioni al contorno!

x ∈ Si ∀ Si ci sono delle condizioni al calorno ≠ a seconda del tipo di interazione

∀ x ∈ Si

Condizione al contorno del 1o tipo

∀ x ∈ Si T(x,t) = F1(x,t) ∀ t ≤ 0

Condizione al contorno del 1o tipo in condizioni stazionarie T(x,t) = f1(x)

Condizione al contorno del 1o tipo uniforme T(x,t) = F1(t)

Condizione al contorno del 1o tipo costante T(i x,t) = cost

→ si parla di superficie tramite isotermo stazionario

Condizione al contorno del 2o tipo

  • impone da qp di calore che su x ↔ su x conosciuta (conocesc. area attraversa Si)

qp = densità di flusso termico

  • è definito dalla legge di Fourier scrivere il flusso q noto
  • è dippende da T ess.

CONDIZIONE IN REGIME STAZIONARIO

Trattiamo analizzando problemi bidimensionali in coordinate cartesiane (in base al problema posso scegliere quali coord. usare!)

L'eq. di bilancio di energia che ci serve è la seguente:

2T/∂x2 + ∂2T/∂y2 = qg(x,y)/k (1)

La condizione 2° è sulla coord. di simm. Truc. → lungo z q' problema Non cambia

Problema invariato + instazioni nella direzione x e y

Supponiamo una barra rettangolare co-mette profonda

La risoluz. di sost. problema è possibile solo sui 2 dei fochi di sue cond. al contorno NON omogenea

ad esempio, su 1 lato imposto uno T*

Risolvo il sistema uso la separazione delle variabili

L'eq. (4) non è omogenea ⇒ esprimo il campo di T nel seguente modo:

T(x,y) = Ts(x,y) + T1(x,y)

Soluzione particolare dell'eq. Soddisfa l'eq. di bilancio di energia non omogenea − associato non contiene → cond. al contorno

2Ts/∂x2 + ∂2Ts/∂y2 = qg(x,y)/k = 0

Questa è soluzione dell'omo assomato

Detta che soddisfi l'eq. al contorno

Per trovare la Θ(x,y) dopo che ho trovato la Ts(x,y) devo risolvere tutto il le eq. al contorno in funzione di Θ

es:

∂T/∂y = 0

∂T/∂x = 0

T = Ts(x,y) + Θ(x,y) soddisfa al calore (tutte le deve soddisfare)

sono condizione da adiabatici -di adiabatici omogenee

una condizione non omogenea => introduco una T* ridotta T+ = T - T0

⇒ Il problema diverto

∂T1/∂y = 0

∂T1/∂x = 0

⇒T+(x,y) = T's(x,y) + Θ(x,y)

si verica condizione NON omogenea

Θ = 1 - T4 - T0

Supponiamo di avere trovato in qualche modo la Ts(x,y) come faccio a trovare le temp. di contorno per Θ?

2Θ/∂x2 + ∂2Θ/∂y2 = 0

Θ(0,y) + Ts(x,0) = 0

Θ(0,0) = T1 - T0 - Ts(x,0)

Θ = T4 - Θ Ts(x,0)

Dettagli
Publisher
A.A. 2018-2019
123 pagine
13 download
SSD Ingegneria industriale e dell'informazione ING-IND/09 Sistemi per l'energia e l'ambiente

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Fescti di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Trasmissione del calore M e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Bologna o del prof Barletta Antonio.