Trasmissione Del Calore M

Università di Bologna - Corso di laurea in ingegneria energetica

Conduzione termica su una superficie S₀

Conduzione termica su una superficie S₀ orientata secondo un versore normale _n che:

Q_z = ∫ q_z^∗ n dS

• Q_z = Ritenzione termica [W]
• q_z = Densità di flusso termico [W/m²] [campo vettoriale]

Q_z è definita secondo la legge di Fourier:

q_z = -k ∇T

Legge di Fourier per solidi isotropi

Per solidi anisotropi (solidi in cui sussistono direzioni preferenziali), cambia il valore della conduzione termica a seconda della direzione della conduzione:

• q_x = - (K_xx ∂T/∂x + K_xy ∂T/∂y + K_xz ∂T/∂z)
• q_y = - (K_yx ∂T/∂x + K_yy ∂T/∂y + K_yz ∂T/∂z)
• q_z = - (K_zx ∂T/∂x + K_zy ∂T/∂y + K_zz ∂T/∂z)

NB: Le calorie eseguono ricostruzioni due fulle dalla regola a temperatura, non alla legge di Α temperatura, basta un richiamo della legge di Fourier. Serve per formulare l'equazione di bilancio dell'energia per i solidi:

ρc_v ∂T/∂t - ∇ θ q_z con c_v = calore specifico a velocità costante.

Campo di temperatura

T = Campo di temperatura [termine negativo]

Potenza generata per unità di volume:

q_z = Osservazione e metene tonii e calcolabile isotati e isotatip

Pcρ - E = ν verde campo q_z = vettore resodi di conduttive nel scioposostituendo una legge di Fouder.

Uveico bilancio energia: ρC_v ∂T/∂t ≥ ∇ (k ∇ T) → Q_qz = sostanza k⁴ / a

-----> ∂T/∂t = ∇²T + q_z/^z con q = p, fisicità = k_thermal / C_v

k Thermica (vredcciico pICICCI)

∇²T = d²T/dr² + 1/r d²T/dθ² in coordinate cartesiane (x, y, z)

Condizioni iniziali e al contorno

Per esplicitare il cambio di temperatura bisogna imporre condizioni:

• Iniziale: Per t=0 T(x,y,z,0)=F(x,y,z)
• Al contorno: sia Ω∈(R³) regione disario in cui, collocato il materiale solido, allora δΩ=superficie; confine di Ω, in genere dΩ non è connessa, occorre stabilire condizioni per ogni elemento di numero j di superficie connesso:

Confesso: dΩ=dΩ₁ ∪ dΩ₂ ∪ … ∪ dΩi ∪ … ∪ UdΩi su ciascun dΩi per asse ipotesi una diversa condizione al contorno:

• Condizione al contorno del I^o tipo (di Dirichlet)
  • Vincoliamo il campo di temperatura T∈Ω per T∈Ω → T(x,y,z,t)=Ti(x,y,z,t) (x,y,z)∈dΩi
• Condizione al contorno per il I^o tipo (di Neumann)
  • Vincoliamo la distribuzione di flusso termico ⊥ a dΩi ∀T∈Ω semplice VCL cioè univoco
  • Retroazione per T∈Ω → -k(∂T/∂n)={T(x,y,z,t) (x,y,z)∈dΩi
  • Caso particolare: quando dΩi è adiabatico → k(∂T/∂n)=0 ∀T∈Ω
• Condizione al contorno del III^o tipo (di Robin)
  • Vincoliamo una combinazione lineare di T e ∂T/∂n ∀T∈Ω per T∈Ω → k(∂T/∂n)+h(T(x,y,z,t)-Ti(x,y,z,t))
  • Con K,h=costante se T=∞: c. riconduciamo al II^o tipo ∞T=0: c. riconduciamo al II^o tipo

Se η, η', η" ∈ dΩ, η e la controversia preservano di un flusso termico q processo di convezione verso un fluido esterno con temperatura minore T∞:

-q=-(h(Tη)◦⋅Ti ∀t∈Ω con h := coeff. di conv.

Problemi di convezione termica

Problemi in regime stazionario. Un caso particolare in cui, per tempi molto lunghi (t → ∞), la distribuzione del calore D.T e q_g solo in cui le soluzioni al limite per t → ∞ sono indipendenti:

• lim _{t → ∞} T(x,y,z,t)-T₀(x,y,z)
• lim _{t → ∞} q_g(x,y,z,t) = q_g0(x,y,z)

In regime stazionario si avrà questa equazione:

∇²T₀ + q_g0/K = 0

Una variante del regime stazionario è il regime periodico stazionario. La temperatura varia in maniera periodica nel tempo con periodo = 2π/ω:

T(x,y,z,t) = T₀(x,y,z) + T₁(x,y,z) cos (ωt) - T₂(x,y,z) cos (ωt)

q_g(x,y,z,t) = q_g0(x,y,z) + q_g1(x,y,z) cos (ωt) + q_g2(x,y,z) cos (ωt)

L'equazione di bilancio dell'energia (a _{dt = 0}) diventa:

∇² T₂ + ∇² T₄

Integrando rispettivamente il volume interno [0; 2π/ω] (integrando = 0):

• ∇² T₀
• ∇² T₀ = T₀, distribuzione di temperatura media

Per calcolare T₁, T₂ modifichiamo (formula):

1/2 [ω.w * cos(wt) * ω.w * cos(wt) * T₂ + ∂w *(ω.w * cos(wt))] ∇² ₉T₂ +1/K [q_g0.q_g1 cos(ωt)]

T₂ D.R. da T₂ MP necessito un’altra equazione.

Riparto da formula 1

NB: Dire punto di vista fisico √(x²