Trasmissione del Calore

Trasmissione del calore

Meccanismi di trasporto, simbologia e conservazione dell'energia

Per ulteriori dettagli, vedi termofluidodinamica.

Equazione di conservazione dell'energia in forma differenziale

Come si deriva dalla forma integrale:

d/dt ∫_Ω(t) (e + 1/2 ρ u_ku_k) dV = ∫_∂Ω(t) T_iku_kn_i dS - ∫_Ω(t) q_kdV (Applica il teorema del trasporto) ∫ ∂/∂t (e + 1/2 ρ u_ku_k) = ∫ ρ u_k (e + 1/2 ρu_k) = ∫ ρ f_k u_k + ∇⋅(T_iku_k - q_i) → Converti un integrale di volume con il teorema della divergenza.

1. Grandezze q_ik e T_ik vanno definite in funzione dei campi integranti (velocità e temperatura).
2. Non risolveremo mai l'equazione generale, ma su versioni semplificate a seconda del caso in esame.

Condizione

u_k = 0, T_ik → corpo solido oppure fluido in quiete. ∴ ∫ ∂E/∂t = ∫ Q̅ - ∇⋅q_k (Elimina dall'equazione di conservazione dell'energia tutti i termini in cui compare u_k).

Equazione di conservazione dell'energia in forma differenziale

d/dt ∫_Ω(t) (e_t + 1/2 u_ku_k) dV = ∫_Ω(t) ρ f_k V_k dV + ∫_Ω(t) ρ ̅Q dV + ∫_Ω(t) (t_iku_kn_i - ρ ̅k n_k) dS (In forma integrale → comoda per comprendere i vari termini).

Applicazione del teorema del trasporto

∂/∂t (e_t + 1/2 u_k u_k) + ∇_i (t_iku_k) + ∇_i q_ik

1. Grandezze q_ik e t_ik vanno definite in funzione dei campi integranti (velocità e temperatura).
2. Non risolveremo mai l'equazione generale, ma in versioni semplificate a seconda del caso in esame.

Conduzione

u_k = 0, t_ik = 0, corpo solido oppure fluido in quiete. ∫_Ω ∂E/∂t = ∫_Ω ̅Q - ∇_k q_ik (Elimina dai termini di conservazione dell'energia tutti i termini in cui compare u_k).

Devo trovare il legame tra energia interna e flusso termico in modo da ottenere un'equazione con una sola incognita.

Equazioni costitutive

Relazioni fra due o più grandezze che derivano da osservazioni sperimentali.

Flusso termico

Q_i = - K_ik T_,k* K_ik ={K_xx K_xy K_xz K_yx K_yy K_yz K_zx K_zy K_zz} Tensore di conduttività termica ∂T gradiente di trasporto = (∂x, ∂y, ∂z) [K] = [Wm·K]

Idea valida per corpi anisotropi (conduttività termica varia a seconda della direzione → es. legno: calore viene trasportato più facilmente lungo le fibre che non in direzione perpendicolare alle fibre).

Per corpi isotropi → K_ij = (δ_ij) Unica conduttività termica Q_i = - K_ii T⃰;

Considerando il secondo principio della termodinamica (flusso termico vs. corpo freddo) Postulato di Fourier: il flusso termico è vettore parallelo al gradiente di temperatura, ma diretto in verso opposto.

Nota: V=1 a Ω si può definire Ω tale che T(x)=T₀ (superficie isoterma) → il flusso termico è ortogonale alla superficie isoterma.

Energia interna

e = e(T, p) ∂e/∂t = ↔ |_p=cost. |_T=cost. se ρ = cost., quindi V = l/β = cost.

C_p ≈ C_V = C sost. in Conver. energia: βCp∂T/∂t = β̅Q + ∇(K∇T)