Trasmissione del calore

PARETE CON STRATI IN SERIE

Questa è una parete composta da più strati con materiali diversi e conducibilità diverse.

Ogni strato ha una resistenza termica diversa:

R₁ = S₁ / Aλ₁ R₂ = S₂ / Aλ₂ R₃ = S₃ / Aλ₃

Quindi R₁Q₁ = (T₁ – T₂), R₂Q₂ = (T₂ – T₃), R₃Q₃ = (T₃ – T₄), ma dato che Q₁ = Q₂ = Q₃ = Q allora

Q (R₁ + R₂ + R₃) = (T₁ – T₄)

Come nei resistori, la resistenza equivalente è la somma delle resistenze

Q = (T₁ – T₄) / R_TOT (utile se ti serve un R specifico)

R_TOT per n strati è R_TOT = Σ_{i = 0}^m R_i

I ragionamenti qui sopra valgono anche per resistenze cilindriche

R = R_cil = 1 / 2πxl ln r₂ / r₁

PARETE CON STRATI IN SERIE

Questa è una parete composta da più strati con materiali diversi e conducibilità diverse. Ogni strato ha una resistenza termica diversa:

R₁ = ^S₁/_Aλ1, R₂ = ^S₂/_Aλ2, R₃ = ^S₃/_Aλ3

Quindi R₁Ṫ₁ = (T₁ - T₂), R₂Ṫ₂ = (T₂ - T₃), R₃Ṫ₃ = (T₃ - T₄), ma dato che Ṫ₁ = Ṫ₂ = Ṫ₃ = Ṫ allora

Ṫ ^{(R₁ + R₂ + R₃)}/_Rtot = (T₁ - T₄)

Come nei resistori, la resistenza equivalente è la somma delle resistenze

Ṫ = ^{T₁ - T₄}/_Rtot (utile se ti serve un R specifico)

R_tot per n strati è R_tot = ^m∑_{i = 0 + 1} R_i

I ragionamenti qui sopra valgono anche per resistenze cilindriche

R = R_cil = ¹/_2πlxln (r₂/_r1)

PARETE IN PARALLELO

A_A=wH_A, A_B=wH_B, allora

R_A=^s/_{λ wHA}, R_B=^s/_{λ wHB}

Q=Q_A+Q_B=^(T_i-T₁)/_RA+^(T₁-T₂)/_RB=^(T_i-T₁)/_4/RA(T_i-T_i)

4/_Rtot

Quindi ¹/_Rtot=∑ⁿ/_i=1¹/_Ri (n strati in parallelo)

Se sono due, R_tot=^R_AR_B/_RA+RB

Ragionando per conduttanze K=¹/_R allora

• in serie ¹/_Ktot=∑ⁿ/_i=1¹/_Ki
• in parallelo K_par=∑ⁿ/_i=1K_i

T₁ < T₂ > T₃

Tra le pareti la resistenza è lineare, il profilo termico è una serie di queste.

Considero λ = λ (T).

Allora il problema diventa

• d/dx(λ(T)dT/dx) = 0 →
• &dfrac;dT/dx + λ(T) &dfrac;d²T/dx² = 0, perciò &dfrac;d²T/dx² = -&dfrac;1/λ dλ/dT &dfrac;dT/dx.

Ma

• dλ/dx = dλ/dT
• allora &dfrac;d²T/dx² = -&dfrac;1/λ &dfrac;dT/dx

Se:

• λ è crescente dλ/dT > 0 → &dfrac;dT/dx < 0 T(x) convessa (a)
• λ è decrescente dλ/dT < 0 → &dfrac;d²T/dx² > 0 T(x) concava (b)

(b) Il solido è omogeneo, λ = cost

Abbiamo due strati in serie e due strati in parallelo.

R₂ e R_oc sono trasmissioni convettive.

Sommiamo le resistenze in parallelo

Inoltre, le resistenze in parallelo

R_a / R_b

R_eq = R_oc + R₁ + R₂ + R₃ + R_RR_D / (R_C + R_D) + R_oc

Possiamo esprimere la potenza termica con la temperatura interno/esterna

Φ = T_∞ - T_oc / R_oc

Se non abbiamo una generazione μ"" = 0

μ" = R_T / V q = -λdT/dx

dove T = t(x) e λ = λ₁

Quindi, d²T/dx² + μ""/λ = 0.

Analizziamo il problema su mezza lastra il problema è asimmetrico dell'altro lato.

{ dT/dx = 0 { dt/dx(0) = 0}

{ -λdT/dx(L) = h(T(L) - T_∞)

dT/dx - μ"/λx + A

[T(x) - μ"/2λx² + Ax + B

dT/dx = A = 0

h(μ"/2λx² + B - T_∞ = + μ"L

Raggio Critico di Isolamenti

Il raggio critico di isolamento è il raggio al quale si verifica il massimo trasferimento di calore.

Considero h=cost.

T₁ T_∞

La resistenza dell’isolante è direttamente proporzionale allo spessore, mentre quella convettiva è costante.

Nel caso cilindrico di tubo dove raggi interni e esterni del tubo.

h T_∞

l

T₂ < T_∞

R_eq = R_is + R_∞ ⇒

⇒ R_eq = ¹⁄_2πλis ln ^r₂⁄_r1 + ¹⁄_hA = ¹⁄_2πλis ln ^r₂⁄_r1 = ¹⁄_{h (2πr2l)}

Se r_e > r_* ⇒ cresce R_TOT e r₂

Se r_e < r_* ⇒ R_TOT ⇓

Se r_e < r_* ⇒ diminuisce r, r₂ < r_*

r_* = ^λ⁄_h

r_* = raggio d'isolamento. Per trovare r_* bisogna derivare R_TOT.

Questo è π*d.

Il raggio critico di isolamento è

r₂ = ^λ/_2*h

Tornando alla temperatura di un corpo, questa dobbiamo vederla come dipendente da tempo e posizione.

T = T(x, θ)

La temperatura dipende anche da fattori esterni come h₁ e ad e onde la diffusività termica α:

T = T (x, θ, t_∞, h₁, μ₁, d, α)

α = ^λ/_ρc

Per questo motivo, per facilitare il problema riducendo il numero di variabili, introduciamo l'adimensionalizzazione.

In pratica riduciamo le variabili fisiche in gruppi di variabili dimenzionali in modo da ridurre la complessità.

Si introduce

T^* = ^{T - T_∞}/_{To - T∞} , x^* = ^x/_L e θ^* = ^θ/_θo dove :

T_iT_∞ t_∞ x_∞ L θ_o t_21/2

I parametri definiti sono 3:

B_i = ^hL/_k numero di Biot (per h)

F_o = 9* = ^L2/ numero di Fourier (per )

P_o = üü ^L2/_TR-T∞ numero di Pomerantzev (per üü)

Il numero di Biot è interpretabile come una resistenza termica interna in relazione a quella esterna (indumenti di molto maggiore).

Il numero di Fourier misura la potenza termica trasmessa rispetto a quella immagazzinata in un elemento di volume.

Il numero di Pomerantzev relaziona la capacità di generare calore con quella di smaltirlo nell'ambiente esterno.

Quindi T* = T* (X*, F_o, P_o, B_i)

CONVEZIONE

La convezione può essere naturale o forzata.La convezione è forzata quando la trasmissione di calore è causata da un corpo esterno.

Un esempio di convezione forzata è il flow.

Invece è naturale se la trasmissione avviene per differenza di densità dovuta a una variazione di temperatura.

L'aria in contatto col corpo si scalda e sale mentre quella di aria più fredda. L'aria calda cede calore all'ambiente e scende, rifreddandosi mentre l'aria che riscalda.

Questo riscaldamento genera un moto turbolento del fluido.

Le equazioni che si usano per indicare le proprietà del fluido:

• bilancio di massa
• bilancio di energia
• bilancio di entropia
• bilancio di quantità di moto

oltre che alcuni concetti di flusso laminare e turbolento.

q̇ = λ ^dt/_dn = h (Ts - Tθ)    dove

h = h (geometria, L, βθ, Cp, μβ, λf, Ts, Tθ, forma del corpo)    prop. fluido dimens.

Il flusso di calore può essere:

• laminare, se il flusso è regolare, lineare con traiettoria ben definita
• turbolento, se il flusso si dissolve e si mescola all’ambiente

ESPERIMENTO DI REYNOLDS

d’inchiostro Abbiamo un tubo pieno d’acqua e un tubicino dal quale fuoriesce un filamento

Se la velocità dell’acqua v.i è bassa, il filamento n.distinguo nel liquido.

Se si aumenta la velocità, le turbolenze aumentano e l’inchiostro si mescola con l’acqua.

Introdotto il numero di Reynolds:

Re = ρ _uD/^μ    dove:

• ρ - densità l.q.,
• μ - viscosità liquido,
• u - velocità ,
• D - diametro tubo.

Il numero di Reynolds indica il rapporto tra le forze d'inerzia e le forze viscose.

Se \(Re > 2500\), il flusso è turbolento.

Se \(Re < 2500\), il flusso è laminare.

Per un flusso laminare in regime stazionario la velocità, la pressione e la temperatura hanno valore in un punto che sono costanti.

Per un flusso turbolento il mescolamento caotico causa variazione delle proprietà in un punto.

Prendendo \(T\) come proprietà, allora \(T = \overline{T} + T'\) dove:

• \(\overline{T}\) = valore tempo medio temporale

\(\overline{T} = \frac{1}{\Delta \theta} \int_{0}^{\theta + \Delta \theta} T \, d\theta\)

\(T' = \frac{1}{\Delta \theta} \int_{0}^{\theta} T' \, d\theta = 0\)

(fluttuazione)

La turbolenza è rumore in avvio arrivato al flusso, inoltre \(T = \frac{1}{\Delta \theta} \int_{0}^{\Delta\theta} T \, d \theta \cong cost.\)

Questo è analogo per ogni proprietà del punto.

Viscosità

Chiamiamo τ = / sforzo tangenziale, con che è la reazione vincolare e la superficie del corpo a contatto col fluido.

Se la velocità aumenta all’aumentare dell’altezza dal profilo del liquido

Allora τ ∝ / ⇒ τ = /, dove è la viscosità dinamica del fluido.

Sperimentalmente si rileva che τᵧₓ ∝ ∂u/∂y ⇒ τᵧₓ = ∂u/∂y.

Se μ è lineare, allora il fluido è newtoniano.

Definiamo la viscosità cinematica ν = /ρ un’altra proprietà sempre presente del liquido, mentre gli sforzi vinci sono essere trascurabili solo se sono trascurabili i gradienti di velocità.

STRATO LIMITE DI V...

Un fluido su una superficie viene disturbato fino in prossimità della superficie solida.

All’aumentare di x aumenta la zona disturbata, fino a che, raggiunto un valore di x, nasce in essa una

zona laminare del moto.

= (x)

La conoscenza di moto turbolento è δ = 0.99 U_ / 0.99 U_

→Zona di transizione

Laminare

Turbulence

xa ≈ 10

δ(x) laminare

Re_a dove ag. corso fronte di transizione ⇒

Re_a = ℱ × xa

 μ

L(t): s = R/R + R/R

La transizione da flusso laminare a flusso turbolento avviene a x_c quindi:

Re_critica = Ρ × u × x_c / μ = 315.50 ⟹ cca

Se Re < Re_c ⇒ flusso laminare

Se Re > Re_c ⇒ flusso turbolento

Come il problema dinamico si approccia, nello stato limite

il valido indice per quello termico.

lo spessore è indicato con S_t

Nel caso dello stato limite

laminare δ=2lPr^1/3

Nel moto all'interno dei condotti, possiamo considerare lo stato

limite di U e T.

^{u max}⁄₂

Re=↑

D_e

se il , Strato limite^{questo capitolo} δ

σ=punto lungo

Se il moto è laminare se Re_D < 2300

Per moto laminare li:. 0.030 R_eD_e

Per il campo termico si può considerare una lunghezza

di imbocco e una regione termica completamente sviluppata

si fa riferimento a

T^*=

–––––– (dove T_m è la temperatura di saturazione

T^*=:

adiabatica, o temperatura di tasca

^{temperatura media} interna.