Trasformata di Fourier

Proprietà della Trasformata di Fourier

In questo caso, segue che:

1. L'integrale di Fourier è assolutamente convergente per ogni f
2. La trasformata X(f) risultante è una funzione continua e limitata
3. X(f) → 0 per f → ±∞ (lemma di Riemann-Lebesgue)
4. L'integrale di Fourier inverso (antitrasformata) converge ad x(t) in ogni punto t in cui il segnale sia continuo e sia derivabile da destra e da sinistra (condizioni di Dirichlet) (vabene anche il punto angoloso o una funzione derivabile a tratti)

Segnali a energia finita:

In questo caso, segue:

1. L'integrale di Fourier è convergente per quasi ogni f (teorema di Carleson).
2. Vale anche per l'antitrasformata → l'integrale di Fourier inverso converge ad x(t) per quasi ogni t

Trasformata e antitrasformata in senso debole:

In tutti e due i casi di segnale, entrambe le formule di trasformata ed antitrasformata valgono anche "in senso debole". Ciò significa che, per ogni

anch'essa puramente reale e pari (e viceversa).

Se x(t) è puramente reale e dispari, allora la sua trasformata X(f) è puramente immaginaria e dispari (e viceversa).

Scalamento

Si dimostra che, data una generica coppia di trasformate x(t) → X(f), allora:

Stesso grafico compresso (|a|>1) o dilatato (|a|<1) di un fattore a.

Inoltre, se a=-1, si ha:

Trasformata di Fourier 5

Ciò significa che ribaltare l'asse dei tempi corrisponde a ribaltare l'asse delle frequenze e viceversa.

Traslazioni, ritardi e anticipi

Si dimostra che, data una generica coppia di trasformate x(t) → X(f), allora:

Ritardare nel dominio dei tempi significa moltiplicare lo spettro per un valore che dipende da t0, ovvero da quanto ho ritardato (t0 > 0) o anticipato (t0 < 0).

Si noti che l'anticipo ed il ritardo di un segnale nel dominio del tempo alterano solo la fase del relativo spettro, non il modulo (intensità del suono non cambia se lo stesso viene riprodotto.

in momenti diversi del tempo).

Dualità

Si dimostra che, data una generica coppia di trasformate x(t) ↔ X(f), la funzione X(f) può anche essere interpretata come funzione del tempo X(t) (sostituendo cioè f con t). Si dimostra, in tal caso, che la sua trasformata di Fourier è (proprietà di dualità):

La proprietà deriva dall'analogia, proprio a meno di un segno, fra gli integrali che definiscono trasformata ed antitrasformata.

Valore nell'origine ed area

Si dimostra che, data una generica coppia di trasformate x(t) ↔ X(f), se l'integrale di Fourier converge puntualmente per f = 0 (es: x(t) assolutamente integrabile), allora:

Trasformata di Fourier 6