Trasformata di Fourier

Trasformata di Fourier

Introduzione

La trasformata di Fourier è uno strumento matematico utilizzato per analizzare le componenti in frequenza di segnali complessi, come ad esempio un segnale musicale. Nel contesto delle comunicazioni elettriche, essa permette di rappresentare un segnale nel dominio delle frequenze.

Componenti in frequenza di un segnale musicale

Un esempio tipico è quello della voce in aula che entra nel microfono ed esce dalle casse.

La banda di un segnale musicale si dimostra attraverso il modulo della trasformata di Fourier di un segnale a valori reali, che presenta una simmetria pari. Inoltre, si campiona solo fino ai 20 kHz perché:

• Le componenti in frequenza superiori non contribuiscono nell'integrale
• Oltre i 20 kHz il nostro orecchio non percepisce i suoni

Cosa succede se consideriamo l'integrale non fino a 20 kHz ma ci fermiamo prima?

• Solo componenti di frequenza fino a 100 Hz (molto bassa): si sentono solo i bassi.
• Fino a 1 kHz: voce molto bassa ma udibile, più base; approssimazione molto grezza ma riconoscibile.
• Fino a 2 kHz: più componenti compaiono, ma abbiamo sempre i bassi prevalenti (come la musica sentita fuori da un locale, vecchi telefoni, radio, suoni sott'acqua).
• Fino a 5 kHz: migliora ma mancano ancora componenti.
• Fino a 10 kHz: una buona approssimazione perché stiamo scartando poche componenti in frequenza.
• Fino a 15 kHz: ancora più nitida.

Le tracce audio vengono degradate (filtrate) quando vengono compresse in un certo formato (mp3, wma, mp4 per i video), perché vengono tagliate certe frequenze.

Componenti in frequenza delle immagini

• Componenti a frequenza spaziale molto bassa: immagini pressoché monocromatiche (pochissime sfumature). Infatti, ci sono somme di sinusoidi che sono costrette ad avere un periodo molto grande. Dunque, non ci possono essere variazioni abbastanza alte da un punto all'altro.
• Aggiungendo man mano componenti a frequenza via via maggiore: immagine sempre più nitida.

Trasformata di Fourier: continuo matematico

Notazioni:

• x(t) → segnale
• X(f) → spettro
• X(f) = F{x(t)} ; x(t) = F^-1{X(f)} ; x(t) ↔ X(f)

Convenzioni

La definizione di trasformata presuppone che, fissato f, il corrispondente integrale rispetto a t converga. Analogamente, per l'antitrasformata, il relativo integrale rispetto a f converge al valore x(t) del segnale, una volta fissato t.

Determinare quali siano i segnali x(t) la cui trasformata di Fourier esista e sia invertibile è molto complesso. Tuttavia, tutti i segnali che si incontrano nella realtà fisica sono pressoché tutti Fourier trasformabili.

Condizioni sufficienti (ma non necessarie) di esistenza ed invertibilità

Segnali assolutamente integrabili:

• L’integrale di Fourier è assolutamente convergente per ogni f.