Teoria dei Segnali parte 2: Trasformata di Fourier

DIMOSTRAZIONE

Infatti:

Traslazione nel tempo

A partire dal segnale x(t) considero il segnale z(t)=x(t-t ). Allora:

0

DIMOSTRAZIONE

Infatti:

ESEMPIO: calcolare la F-trasformata di un impulso rettangolare ritardato;

Traslazione in frequenza

A partire da x(t) noto si ha:

DIMOSTRAZIONE

Infatti:

ESEMPIO: trovare la F-trasformata del seguente segnale;

Ricordando che la serie di Fourier del coseno è:

Si ottiene:

Valore iniziale

Su un generico segnale x(t) si nota che:

Per cui dato un’impulso rettangolare x(t):

Teorema di dualità

Esiste una simmetria tra dominio del tempo e dominio delle frequenze su un segnale x(t) e la sua F-

trasformata. A partire da x(t) tale che x(t) ↔ X(f), si considera un segnale che esprime nel tempo la F-

trasformata di x(t):

Allora:

DIMOSTRAZIONE

Infatti:

ESEMPIO: trovare l’energia del segnale x(t) dato;

In cui è stato applicato il teorema di dualità. Come scopriremo tra poco l’energia di un segnale x(t) è tale

che:

Quindi:

Tali proprietà sull’energia di un segnale x(t) e la sua F-trasformata prendono il nome di relazioni

energetiche.

Relazioni energetiche

Dato x(t) tale che:

Allora si ha che:

DIMOSTRAZIONE

Teorema del cambio scala

Dato un segnale x(t) ↔ X(f) e il relativo segnale z(t):

Allora:

DIMOSTRAZIONE

ESEMPIO: calcolare la F-trasformata dell’ impulso rettangolare dimezzato;

Dal teorema di scala:

Graficamente:

Contrariamente accade se invece di dimezzare l’impulso lo raddoppiamo nel tempo. La sua

rappresentazione in frequenza sarebbe più alta e si annullerebbe su multipli di 1/(2T) cioè al doppio della

velocità con delle creste molto più strette. In generale accade per z(t)=x(at) che:

|a|>1 compressione della scala dei tempi;

 |a|<1 dilatazione della scala dei tempi;

 |a|<0 inversione della scala dei tempi;



dalla trasformazione:

Si nota che una dilatazione dell’asse dei tempi è congiunto a una compressione dell’asse delle frequenze e

viceversa. Intuitivamente infatti se un segnale è rallentato prevalgono le componenti a bassa frequenza e lo

spettro si addensa attorno alla frequenza nulla.

Teorema del prodotto

Data una coppia di segnali x (t), x (t) se si origina il segnale:

1 2

Allora:

DIMOSTRAZIONE

Questa proprietà è fondamentale nello studio di sistemi dinamici lineari tempo-invarianti.

Teorema della convoluzione

Data una coppia di segnali x (t), x (t) da cui origina il segnale:

1 2

Allora:

DIMOSTRAZIONE

Dai teoremi del prodotto e della convoluzione derivano le proprietà commutativa, associativa, distributiva

della convoluzione tra segnali:

PROPRIETA’ COMMUTATIVA

Dal prodotto nel tempo, per la proprietà commutativa del prodotto tra x e x , invertendo il ruolo dei

1 2

segnali la Z(f) non cambia:

PROPRIETA’ ASSOCIATIVA

Dalla proprietà associativa del prodotto, data una terna di segnali x (t), x (t), x (t) si verifica che:

1 2 3

PROPRIETA’ DISTRIBUTIVA

Dal teorema di convoluzione e dalla proprietà dissociativa rispetto alla somma su una terna x (t), x (t), x (t)

1 2 3

si ha:

Teorema di modulazione

Dato un segnale tale che x(t) ↔ X(f) si ha l’importante conseguenza che: