Teoria dei Segnali parte 2: Trasformata di Fourier

Appunti di teoria dei segnali

Trasformata di Fourier

Pedone Fabio – Politecnico di Bari

Segnali aperiodici: trasformata di Fourier

Esiste un operatore in grado di esprimere come sovrapposizione di infinite armoniche elementari anche un segnale aperiodico, così come per i segnali periodici è sufficiente svilupparli in serie di Fourier. Sia dato il segnale aperiodico:

E mettiamolo in relazione col treno di impulsi rettangolari, segnale periodico: ottenuto ripetendo l’impulso elementare a distanza nT l’uno dall’altro.

Del segnale x(t) conosciamo già la sua rappresentazione in serie di Fourier. È importante notare che il segnale x(t) è considerato come un caso limite di segnale periodico. Partendo infatti da x(t) si ottiene x(t) in t=0 se si effettua una periodicizzazione di periodo T →∞. Questo è vero in generale per ogni segnale aperiodico:

Il segnale x(t) può rappresentarsi in serie di Fourier come:

Osserviamo ciò che accade per T →∞. Aumentando T diminuisce la frequenza fondamentale f₀ riducendosi così la differenza tra due generiche frequenze consecutive. Ciò infittisce lo spettro del segnale se la scala di rappresentazione non varia. Inoltre l’ampiezza degli X_n si riduce al crescere di T. Quindi lo spettro di x(t) si infittisce e assume valori sempre più piccoli per tutte le armoniche. Si può ovviare alla riduzione in ampiezza delle righe spettrali adoperando un coefficiente di Fourier modificato:

Il quale non tende a 0 per T →∞. Riscriviamo l’espressione di Fourier di x(t) col coefficiente modificato:

Ora si può effettuare il passaggio al limite per T →∞. Il segnale x(t) diventa x(t). La serie a secondo membro è somma di valori di una funzione valutata in valori discreti nf equispaziati e moltiplicati per f₀ che tende a 0 per T →∞. Per definizione, la somma al limite diventa un integrale calcolato in f:

Detto integrale di Fourier. È chiaro che X(f) è funzione complessa di variabile continua f. L’espressione X(f) si ottiene al limite per T →∞ del coefficiente X_n (nf₀):

Nota come trasformata di Fourier del segnale aperiodico x(t). Nella serie di Fourier un segnale periodico è rappresentabile da componenti sinusoidali a frequenze multiple di una frequenza fondamentale variabile su un insieme discreto di valori. Su un segnale aperiodico x(t) si può dire che integrale di Fourier oppure antitrasformata di Fourier di X(f) che permette di rappresentare il segnale stesso come sovrapposizione.