Topologia di R

Topologia di R^m

Sia m ∈ Z >1

R^m = ∗ {X = (x₁, ..., x_m) : x_j ∈ R, j = 1, ..., m}

R^m = R_X ∗ ... ∗ X _R

m volte

Con Operazioni:

X + Y = ( x₁ ) + ( y₁ ) = ( x₁ + y₁ ) ; ∀ x, y ∈ R^m

x_m y_m x_m + y_m

d x = ∗ ( x₁ ) =: ( ∗ x₁ ) ; ∀ α ∈ R, ∀ x ∈ R^m

d x₁ d x_m

R^m è uno spazio vettoriale su R (R è campo degli scalori)

Def.

Una norma (o modulo) sullo spazio vettoriale R^m è una funzione || . ||: R^m → R

x → ||x||

Tale che:

1. ||x|| ≥ 0 ; ∀ x ∈ R^m
2. ||x|| = 0 ↔ x = 0
3. || d x|| = d |∗ |x| ; ∀ α ∈ R ; ∀ x ∈ R^m
4. || x + y || ≤ || x || + || y || ( Disuguaglianza Triangolare )

Esempio 1

Norma Euclidea su R^m è:

|| x ||: = ∗ √∑ x_i² = √ x₁² + ... + x_m² ; ∀ x = ( x₁ ) ∈ R^m

i=1 d x_m

Se m = 1 =>

||x|| = |x₁| = |x|

Topologia di R^m

Sia m ∈ Z > 1

R^m = { x = (x₁, ..., x_m), x_j ∈ R, j = 1, ..., m }

R^m = R_x × ... × R_k m_volte

Con operazioni:

• x + y = (x₁, _y1), ..., (x_m + y_m) ∈ R^m, ∀x, y ∈ R^m
• α x = (α x₁, ..., α x_m) ∈ R^m, ∀α ∈ R, ∀x ∈ R^m

R^m è uno spazio vettoriale su R

Def.

Una norma (o modulo) sullo spazio vettoriale R^m è una funzione ||•|| : R^m → R

x → ||x||

Tale che:

1. ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ R^m ||x|| = 0 ⇔ x = 0
2. ||α x|| = |α| ||x||, ∀α ∈ R, ∀x ∈ R^m
3. ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (disuguaglianza triangolare)

Esempio 1

Norma euclidea su R^m è:

||x|| = &radic(; ∑_i=1^m x_i²) = √(x₁² + ... + x_m²), ∀x = (x₁, ..., x_m) ∈ R^m

Se m = 1 → ||x|| = |x₁| = |x|

Esempio 2

||x||=₁ = Σ |x_i| = |x₁| + ... + |x_m|

ES 1

i: x_i = ¹/_-3

||x|| = √1 + 9 = √10

ES 2

||x||₁ = |1| + |-3| = 4

Def

Una distanza (o metrica) sull'insieme R^m è una funzione:

d : R^m x R^m → R

(x,y) → d(x;y)

Tale che:

1. d(x;y) ≥ 0 ; ∀ x, y ∈ R^m
2. d(x;y) = 0 ⇔ x = y
3. d(x;y) = d(y;x) ; ∀ x, y ∈ R^m
4. d(x;y) ≤ d(x;z) + d(z;y) ; ∀ x, y, z ∈ R^m

Diseguaglianza triangolare

Esempio 1

La distanza euclidea su R^m è

d(x;y) := √ Σ (x_i—y_i)² = √(x₁—y₁)² + ... + (x_m—y_m)²

∀ x = (^x₁/_xm), y = (^y₁/_ym) ∈ R^m

Se m = 1 d(x;y) = √(x₁—y₁)² = |x₁—y₁|

Esempio 2

d₁(x,y) := ∑_i=1^m |x_i - y_i| = |x₁ - y₁| + ... + |x_m - y_m|

x = ^[1]_[-3] y = ^[2]_[1]

Es1 d(x,y) = √(1-2)² + (-3-1)² = √17

Es2 d₁(x,y) = |1-2| + |-3-1| = 5

Osservazione

Ogni norma induce una distanza

d(x,y) := ||x-y||

in tal caso ||x|| = d(x,0)

Def.

Un prodotto scalare (o prodotto interno) sullo spazio vettoriale ℝ^m è una funzione:

<.,.> : ℝⁿ x ℝ^m → ℝ

(x,y) → <x,y>

Tale che:

1. <x,x> > 0 ∀x ∈ ℝ^m
   1. <x,x> = 0 ⇔ x = 0
2. <x,y> = <y,x>, ∀x,y ∈ ℝ^m
3. 2 <x,y> = 2 <x,y>, ∀ ∈ ℝ, ∀x,y ∈ ℝ^m

Da 2) e 3) segue che:

<αx,y> = α <x,y>, ∀α ∈ ℝ, ∀x,y ∈ ℝ^m

<x,y+z> = <x,y>+ <x,z>, ∀x,y,z ∈ ℝ^m

Esempio 1

Il prodotto scalare euclideo su R^m è

<x,y>:= ∑_i=1^m x_iy_i = x₁y₁ + ... + x_my_m;

∀x = (_i=1 y_i)^m ∈ R^m

Es. 1

R²

x₀ = (₁ -1), y = (₂ 1)

<x, y> = 1.2 + (-3).1 = 2 - 3 = -1

Esempio 2

<x, y>_R =: x₁y₂ - 5 x₂y₁ + 2 x₂y₂

Es. 2 x, y₂ = 1.1 - 5(-3).2 + 2/2(-3)/1 = 25

Ogni prodotto scalare euclideo induce una norma

||x|| := √<x, x>

In tal caso:

|<x, y>| ≤ ||x||||y|| → disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

Il prodotto scalare "definisce" angoli:

cosФ = ⟨x, y⟩||x||||y||

Diciamo che x, y sono ortogonali se <x, y> = 0

Def

Se x₀ ∈ R^m e r ∈ R>0,

è intorno sfero aperto (o sfera o intervallo aperto) di centro x₀ e raggio r e si intende [...]

B_r(x₀) := { x ∈ R^m: ||x - x₀|| < r }

= { x ∈ R^m : d (x, x₀) < r }

ESEMPIO

Se m=1

B₂(x₀) = [x₀-r, x₀+r]

Se m=2

B₂(x₀):

DEF

di intorno sferico chiuso di centro x₀ e raggio r è l'insieme:

B₂(x₀) := { x ∈ ℝ^m | ||x-x₀|| ≤ r } =

= { x ∈ ℝ^m : d(x,x₀) ≤ r }

ESEMPIO

Se m=1:

B₂(x₀) = [x₀-r; x₀+r]

DEF

La sfera (o ipersfera) di centro x₀ e raggio r è l'insieme:

S₂(x₀) := { x ∈ ℝ^m : d(x,x₀) = r }

Si ha che

B₂(x₀) = B_z(x₀) ∪ S_z(x₀)

DEF

Siano A ⊂ ℝ^m e x₀ ∈ ℝ^m

- x₀ è un punto intorno ad A se ∃r > 0: B_r(x₀) ⊂ A

- x₀ è un punto esterno ad A se è interno a A^c, cioè se

∃r > 0: B_r(x₀) ⊂ A^c

- x₀ è un punto di frontiera di A se non è né intorno se né

esterno cioè se ∀r > 0 ( B_r(x₀) ∩ A ≠ Ø

B_r(x₀) ∩ A^c ≠ Ø )

FRONTIERA

ESTERNO

INTERNO

1) insieme dei punti interni è A^o, si ha che A^o ⊆ A

2) insieme dei punti di frontiera δA

Un insieme A ⊂ Rⁿ è detto aperto se A^o = A

Un insieme A ⊂ Rⁿ è detto chiuso se A^c è aperto

Un insieme A aperto <=> δA ∩ A = ∅

Un insieme A chiuso <=> δA ⊆ A

La chiusura di A è l'insieme :

A = A^o ∪ δA (= A ∪ δA)

A è un insieme chiuso <=> A = A , A ⊆ A

ESEMPIO 1

B_ε(x_o) è aperto

δB_ε(x_o) = S_ε(x_o) è chiuso

B_ε(x_o) è chiuso ed è la chiusura di B_ε (x_o)

ESEMPIO 2

∅ e Rⁿ sono gli unici sottoinsiemi di Rⁿ che sono sia aperti che chiusi.

δRⁿ = ∅

δ∅ = ∅

ESEMPIO 3

A = { x ∈ R² : x₁, x₂ > 0 }

δA = { x ∈ R² : x₁,x₂ = 0 }

= { x ∈ R² : x₁ = 0 ∨ x₂ = 0 }

A ∩ δA = ∅ => A aperto

δA ⊄ A => A non è chiuso

A = { x ∈ R² : x₁, x₂ ≥ 0 }

ESEMPIO 1

ℝ²

A = B₂(0,0) ∪ {x ∈ ℝ²: x₁ = 3}

⋆A = S₂(0,0) ∪ {x ∈ ℝ²: x₁ = 3}

⋆A ∩ A ≠ ∅ ⇒ A ← É APERTO

⋆A ⊄ Æ ⇒ A ࢎ € CHIUSO

DEF

Siano A ⊆ ℝ^m e x₀∈ℝ^m

x₀ è un punto di accumulazione di A se ∀ z>0 A∩(B_z(x₀)\{x₀})≠∅

x₀ è un punto isolato di A se ∃z₀: A∩B_z(x₀)={x₀}

ESEMPIO

L'insieme dei punti di accumulazione di A è D(A) ed … detto derivato di A.

• A^∘ ⊆ D(A) ⊆ ¯A
• A è chiuso ⇔ D(A) ⊆ A

ESEMPIO

D(B_z(x₀))=B_r(x₀)

D(S_z(x₀))=S_z(x₀)

D(B_1/2(x₀))=B_1/2 (x₀)

ESEMPIO

ℝ²

A=B_1/2(0,0) ∪ {(m;0): m∈ℤ}

D(A)=B_1/2 (0;0)