Topografia - GPS, Compensazione e Trattamento delle Osservazioni

Equazioni di livellazione

Q QAB B Aoppure, facendo ricorso ai valori approssimati delle quote, supposte entrambe incognite:        (10.8)( 0 ) ( 0 ) (AB0 )Q Q x x x xAB B A B A B Acon x correzioni. Stante la linearità dell’equazione non sono comunque necessari valori approssimati delleincognite: essi possono comunque essere introdotti per valutare differenze rispetto a valori iniziali (adesempio nel controllo movimenti e deformazioni) e per simmetria con i casi non lineari.

Il peso da assegnare alle equazioni ai dislivelli deriva dal modo in cui è stata eseguita la misura. Ad esempionella livellazione trigonometrica, lo scarto quadratico medio si può ritenere proporzionale alla distanza sequesta si mantiene in una decina di km.

Nel caso della livellazione geometrica il dislivello viene ottenuto sommando tra loro i dislivelli delle singolebattute di lunghezza limitata (non eccedente i 100 m), che compongono la linea di livellazione.

livellazione

Sia data la quota di due capisaldi A e B, 5 dislivelli misurati e il relativo sviluppo delle linee. Si calcolino con minimi quadrati le quote dei capisaldi C e D con la matrice di varianza covarianza. Si considerino i pesi proporzionali all'inverso delle lunghezze delle linee.

1/2 CD

ATI linea Disliv. Lungh. Pesi= Pesi D[m] [km] =1/LQ =245,761

AC 11,716 2,3 0,4348 0,6594

AQ =263,943

CD -8,242 3,1 0,3226 0,5680

B DB 14,719 2,8 0,3571 0,5976

AD 3,466 4,2 0,2381 0,4880

A BBC -6,476 3,9 0,2564 0,5064

Soluzione:

1) scrittura del sistema d'equazioni: stante la linearità delle equazioni non si fa ricorso ai valori approssimati delle incognite. Le equazioni che formano la matrice disegno possono essere allora scritte secondo la(10.7):

Δ+ = -

Q - Qv 1 0 - 257.477 v

AC 1

Δ+ = -

Q - Qv

1 1 8.242

v

CD 2

2Q

Δ

+ = -

Δ

+

Q - Qv

  

    
1
    
1
    
0
    
0
    
1
    
180.6224
  
  

    
0
    
0
    
0.3571
    
0
    
0
    
249.224
  
  

    
0
    
1
    
1
    
1
    
0
    
145.6896
  
  

    
0
    
0
    
0
    
0.2381
    
0
    
-249.227
  
  

    
0
    
0
    
0
    
0
    
0.2564
    
-257.467
  


La normalizzazione può essere fatta anche a partire dalla matrice disegno pesata A, secondo le (7.30) e (7.31), nella quale si moltiplica ogni riga della matrice A per la radice quadrata del peso corrispondente:


  

    
0.4348
    
0
  
  

    
-0.3226
    
0.3226
  
  

    
0.4348
    
0.3226
    
0
    
0
    
0.2564
    
1.0138
    
-0.3226
  
  

    
0
    
0.3571
  
  

    
0
    
0.3226
    
0.3571
    
0.2381
    
0
    
-0.3226
    
0.9178
  
  

    
0
    
0.2381
  
  

    
0.2564
    
0
  


TT A ln p 0 p =


  

    
169.7753
  
  

    
-4.6811
  
  

    
0.4348
    
0.3226
    
0
    
0
    
0.2564
    
180.6224
  
  

    
0
    
0.3226
    
0.3571
    
0.2381
    
0
    
145.6896
  
  

    
121.6103
  
  

    
130.3735
  

risultato è naturalmente lo stesso. Questa procedura consente di arrivare alla matrice normale con un solo prodotto tra matrici e può essere utile nel caso di matrici dei pesi diagonali.

3) stima dei parametri: le soluzioni stimate si ricavano dalla soluzione del sistema normale:

4) calcolo degli scarti e della matrice di varianza covarianza

<p>ƒ &minus; ƒ</p>
<table>
  <tr>
    <td>0</td>
    <td>1</td>
    <td>-249.227</td>
    <td>-249.227</td>
    <td>-249.227</td>
    <td>0.000</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>1</td>
    <td>0</td>
    <td>-257.467</td>
    <td>-257.472</td>
    <td>-257.467</td>
    <td>-0.005</td>
  </tr>
</table>
<p>Gli scarti raggiungono i valori massimi e minimi compresi in +5mm e &minus;5 mm. Una semplice analisi degli scarti non fa rilevare in prima analisi la presenza di errori grossolani nelle misure.</p>
<p>Si pu&ograve; calcolare ora il valore stimato della varianza dell&rsquo;unit&agrave; di peso e la stima della matrice di varianza-covarianza:</p>
<p>Tv̂ Pv̂ 0.0000234σ ≈ 0.0000078&minus;0 n r 5 2</p>
<p>Σ σ σ σ ≈ ±σ ±σ</p>
<p>2 0,000009 0.000003 0.000009 m 2 . 9 mmσ &minus;≈ &minus;> 2 1 A AB A</p>
<p>Σ σ σ σ &minus; &minus;2 0.0000030 0.000010 0.000010 m 3 . 1 mmAB B B</p>
<p>I valori sulla diagonale principale della matrice di varianza-covarianza rappresentano le varianze dei paramenti stimati. Gli</p>

scarti quadratici medi risultano millimetrici.  1 T5) Calcolo della matrice di ridondanza : eseguendo i prodotti matriciali si ottiene:
R I AN A P0.5171 0.2323 0.1394 -0.0929 -0.2848
0.3132 0.4979 0.2987 -0.1991 0.1847
R= 0.1697 0.2698 0.5619 0.2921 0.1001
-0.1697 -0.2698 0.4381 0.7079 -0.1001
-0.4829 0.2323 0.1394 -0.0929 0.7152
Si noti che la ridondanza locale varia tra 0 e 1 e la traccia di R (sommatoria degli elementi diagonali),evidenziati in grassello, è pari alla ridondanza globale n–r=3 dello schema di misura.     1 1 1 T6) Calcolo della matrice dei cofattori : eseguendo i prodotti matriciali si
Q RP P AN Av̂v̂ottiene: 1,1893 0,7202 0,3904 -0,3904 -1,1106
0,7202 1,5432 0,8364 -0,8364 0,7202
 0,3904 0,8364 1,5736 1,2268 0,3904
Q v̂v̂ -0,3904 -0,8364 1,2268 2,9731 -0,3904 67Moho94Skuola.netUNIVAQ - DICEAA -1,1106 0,7202 0,3904 -0,3904 2,7895
̂ 2
Si può calcolare ora la matrice di varianza covarianza degli scarti stimati C