Appunti di Topografia - Parte 3

COORDINATE

Se sono in 1 dimensione 1 etichetta



Se sono in 2 dimensioni 2 etichette



Se sono in 3 dimensioni 3 etichette



Il metodo delle coordinate sostituisce ai punti i numeri, e lo studio delle proprietà

geometriche delle figure viene trasportato nel dominio del calcolo algebrico; in altre parole,

si studia la geometria mediante l'algebra (geometria analitica).

La definizione generale ": un sistema di coordinate nello spazio 1D, 2D o 3D " identificato

tramite un numero, una coppia o una terna di numeri che garantiscano la definizione

univoca del punto P.

La scelta di un sistema di coordinate piuttosto che un altro " del tutto irrilevante, dato che

sono note le trasformazioni analitiche tra i diversi sistemi.

Coordinate geografiche: latitudine e longitudine

Sistemi di coordinate

70

Sistemi di coordinate - cartesiane

93

Relazione tra coordinate cartesiane ed ellissoidiche

RN = raggio normale di curvatura

94

Trasformazioni tra sistemi di riferimento: caso 2D

In due dimensioni si fissano:

origine

 orientamento

 scala



La trasformazione generale " quindi una

rototraslazione con variazione di scala

x ' x y sinα

=λ [cosα + ]+x

y '= λ – x α+ y cos α]+ y

[sin

E’ determinata quando si conoscono i 4 parametri : x , y , a, λ

0 0

95

Per calcolare le coordinate " necessario:

definire e materializzare un sistema di riferimento

 misurare grandezze

 esprimere le coordinate in funzione delle misure



NB: le coordinate dipendono dal sistema di riferimento, mentre le grandezze geometriche

no!

Per ogni oggetto in teoria posso definire un sistema di riferimento (sistema di riferimento

locale).

Per una rappresentazione unica si deve definire un sistema unico (sistema di riferimento

globale).

RILIEVO ALTIMETRICO

Schema del rilevamento topografico tradizionale: componente verticale

96 -3 -3 2

1mGal = 10 Gal = 10 cm/s 2

(gravità terrestre 1000 Gal 9.81 m/s circa)

≈ ≈

Per definire il geoide " necessario introdurre i concetti di campo gravitazionale e

accelerazione centripeta che determinano le principali forze agenti su masse a riposo sulla

superficie terrestre.

97

Il potenziale della gravità terrestre " dato da:

Il campo gravitazionale ":

La direzione di questo vettore definisce la direzione della verticale.

Il campo di gravità " un campo conservativo, perciò, si possono definire le superfici

equipotenziali e le linee di forza.

Superfici equipotenziali S: W(P) = potenziale della gravità = costante; NON sono tra loro

parallele.

Linee di forza = linee perpendicolari alle superfici equipotenziali (sono linee a doppia

curvatura).

Il geoide " una delle superfici equipotenziali del potenziale di gravità (livello medio dei mari).

Viene stimato da dati di gravità (a terra o da satellite). In particolare, viene calcolata

l’ondulazione del geoide = altezza del geoide rispetto ad un ellissoide di riferimento lungo la

perpendicolare all’ellissoide stesso.

Quota ortometrica

Quota ortometrica H = lunghezza dell’arco (lungo la linea di forza) dal punto P al geoide (non

" una linea retta) = coordinata altimetrica del punto P.

98 Non " possibile misurare direttamente le quote dei

punti, ma tramite operazioni di livellazione vengono

misurati i dislivelli cio" le differenze di quote; a tale

scopo " necessario conoscere almeno la quota di un

punto per poter derivare la quota di altri punti.

Questo punto di quota nota rispetto al geoide " definito

tramite un mareografo; il mareografo " posto all'interno

di un porto e alloggiato in una piccola costruzione.

Mareografo: identifica un punto sul geoide = punto di derivazione delle quote

In Italia ci sono 3 mareografi ufficiali.

Rete livellazione nazionale

Rete altimetrica 1D

 Realizzata dall’IGM

 Si sviluppa lungo le arterie stradali (circa 18000 km)

 E’ continuamente aggiornata (monitoraggio subsidenze, ...)

 Lungo questa rete sono posizionati i punti di quota nota

 detti capisaldi:

– Caposaldi fondamentali (disposti alla distanza di 25km)

– Caposaldi principali (disposti alla distanza di 3km)

– Caposaldi di linea (disposti alla distanza di 1 km)

99 T

N = h H =

− γ

N = ondulazione del geoide

Deviazione della verticale = deviazione della verticale = n-n’ = (ξ,η)

ε ε

Rappresentazione geoide: espansione in armoniche sferiche

100

I modelli di geoide

Modelli globali: in termini di serie di armoniche sferiche

Modelli regionali: in termini di quote geoidiche grigliate

Risoluzione spaziale dei modelli

globali

Risoluzione spaziale =[180 / L]

101

Rilievo altimetrico

Misura di dislivelli

La quota di un punto " riferita a una superficie fisica (GEOIDE) e non a una superficie

geometrica (ellissoide)

Nel “campo topografico” il geoide " approssimato con un piano a lui tangente, la linea di

forza " approssimata con un segmento.

Dislivello ortometrico

La misura diretta di una quota non " possibile. Definito un punto di quota nulla, si misurano i

dislivelli.

Si realizza un piano “orizzontale”. Si misura la distanza tra questo piano e il punto A tA e la

distanza tB, la loro differenza " il dislivello tra

102 (t -t ) = dH

A B AB

LIVELLAZIONE

La misura avviene mediante le letture fatte su due stadie graduate verticali (battuta di

livellazione).

Si misura la differenza tra i segmenti individuati sulle stadie dall’asse di collimazione (che

individua una visuale orizzontale).

indipendente dalla distanza:

 geometrica

o idrostatica

o barometrica

o

dipendente dalla distanza

 tacheometrica o distanziometrica (teodolite + distanziometro)

o trigonometrica (teodolite + distanziometro di grande portata, stima rifrazione)

o

IL LIVELLO

Si utilizza un livello a cannocchiale che realizza una visuale orizzontale.

Cannocchiale topografico

 Traversa che può ruotare attorno all’asse a1

 Basamento dotato di viti calanti livella sferica



103

Il livello permette di materializzare un asse di collimazione orizzontale.

Le stadie (aste centimetrate) sono messe in verticale (mediante bolla sferica) sui punti di cui

si vuole valutare la quota.

Messa in stazione = rendere verticale l’asse a dello strumento

1

Condizione di messa in stazione:

• centramento della livella sferica (basamento)

• centramento della livella torica (se esiste " sul cannocchiale)

Messa in stazione simile alla messa in stazione del teodolite (verticalità di un asse =

orizzontalità di un piano)

LE LIVELLE

Strumento per valutare la VERTICALITA’ di un ASSE (o l’ORIZZONTALITA’ del piano a esso

perpendicolare).

Sono fiale di vetro riempite parzialmente di liquido volatile (alcool) per cui nella parte alta si

forma una bolla di vapori saturi.

La superficie del liquido che delimita i vapori si dispone sempre orizzontalmente.

Livella sferica: la superficie interna superiore della fiala " a forma di calotta sferica.

Livella torica: la superficie interna della fiala " a forma di toro.

Livella sferica: " una fiala a tronco di cilindro che termina con una

calottina sferica contenente fluido in parte allo stato gassoso.

La livella " centrata quando la bolla " inscritta nel cerchietto iscritto sulla

livella.

Sensibilità: " l’angolo n al centro della sfera corrispondente allo

spostamento della bolla di 1 mm. Più " basso più " sensibile la livella.

10’’ per livelli di buona qualità.

104

Per equilibrio idrostatico la tangente nel punto di mezzo della bolla si dispone su un piano

orizzontale.

Per rendere orizzontale il piano di appoggio basta centrare la bolla rispetto alla graduazione

della calotta.

Livella torica: analogamente alla livella sferica contiene fluido (alcool) in parte allo stato

gassoso. Permette di rendere orizzontale un asse. E’ 50 volte più precisa di una livella sferica.

Sulla fiala " incisa una graduazione simmetrica rispetto a uno zero centrale.

Tangente nel punto di mezzo della graduazione " la tangente centrale della livella.

Quando la bolla " simmetrica rispetto allo 0 si ha che la custodia " su un piano orizzontale.

Deve essere centrale anche dopo una rotazione di 180°.

Verticalizzazione = rendere un piano orizzontale

1. Si orienta la livella torica in direzione di due viti calanti (u1 e

u2) e si centra la bolla con il movimento simultaneo ed inverso

di queste ultime (una sale, l’altra scende della stessa quantità).

2. Si dispone la livella torica in direzione della terza vite e si

centra la bolla ruotando solo questa vite.

105

Non sempre i livelli sono dotati di livella torica.

Autolivello: il cannocchiale " legato rigidamente alla traversa, ma l’asse di collimazione "

mantenuto in posizione orizzontale, mediante un sistema pendolare (compensatore),

indipendente dalla posizione del cannocchiale. Raggiunge l’orizzontalità con un s.q.m. che

varia da ± 0.1” a ± 0.2” (0.5 mm su 1000 m).

Condizione di rettifica: il compensatore rende orizzontale l’asse di collimazione.

Classificazione dei livelli: σ ≥

1. livelli di bassa precisione o da cantiere: 5 mm

k ≤ σ ≤5 mm

2. livelli da ingegneria 2 mm k

≤ σ ≤ 2mm

3. livelli di precisione 1 mm k

σ 1mm

4. livelli di alta precisione (*)

<

k

= sqm chilometrico (errore quadratico medio su un tratto di 1 km). I punti tra cui si calcola

σ k

il dislivello con una battuta di livellazione devono essere ad una distanza limitata.

(*) Sono strumenti con: livella torica o sistema autolivellante di alta sensibilità:

cannocchiale con alto ingrandimento luminosità

 lamina piano parallela

 stadia graduata in nastro di invar



LE STADIE

Sono aste centimetrate (o mezze-centimetrate) lunghe 2-4 metri.

Per livelli di precisione le stadie sono custodie di acciaio o legno, contenente un nastro di

acciaio di invar centimetrato (la dilatazione termica influisce sul risultato). L’acciaio invar ha

una dilatazione di 0.1 mm per una escursione termica di 20°.

Hanno una LIVELLA SFERICA per poterle rendere verticali. Possono avere un treppiede. Nella

parte inferiore hanno una testa emisferica per poter essere posizionate sul punto in esame.

Errore legato alla LETTURA della misura: σ

a stima (distanza massima= 40-50 m) » ± 1,5 mm

 L

microme