Topografia - Appunti

Geodesia

La Geodesia è la scienza che studia la forma e le dimensioni della Terra e del suo campo gravitazionale. Essa si divide in Geodesia Teorica, che studia prevalentemente le dimensioni della Terra e del suo campo gravitazionale nel suo complesso, e la Geodesia Operativa (di cui è sottoinsieme la Topografia), volta all’elaborazione di modelli semplificati atti a rendere applicabile matematicamente tutto quello che risulta dalla Geodesia Teorica.

Superficie di riferimento

Per determinare la posizione di uno o più punti sulla superficie terreste, vista la sua alta complessità strutturale e la sua dinamicità evolutiva, è d’obbligo definire su di essa una Superficie di Riferimento semplificata, esprimibile mediante espressione chiusa, di natura matematica, che approssimi al meglio la reale superficie terreste interpolando tutte le asperità che la caratterizza, e che permetta lo svolgimento su di essa di calcoli matematici non eccessivamente complicati.

Una Superficie di Riferimento è caratterizzata da punti geometrici che assumono valore compiuto solo se sono riferiti ad un adeguato Sistema di Riferimento (terna cartesiana opportunamente orientata e collocata nello spazio) attraverso un Sistema di Coordinate, che in questo ambito può essere Geocentrico, se è definito direttamente sul Sistema di Riferimento, o Geografico, se lo è sulla Superficie di Riferimento. I Sistemi di Riferimento possono essere sia globali, che locali.

Sistema geodetico

Il primo serve a collocare uno o punti sulla Terra e deve tenere conto nella sua definizione della complessità e dinamicità geometrica della Terra stessa, del fatto che il globo è circondato da un’atmosfera di specifica densità e che la Terra possiede moti astronomici periodici come: il moto di rotazione, quello di rivoluzione, la precessione dell’asse terrestre, … . Questo Sistema di Riferimento prende il nome di Sistema Geodetico ed è definito come una terna di assi cartesiani con l’origine nel centro di massa medio del sistema (Terra – atmosfera), l’asse Z coincidente con la posizione media dell’asse di rotazione terrestre, l’asse X diretto verso il Meridiano Fondamentale di Greenwich e l’asse Y diretto di conseguenza.

Quello locale, invece, può essere definito ad hoc dall’utente, con assoluta arbitrarietà della scelta dell’origine e degli assi X e Y, mentre l’asse Z lo si definisce parallelo alla verticale passante per l’origine.

Per non stare sempre a stabilire la posizione del Sistema d’Assi utilizzato, è d’uso introdurre il Reference Frame: sistema di vertici materializzati adeguatamente sulla superficie terrestre a coordinate note, utilizzati per essere punti di appoggio alle battute di rilievo in quanto determinare un punto incognito grazie all’utilizzo di coordinate calcolate a priori su di un determinato Sistema di Riferimento, fa sì che questo punto venga anch’esso riferito allo stesso Sistema di Riferimento.

Campo gravitazionale

La Terra presenta una propria massa, questo implica l’esistenza di un campo gravitazionale che ammette un potenziale; cioè che ammette l’esistenza di superfici equipotenziali perpendicolari in ogni loro punto alle linee di forza del campo, ossia normali alla verticale; cioè per ogni punto della Terra passa una sola superficie equipotenziale ed una sola verticale (verticale locale).

Esse sono linee chiuse, con la concavità verso l’asse di rotazione terrestre, non sono molto dissimili dalla forma sferica, sono più ravvicinate dove l’accelerazione di gravità è maggiore e non sono parallele tra loro; cioè non sono equigravitative.

Si è scelta in prima approssimazione come Superficie di Riferimento la superficie equipotenziale passante per il livello medio dei mari ipotizzati collegati sotto i continenti, detta Geoide. Infatti, la superficie libera di un fluido in equilibrio statico in un dato campo di forze è superficie equipotenziale per quel campo di forze: supponendo trascurabile la viscosità, la superficie del fluido non può essere altro che normale alla direzione della forza che agisce nel campo, altrimenti si genererebbe una componente della forza tangente alla superficie che causerebbe uno scorrimento degli elementi fluidi.

La Terra però non è un sistema statico immerso in un campo di forze e le acque marine sono perturbate da movimenti irregolari dovuti ai venti, alle differenze di salinità, alle correnti e al moto ondoso e dalle maree che dipendono dall’attrazione Luna – Terra – Sole e perciò non è detto che i punti che fissano nelle diverse località il livello medio dei mari stiano sulla stessa superficie equipotenziale; molti di questi disturbi si possono calcolare e così eliminare dal modello.

Il Geoide viene meno ad una delle due caratteristiche di Superficie di Riferimento: pur essendo strettamente vicina alla geometria della Terra, essa non è esprimibile in forma chiusa e quindi decade la caratteristica di semplicità.

Osservazioni astronomiche e Geoide

Da osservazioni astronomiche si è visto che la Terra, trascurando le asperità che la caratterizzano, è una sfera che per via dell’alta velocità di rotazione presenta uno schiacciamento sui poli ed un conseguente rigonfiamento all’equatore, per il principio di conservazione della massa; la scelta di Superficie di Riferimento è caduta sull’ellissoide di rotazione, che si discosta in ogni suo punto dall’andamento del Geoide di una grandezza N, detta ondulazione del Geoide del punto i-esimo.

L’ellissoide può essere considerato come un’approssimazione del Geoide espresso in armoniche sferiche e troncato al secondo ordine dello sviluppo, per cui potrà andare bene in alcune zone, mentre in altre no.

Possono perciò esistere ellissoidi diversi come forma ed orientazione a seconda dell’area da approssimare e della sua estensione: locali e globali.

Si definisce Datum geodetico l’insieme dei parametri volti a definire le dimensioni e l’orientamento relativo dell’ellissoide rispetto al Geoide.

Ellissoide di rotazione

L’ellissoide di rotazione è ottenuto, definita una terna cartesiana di supporto, da una rotazione di un’ellissi di semiassi a e b attorno all’asse Z; essendo una figura appartenente allo spazio ^R3, per determinare la posizione di un punto su di essa, sono sufficienti due parametri: i coseni direttori definiti dal versore normale a quel punto sono chiamati rispettivamente latitudine e longitudine ellissoidica (coordinate geografiche).

Per definirle introduciamo le seguenti definizioni generali:

• Piano Meridiano e Meridiano = un qualsiasi piano contenente l’asse Z prende il nome di Piano Meridiano; l’intersezione tra l’ellissoide ed il Piano Meridiano costituisce il Meridiano: i Meridiani sono ellissi della stessa dimensione.
• Longitudine elissoidica = Consideriamo un Piano Meridiano di riferimento passante per l’asse X ed un Piano Meridiano contenente un punto P, si definisce longitudine del punto P la sezione retta dell’angolo diedro formato dai due Piani Meridiani. Si misura in gradi da 0° a + 180° procedendo verso ovest e da 0° a – 180° verso est.
• Latitudine ellissoidica = sia A un punto sull’ellissoide ed A’ la sua proiezione sul piano XY, si definisce latitudine ellissoidica del punto A l’angolo che la normale passante per A forma con la retta passante per l’origine degli assi ed A’. Si misura in gradi da 0° a + 90° verso il Polo Nord e da 0° a – 90° verso il Polo Sud.
• Parallelo = È il luogo dei punti aventi la medesima latitudine e sono individuati dall’intersezione tra l’ellissoide ed un qualsiasi piano parallelo al piano XY, dunque i paralleli sono cerchi concentrici e quello a raggio massimo è chiamato Equatore. Un Parallelo ha la peculiarità di avere la tangente in un punto sempre ortogonale alla tangente al Meridiano passante in quel punto.
• Azimut = sia B un punto sull’ellissoide appartenente ad una linea generica passante sull’ellissoide stesso, si definisce azimut di questa linea nel punto B l’angolo formato dalla tangente alla linea in B e la tangente al Meridiano passante per il medesimo punto e calcolato in direzione oraria.
• Sezione Normale = sia Q un punto sull’ellissoide che fa da centro ad una stella di piani, si definisce Sezione Normale passante per Q l’intersezione tra l’ellissoide e quei piani passanti per Q e contenenti la normale in Q. Due Sezioni Normali passanti per A e B e contenenti B e A non sono mai coincidenti se non quando i due punti si trovano sullo stesso Meridiano o all’Equatore, o se la Superficie di Riferimento utilizzata è una figura elementare tale da avere la normale sempre passante per il centro.

Supponiamo ora di considerare un ellissoide di rotazione definito dalla relazione matematica (x² + y²)/a² + z²/b² = 1, il parametro prima eccentricità è definito come e = (a² – b²)/a², con cui è possibile definire il raggio di curvatura del Parallelo r = (a*cosφ)/(1–e²*sen²φ)^1/2, con cui a sua volta si può individuare la posizione di un punto P sull’ellissoide x = r*cosω; y = r*senω; z = [a*senφ*(1 – e²)]/(1- e²*sen²φ). Tra le infinite Sezioni Normali passanti per P, definiamo come principali quelle due con i raggi di curvatura massimo e minimo, le quali saranno sempre tra loro ortogonali ed una delle due, quella a raggio minimo, coincide con il Meridiano, il cui raggio sarà ρ = [a*(1 – e²)]/(1 – e²*sen²φ)^3/2. L’altra sezione normale prende il nome di Gran Normale, la si ottiene dall’intersezione tra l’ellissoide e il piano tangente al Parallelo in P ed il suo raggio è N = r/cosφ; tra i paralleli solo l’Equatore è una Sezione Normale. Tramite il Teorema di Eulero è possibile definire il raggio di curvatura di una qualunque Sezione Normale che forma con il mediano un azimut α: 1/R = (cosα/ρ) + (senα/N); infine si definisce raggio di curvatura medio R_m = (ρ*N)^1/2.

Posizionamento dell’ellissoide

Una volta definita la forma dell’ellissoide, occorre definire la sua posizione spaziale rispetto al Geoide (diversa per ogni nazione); si sceglie, se si vuole descrivere un territorio di ampiezza limitata (Nazioni), in primis un punto nel quale si impone che la normale coincida con la verticale nel punto, o equivalentemente che le coordinate astronomiche coincidano con quelle ellissoidiche.

Questo punto viene materializzato e di solito viene considerato come punto di emanazione della rete trigonometrica nazionale. L’ellissoide non è però ancora fissato nello spazio perché può ancora ruotare attorno a questa direzione: per bloccarlo occorre fissare anche il valore di una direzione dal punto d’origine ad un punto vicino e facendo poi coincidere l’azimut ellissoidico con l’azimut astronomico. Per bloccare infine i movimenti dell’ellissoide lungo la normale si può anche fissare l’ondulazione del geoide in corrispondenza del punto di orientamento, anche se in realtà il problema altimetrico viene gestito separatamente da quello planimetrico.

L’Italia ha definito nel 1940 come Sistema Geodetico Nazionale il Roma40, con il seguente datum:

• Ellissoide di riferimento di Hayford.
• Orientamento sul vertice di primo ordine di Roma Monte Mario con φ = 41°55'25,51" e ω = 0° (o 12°27'08,40" E da Greenwich); le longitudini sono calcolate dal Meridiano Fondamentale passante da Roma Monte Mario, con indicazione del verso (est, ovest) per evitare l’introduzione di valori negativi nei calcoli.
• Direzione da Roma Monte Mario a Monte Soratte con azimut pari a α = 6°35'00,88".
• Riferimento altimetrico dato dal caposaldo fondamentale collegato al mareografo di Genova per l’Italia continentale, mentre ai mareografi collocati sulle isole per la Sardegna e la Sicilia.

Per descrivere porzioni di territorio più vaste, come i Continenti, l’orientamento dell’ellissoide può essere fatto considerando più punti sul territorio, di solito i vertici di emanazione delle reti trigonometriche nazionali, ed imponendo che in quei punti sia minime le deviazioni della normale dalla verticale secondo il criterio dei minimi quadrati; successivamente si opera come prima.

In Europa esiste il Sistema Geodetico European Datum 1950 (ED50) ed è costituita dall’insieme delle reti trigonometriche di tutti gli Stati europei e si basa sull’ellissoide di Hayford. Il suo punto di emanazione è il centro di emanazione di primo ordine di Monaco di Baviera in Germania con φ = 48°08'22,2273" e ω = 11°34'26,4862"; il centro dell’ellissoide non coincide con il baricentro terreste.

Linea geodetica

Tra tutte le linee possibili che collegano un punto A ad un altro punto B ed appartenenti alla Superficie di Riferimento, si dice distanza AB quella più corta e tale linea prende il nome di linea Geodetica. Essa è solitamente gobba e ha la proprietà di avere in ogni suo punto il piano osculatore normale alla superficie o che la normale principale corrisponda alla normale alla superficie.

Generalmente, se la Superficie di Riferimento non è una figura elementare, la Geodetica AB non corrisponde con la Sezione Normale di A passante per B ed a sua volta non corrisponde alla Sezione Normale di B passante per A. Analiticamente la linea Geodetica viene definita imponendo il rispetto di condizioni al contorno, infatti, per il Teorema di Clairaut in ogni punto di una geodetica sulla superficie di rotazione è costante il prodotto tra il raggio del Parallelo ed il seno dell’azimut nel punto considerato: r*senα = C; definiti i parametri iniziali si definisce univocamente la costante C, la quale rimarrà immutata al variare di r e di α; se varia uno dei due cambierà valore anche l’altro in modo tale da far rimanere immutata C. La linea allora oscillerà tra i Paralleli di raggio r con un azimut di tipo sinusoidale e possiede un raggio di curvatura definito tramite il Teorema di Eulero.

Matematicamente la linea Geodetica viene rappresentata, anche se in modo approssimato ed in riferimento a linee di grandezza limitata, tramite gli sviluppi di Puisseux – Weingarten troncati al secondo ordine e riferiti ad una terna euleriana di assi costituita dall’origine nel punto O, l’asse Z ortogonale alla superficie con il proprio verso positivo quello entrante in essa, l’asse X tangente al Meridiano e l’asse Y tangente al Parallelo o alla Gran Normale, entrambi in O. Normalmente però si calcolano gli angoli e le distanze considerando le Sezioni Normali invece delle linee Geodetiche; esistono, infatti, due teoremi detti Teoremi della Geodesia Operativa che sentenziano:

1. Fino a lunghezze di archi di Geodetica dell’ordine del centinaio di chilometri, gli angoli misurati fra Sezioni Normali differiscono da quelli misurati fra le corrispondenti Geodetiche di una quantità sempre inferiore alla massima precisione conseguibile nelle operazioni di misura, per ciò i due angoli possono essere interscambiati senza commettere un errore rilevante ai fini dei calcoli.
2. La differenza di lunghezza fra arco di Sezione Normale e quello della corrispondente geodetica è sempre trascurabile per qualsiasi valore della lunghezza stessa.

Questi teoremi sono dimostrabili confrontando gli azimut (A e α) e le lunghezze di Sezioni Normali con i rispettivi (s e s’) delle Geodetiche associate: A – α = [s²/(12*N*R²)]*[e²/(1 – e²)]*[(cosφ*sen²α)/arc1”] e (s’ – s)/s = [s⁴/(360*N²*R²)]*[e²/(1 – e²)]*sen²α*cosφ; tutti valori ampiamente trascurabili.

Coordinate e quota

Oltre alle coordinate planimetriche, che definiscono la posizione di un punto sull’ellissoide di rotazione, esiste anche un’ulteriore grandezza che completa la posizione del punto stesso nello spazio, questa prende il nome di quota e di solito viene studiata separatamente dalla latitudine e longitudine ellissoidiche. Esistono diverse definizioni di quota:

• Quota Geopotenziale: È stata definita in relazione al fatto che un qualsiasi corpo soggetto ad un campo gravitazionale che ammette potenziale si muove da un punto a potenziale minore (più alto) ad uno a potenziale maggiore (più basso); il potenziale di riferimento a quota zero è quello del geoide.
• Quota Ortometrica (H): È definita come distanza del punto studiato dalla superficie geoidica ed è la lunghezza della parte della linea di forza (linea curva) che collega il punto al Geoide. Non essendo le superfici equipotenziali anche equigravitative, posti due punti A e B su superfici diverse, H_b = (g_a*H_a)/g_b.
• Quota Ellissoidica (h): È definita come la distanza del punto studiato dall’ellissoide e ricordando che l’ellissoide è una forma approssimata del Geoide, si può ricavare aggiungendo o togliendo alla quota ortometrica le ondulazioni del Geoide nel punto (N): h = H + N.

In base al campo del rilievo si possono però utilizzare Superfici di Riferimento anche più semplici di quella ellissoidica (superficie piana e sferica), questo dipende soprattutto dalla precisione voluta dal rilievo, dagli strumenti utilizzati ed all’economicità della campagna di studio.