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• Codice C/A (Course/Acquisition) = è una sequenza di 1023 numeri binari che si ripete ogni

-3

10 s, modulata solo sulla portante L1 con lunghezza d’onda complessiva di 300 m ed è

accessibile agli utenti civili;

• Codice P (Precision), W, Y = è una sequenza modulata su entrambe le portanti che si ripete

ogni 266,4 gg con una lunghezza d’onda totale di 30 m e non è disponibile per gli utenti

civili, in quanto è sovramodulato da un altro codice non accessibile denominato W al fine di

creare un codice di esclusivo uso militare Y.

Entrambi sono codici sterili che servono solo per eseguire misure di distanza.

Messaggio D: messaggio che invia all’utente lo stato di salute, le derive degli orologi di bordo dei satelliti e le

relative effemeridi calcolate dal segmento di controllo.

Per poter utilizzare un codice bisogna che il ricevitore riesca a demodulare tutti i codici presenti nelle portanti:

L1 (t) = a *P (t)*W (t)*D (t)*cos(f *t) + C/A (t)*D (t)*sen(f *t) e L2 (t) = a *P (t)*W (t)*D (t)*cos(f *t).

1 1 1 2 2

Un ricevitore GPS è in grado di effettuare due tipi di calcolo sulle portanti: misure di codice o pseudo - range e

misure di fase delle portanti.

Misure di pseudo - range: All’interno del ricevitore GPS è possibile effettuare un confronto tra il segnale

 ricevuto dal satellite ed un suo omologo generato dall’elettronica del ricevitore stesso.

Ipotizzando perfettamente sincronizzati gli orologi a bordo dei satelliti tra loro e con quelli all’interno del

ricevitore, dalla misura del disallineamento dei codici si ottiene l’intervallo di tempo che il segnale

impiega a colmare la distanza tra satellite e ricevitore alla velocità della luce; moltiplicato questo Δt con la

ji

velocità della luce c, si ottiene la pseudo - distanza approssimata satellite – ricevitore r .

E’ possibile esprimere l’equazione di pseudo - range come:

ji j 2 j 2 j 2 1/2 ji ji

r = Δt *c = [(X – X ) + (Y – Y ) + (Z – Z ) ] + c*δt + I + T + ε + Δ, dove Δt è la differenza di tempo

i i i i i

ji

calcolata dall’orologio del ricevitore, δt è la deriva degli orologi di bordo dei satelliti e dell’orologio del

ricevitore, I e T sono i ritardi indotti dall’attraversamento della Ionosfera e della Troposfera inviati al

ε ji j j j

ricevitore mediante il messaggio D, è il rumore di fondo della misura, X , Y , Z sono le coordinate della

posizione dei satelliti all’istante della misura calcolati attraverso le effemeridi trasmesse dagli stessi e X ,

i

Y , Z sono le coordinate incognite del centro di fase dell’antenna del ricevitore e Δ è l’errore dovuto alla

i i

rifrazione atmosferica. ji

Le incognite dell’equazione da risolvere sono quattro (X , Y , Z e δt ), per poter risolvere il sistema

i i i

occorrono allora altrettante equazioni di questo genere ed allora c’è bisogno che il ricevitore abbia la

contemporanea visibilità in ogni istante di tempo di almeno quattro satelliti.

Misure di fase: L’osservazione di fase è ottenuta misurando lo sfasamento del segnale inviato dal satellite,

 demodulato dagli altri codici, e la sua replica prodotta dal ricevitore.

Inoltre viene usato un contatore per registrare la differenza delle lunghezze d’onda del segnale dovuta

dall’effetto Doppler indotto dal movimento relativo satellite – ricevitore, che fa diventare l’onda emessa

dal satellite un’onda a frequenza variabile nel tempo.

φ φ

ji

L’osservabile fase è definita come la differenza tra fase relativa al segnale del ricevitore , all’istante t,

i

φj,

e la fase relativa al segnale del satellite all’istante di partenza che precede quello di ricezione di un

τ

tempo pari al “tempo di volo”. φ φ φ ε +

ji j

L’equazione dell’osservabile fase è espressa: (t) = (t) – (t –τ) + N + Δ.

i

Considerando però che la fase può essere espressa come il prodotto della frequenza nominale per il tempo

ed introducendo le derive degli orologi relativi al ricevitore ed al satellite, l’equazione diventa:

φ ρ ε +

ji ji ji j j ji

= /λ + f *δt – f *δt + N + Δ, dove r è la distanza tra satellite e ricevitore ed N è un parametro

i i

incognito, detto ambiguità di fase, che definisce il numero di lunghezze d’onda relativo al momento di

inizio delle osservazioni. φ

ji

Ora l’osservabile va espressa in termini di distanza moltiplicando per il valore della lunghezza d’onda

λ

nominale = c/f e diventa:

λ*φ λ*[φ φ λ*N

ji j 2 j 2 j 2 1/2 j j j

(t) = [(X – X ) + (Y – Y ) + (Z – Z ) ] – I + T + c*(δt – δt ) + (t) – (t)] + +

i i i i i λ*ε +λ∗∆

j j

+ .

Una parte considerevole degli errori insiti nelle osservazioni GPS assumono un carattere di sistematicità e

possono essere mitigati attraverso idonee metodologie di differenziazioni delle osservazioni e

combinazione lineare delle stesse:

Equazioni alle differenze singole: Dati due ricevitori (uno a coordinate note e l’altro a coordinate

 incognite), per un qualsiasi istante di osservazione, trascurando l’effetto indotto

dall’attraversamento della Ionosfera e della Troposfera, si ha

φ φ

ji1 ji2

= ... e = ..., facendo la differenza fra le due si ottiene

φ

ji12 ji12 j12 j12

= Δρ /λ - f*(δt + δt ) + ΔN + Δε .

i2 i1

Scompaiono così le derive dell’orologio del satellite ed anche l’eventuale effetto di disturbo

indotto dalla Selective/Availability. 10

Equazioni alle differenze doppie: Dati due ricevitori e due satelliti, per ogni epoca

 d’osservazione, si possono scrivere due equazioni alle differenze singole, una per ogni satellite

φ φ

ji12 ki12

= ... e = ..., facendo la differenza tra le due si ottiene

φ

jki12 ki12 ji12 j12 k12 k12 j12

= (Δρ – Δρ )/λ + (ΔN – ΔN ) + (Δε - Δε ).

In questo modo si elimina anche la deriva degli orologi dei ricevitori.

Equazioni alle differenze triple: Dati due ricevitori, due satelliti e due epoche di misura

 successive, è possibile scrivere due equazioni alle differenze doppie, una per ogni epoca

φ φ

jki12 jki12

(t ) = ... e (t ) = ..., facendo la differenza tra le due si ottiene

1 2

φ

jki12 ki12 ji12 ki12 ji12

(t ) ={[Δρ (t ) – Δρ (t )] - [Δρ (t ) – Δρ (t )]}/λ.

12 2 2 1 1

Si elimina in questo modo il termine relativo alle ambiguità di fase e del rumore di fondo della

misura; a questo punto si può procedere all’individuazione delle coordinate incognite del secondo

ricevitore. 11

STRUMENTI DI MISURA

I Livelli 8

I livelli sono strumenti topografici che, grazie all’individuazione di una direzione orizzontale , chiamata linea di mira od

asse di collimazione, permette di misurare dislivelli con il metodo della livellazione geometrica attraverso la lettura

della stadia.

Ne esistono di due tipi: gli autolivelli ed i livelli digitali; entrambi sono forniti di una livella sferica sulla basetta del

treppiede, un cannocchiale collimatore con livella torica, un compensatore ed un sistema di lettura analogico per gli

autolivelli od uno digitale per quelli digitali.

La livella è uno strumento utilizzato per rendere orizzontale/verticale un piano od un asse ed al bisogno per misurare

piccoli angoli.

E’ formata da un recipiente chiuso riempito nella sua quasi totalità di un liquido (etere, alcool, benzina) e più presentare

una forma sferica o torica.

Lo spazio non occupato dal liquido, per effetto della gravità, si dispone nella parte più alta del recipiente e prende il

nome di bolla d’aria, formata da aria miscelata con i vapori del liquido.

Il liquido utilizzato per riempire la livella è sensibile alle variazioni di temperatura, per ovviare a ciò molte livelle sono

costruite con una camera di compensazione comunicate per mezzo di un foro con il recipiente primario in modo da

compensare le dilatazioni del liquido e mantenere costante la forma della bolla, pi la bolla è piccola e più è instabile.

La livella torica è costituita da una fiala di vetro la cui parte interna è lavorata secondo una superficie torica, su di essa è

incisa una graduazione di intervallo pari a 2 mm, la cui origine può trovarsi o ad un estremo, o nel centro.

La graduazione del centro C della bolla può essere dedotta leggendo i valori ai suoi estremi L ed L ; se l’origine

destro sinistro

della graduazione è al centro C = (L – L )/2, mentre se l’origine è posta ad un estremo

destro sinistro

C = (L + L )/2.

destro sinistro

La tangente alla circonferenza direttrice nel punto di mezzo della graduazione si chiama linea di fede della livella,

centrare la bolla o mettere in bolla la livella significa ruotare la livella finché il punto centrale della bolla coincida con il

punto di tangenza della linea di fede, in modo che essa risulti orizzontale; più semplicemente per centrare la bolla basta

controllare se essa si posiziona simmetricamente rispetto al centro della graduazione.

La precisione di una livella si calcola attraverso la sensibilità che essa possiede; la sensibilità di una livella è definita

γ

come l’angolo di cui deve ruotare perché la bolla si sposti di 1 mm ed è definita come g” = (1/r)*(1/arc 1”), dove r

rappresenta il raggio di curvatura della circonferenza direttrice massima: più è basso il valore risultante, più elevata è la

sensibilità della livella.

Per aumentare la sensibilità di una occorre allora aumentare il raggio della circonferenza direttrice massima; tuttavia ciò

non è possibile oltre un certo limite, poiché diventa molto complicata la lavorazione della fiala e la bolla diventa così

incontrollabile da rendere impossibile il suo corretto centramento.

E’ stata inventata la livella a coincidenza per i lavori di grande precisione: essa è una normale livella torica priva di

graduazione, in cui un opportuno sistema di prismi fa apparire affiancate le immagini delle due estremità della bolla; la

bolla risulta centrata quando le due immagini si raccordano o sovrappongono.

Perché la livella faccia il suo dovere, bisogna che sia rettificata: la fiala è racchiusa in un cilindro metallico vincolato ad

un supporto con delle viti di rettifica che consentono di cambiare l’assetto della fiala rispetto alla retta d’appoggio, che

si supponga di dover rendere orizzontale.

La livella si dice rettificata quando la linea di fede è parallela alla retta di appoggio, se non lo è si gioca per metà con le

viti di rettifica e per metà con le viti che muovono la retta di appoggio.

La livella sferica è costituita da una fiala di vetro, sempre riempita parzialmente di liquido, avente la superficie interna a

forma di calotta sferica e possiede un piano di fede, definito come quel piano tangente alla sfera nel centro di un circolo

inciso sulla fiala.

La sua sensibilità è normalmente molto bassa, ma consente orientamenti molto veloci.

Per rettificarla si procede come con la livella torica.

Il mezzo migliore per realizzare una linea di mira è un cannocchiale fornito di un reticolo.

Il cannocchiale astronomico collimatore è costituito da due lenti convergenti: la prima, chiamata obbiettivo, ha una

distanza focale molto più grande della seconda, detta oculare.

8 Direzione normale alla linea di forza passante per il centro ottico strumentale o tangente alla superficie equipotenziale

passante per quel punto. 12

Il reticolo, invece, è costituito da un vetrino con delle linee incise che individuano un punto centrale, denominato centro

del reticolo; il reticolo va posto nello stesso piano in cui si forma l’immagine reale dell’oggetto collimato, altrimenti si

ricade nell’errore di parallasse.

L’asse di collimazione è la congiungente il centro del reticolo con il centro geometrico dell’obbiettivo; per collimare

oggetti posti a distanze diverse è necessario eseguire l’adattamento alla distanza: si sposta congruamente una lente

divergente, detta anallattica, per portare l’immagine reale dell’oggetto collimato sul piano del reticolo senza variare la

distanza tra reticolo ed obiettivo.

Per una buona collimazione è necessario eseguire anche l’adattamento alla vista: si muove congruamente l’oculare

rispetto al reticolo per permettere ad osservatori distinti la visione distinta e nitida dello stesso e dell’immagine ad esso

sovrapposta.

Il compensatore è un apparecchio ottico – meccanico che corregge l’inevitabile errore residuo di orizzontalità della

livella torica connessa con il cannocchiale.

Esso è costituito da: un sistema di prismi per controllare il percorso ottico della linea di mira, un sistema pendolare

attaccato all’ultimo specchio del sistema di prismi e da uno smorzatore di oscillazioni del sistema pendolare per non

avere disturbi nelle letture e per non attendere troppo tempo per la stabilizzazione dell’equipaggio mobile.

Per le livellazioni di modesta precisione si usano stadie di legno lunghe 3 m, provviste di livella sferica e terminanti

all’estremità di appoggio con una piastra d’acciaio; la graduazione è costituita da tratti alternati bianchi e neri dello

spessore di 1 cm ed è rovesciata.

Per livellazioni di alta precisione si impiegano speciali stadie formate da un’armatura di legno o metallo a cui è fissato

un nastro di invar, materiale scarsamente dilatante agli sbalzi di temperatura; esse devono possedere una livella sferica e

zampe per il sostegno.

Su queste sono tracciate due graduazioni con tratti di spessore non superiore a 1 mm, esse sono dritte e sono sfalsate di

una quantità costante per tutta la stadia, detta costante caratteristica della stadia K.

Per verificare l’esattezza della misura, prima si collima la scala maggiore poi la scala minore; se M – M = K la

max min

misura non è affetta da errori grossolani di lettura e corrisponde a M .

min

Un livello è rettificato se l’asse di collimazione si dispone orizzontale quando il compensatore è libero di funzionare.

ε

Però, anche se il compensatore è libero di funzionare, permane un errore residuo di rettifica variabile al variare del

clima e/o a causa degli urti a cui lo strumento risulta inevitabilmente sottoposto durante il suo utilizzo. 9

L’errore residuo di rettifica è un errore sistematico ed è eliminabile facendo stazionare lo strumento dal mezzo , così

l’errore è uguale di modulo e segno su entrambe le stadie, per cui la differenza delle letture è

ε ε

ls – ls = (l + ) – (l + ) = l’ – l’ .

1 2 s1 s2 s1 s2

Metodo di rettifica Kukkamaki =

1. Posizionare le due stadie ad una distanza d uguale dal livello;

2. Fare la misura Δ con la stazione dal mezzo;

1

3. Spostare la livella ad una distanza d ≠ d ;

s1 s2

4. Ripetere la misura del dislivello Δ ;

2

5. Se Δ = Δ , allora il livello è rettificato; se Δ ≠ Δ , bisogna rettificare il livello, cioè bisogna agire sulle viti di

1 2 1 2 ε*d

calibrazione del livello finché sulla stadia 2 si legge il valore l = l’ – .

s2 s2 s2

Le letture delle stadie vanno effettuate con un sistema micrometrico: un sistema composto da una lamina piano –

parallela posta davanti all’obbiettivo girevole intorno ad un asse orizzontale, normale all’asse di collimazione.

La rotazione della lamina sposta, in un piano verticale, l’asse di collimazione di una quantità proporzionale alla

rotazione della lamina stessa.

Questo sistema serve per definire la parte frazionaria della misura: quando la linea di mira intercetta la stadia in mezzo a

due tacche, il numero intero della misura corrisponde a quello della tacca precedente, la parte frazionaria la si trova

facendo ruotare il micrometro fino a quando si intercetta la tacca successiva e la si legge su di un’opportuna scala

visibile nel campo dell’oculare. I Goniometri

Si consideri un punto O sul quale si intende fare stazione per determinare l’angolo sotto il quale si vedono i punti A e B;

si chiama piano di collimazione da O su A il piano definito dalla verticale in O e contenente il punto A.

Detto ciò si può definire l’angolo azimutale, od angolo orizzontale, fra A e B misurato in O come la sezione retta

dell’angolo diedro formato dai due piani contenenti la verticale per O e passanti rispettivamente per A e per B.

Questo angolo coincide con l’angolo formato tra le due sezioni normali in O e passanti per A e per B.

L’angolo zenitale, o distanza zenitale, è invece l’angolo che la direzione OA forma con la verticale per O; il suo

α

complemento a 90° è l’angolo di inclinazione .

oa

Lo strumento goniometrico atto a misurare questi angoli prende il nome di teodolite, se il goniometro è fine, o di

tacheometro, se il goniometro risulta meno fine.

Le parti fondamentali di un goniometro sono:

9 L’errore è piccolo, per cui una differenza di qualche metro nel centramento dello strumento tra le due stadie è

ammessa e non comporta un errore sensibile nel rilievo del dislivello. 13

♦ La base solidale al terreno attraverso un treppiede od un apposito pilastrino, munita di tre viti calanti o viti di

base che permettono di disporre verticale l’asse generale dello strumento;

♦ Il cerchio orizzontale che porta incisa una graduazione per la lettura della misura degli angoli orizzontali;

♦ L’alidada girevole intorno all’asse generale passante per il centro del cerchio orizzontale; è la struttura su cui

poggia il cannocchiale e dov’è posizionato l’indice di lettura degli angoli verticali, chiamato cerchio verticale;

♦ Il cannocchiale di tipo astronomico, girevole intorno all’asse di rotazione passante per il centro del cerchio

verticale ed ortogonale all’asse generale ed all’asse di collimazione;

♦ Due livelle, una torica fissata sull’alidada ed una sferica fissata alla base;

♦ Il compensatore collegato all’indice del cerchio verticale;

♦ Alcune viti di bloccaggio degli organi mobili (alidada e cannocchiale) accoppiate con altrettante viti dei piccoli

spostamenti, che possono entrare in funzione solo una volta bloccate le viti principali.

I tre assi del goniometro devono soddisfare le seguenti condizioni: l’asse generale deve essere verticale, l’asse di

rotazione deve essere orizzontale e l’asse di collimazione deve essere normale all’asse di rotazione.

I tre assi si devono incontrare in un unico punto detto centro dello strumento; se ciò non avviene si ha a che fare con un

errore di eccentricità dell’asse di collimazione, quando questo non interseca l’asse generale, ed un errore di eccentricità

dell’alidada, quando l’asse generale non è verticale o non passa per il centro del cerchio orizzontale.

Le misure degli angoli vengono effettuate mediante la lettura dei cerchi graduati, una volta posto in stazione lo

strumento; in tale condizione il cerchio azimutale risulta orizzontale e quello zenitale risulta verticale.

Il primo è solidale alla base durante la misura dell’angolo, mentre l’indice di misura è fissato sull’alidada che ruota; il

cerchio verticale invece ruota insieme al cannocchiale, mentre l’indice di lettura è solidale all’alidada.

L’angolo azimutale AOB viene misurato collimando il punto A e registrando sul cerchio orizzontale l’angolo l che

A

forma rispetto ad un’origine scelta arbitrariamente, si ripete l’operazione collimando il punto B e si esegue la differenza

tra le due letture l - l .

B A

Per misurare un angolo zenitale basta collimare un punto e misurare sul cerchio verticale l’angolo che forma con lo

zenit, indicato dall’indice collegato al compensatore; a causa della presenza dell’atmosfera, la traiettoria del raggio

luminoso presenta una sensibile curvatura con concavità verso il basso, per cui la lettura sul cerchio verticale non è

ε

direttamente l’angolo zenitale cercato, per trovarlo occorre applicare al valore trovato una correzione = (k*S)/(2*R) in

cui k = coefficiente di rifrazione atmosferica = R/r, R è il raggio medio terrestre, r è il raggio di curvatura della

traiettoria delle onde elettromagnetiche, S è la lunghezza dell’arco di Geodetica che collega il punto di stazione e quello

collimato sulla Superficie di Riferimento.

I cerchi di lettura hanno normalmente un diametro di circa 100 mm, se si volesse segnarlo con una graduazione di 1”,

bisognerebbe dividerne la circonferenza in 1296000 parti; ciò risulta impossibile e per non perdere di precisione

allargando l’intervallo della graduazione si costruiscono i cerchi di lettura in vetro ottico, su cui la graduazione

finissima viene incisa da una macchina o riportata con un procedimento fotografico, in modo da poter essere

visualizzata da un sensore ottico, detto microscopio composto a coincidenza di immagini.

Questo strumento consente anche di fare le letture agli indici opposti: si deve leggere il cerchio in due posizioni

diametralmente opposte, tramite appositi veicoli ottici, e farne la media per eliminare l’errore di eccentricità dell’alidada

γ

(ε = (e*senγ)/r, dove e è l’eccentricità dell’alidada, r è il raggio del cerchio graduato e è un qualsiasi angolo misurato).

L’operatore dopo aver collimato il punto deve spostarsi sulla finestra di lettura dove compare la doppia gradazione;

agendo su un’apposita vite deve muovere una delle due immaginino rispetto l’altra fino a far coincidere le due

gradazioni.

I gradi e le decine di gradi compaiono nella finestra, mentre i primi ed i secondi sono letti su una scala legata allo

spostamento virtuale apportato all’immagine.

Per rendere visibili e rendere collimabili punti molto distanti può essere vantaggioso impiegare un elioscopio, un

dispositivo a specchi che permette di dirigere, stando sul punto da collimare, un fascio di luce verso l’osservatore.

Molto spesso i punti da collimare devono essere usati a loro volta per collimarne degli altri, per cui occorre che questi

vengano materializzati tramite centrini cementati al terreno o sulla testa di un pilastrino.

Per effettuare la collimazione dapprima si dirige grossolanamente il cannocchiale sul punto tramite un mirino ottico

esterno, con le viti di bloccaggio si fissano l’alidada alla base ed il cannocchiale all’alidada, per il centramento nel

reticolo si muovono le viti dei piccoli spostamenti.

Questa procedura segue quella di messa in stazione, cioè rendere il goniometro verticale centrato sul punto di stazione.

Per rendere verticale il goniometro bisogna mettere in bolla la livella sferica solidale alla base, ma per centrare il

caposaldo si usa un dispositivo chiamato piombino ottico: esso consiste in un piccolo cannocchiale posto sulla base con

asse di collimazione spezzato rivolto verso terra attraverso cui si individua il punto a terra da centrare; se esso non lo è,

si svincola il goniometro dal treppiede e lo si sposta sul piano di questo fino a collimare il punto, nel compiere questa

manovra si deve traslare il goniometro senza farlo ruotare perché altrimenti l’asse generale rischia di uscire dalla

verticale.

Per verificare che l’asse di collimazione sia ortogonale all’asse di rotazione, si collima ad un punto P sull’orizzonte e si

fa la lettura l , si capovolge il cannocchiale, si ricollima al punto P e si fa una seconda lettura l , se l - l = 180° gli assi

1 2 1 2

ε.

sono ortogonali, se invece l - l = 180° + 2ε esiste un errore di perpendicolarità pari a

1 2 14

ε ε,

Per la rettifica si ruota l’alidada di - imponendo la lettura l2 - si ricollima il punto P spostando il centro del reticolo

con le viti di rettifica; una volta collimato il punto P la linea di mira sarà perpendicolare all’asse di rotazione.

Per verificare che l’asse di rotazione sia orizzontale si collima un punto alto P e abbassando poi il cannocchiale fino

all’orizzonte si collima ad una stadia orizzontale, facendo una lettura l’, si capovolge il cannocchiale, si ricollima a P e

si fa una lettura l” sulla stadia, se l’ = l” l’asse di rotazione è orizzontale, altrimenti esiste un errore di orizzontalità.

Per la rettifica si ruota l’alidada fino a leggere sulla stadia (l’ - l”)/2, si rialza il cannocchiale e si ricollima il punto P

alzando o abbassando uno degli appoggi del cannocchiale.

Queste verifiche e rettifiche vanno eseguite preliminarmente in laboratorio prima di procedere alla campagna di misure,

dove ci si limita solamente a mettere in stazione lo strumento.

Nonostante questo permangono degli errori residui di verticalità, di inclinazione e di collimazione che si manifestano

contemporaneamente, ma essendo di piccola entità possono essere studiati separatamente (Principio di Indipendenza dei

Piccoli Errori): L - L’ = f (v, i, c), si può sviluppare in serie di Taylor troncata al primo ordine, data la piccolezza degli

errori, L - L’ = (δf/δv)*v + (δf/δi)*i + (δf/δc)*c.

Abbiamo già parlato di come si risolve l’errore di eccentricità dell’alidada tramite la lettura agli indici opposti; invece

per eliminare l’errore di eccentricità del cannocchiale si operano le letture coniugate: prima viene collimato un punto

con il cerchio verticale a sinistra, poi si gira l’alidada e si ricollima il punto con il cerchio verticale a destra, la misura

priva di errore è la media tra le due letture.

Esiste, infine, l’errore di gradazione dovuto ad una non precisa incisione dei cerchi graduati; un modo per ridurre il peso

dell’errore sulla misura, la si ripete varie volte in settori equidistanti del cerchio e facendo poi la media dei valori

trovati.

Metodo a strati per misurare angoli azimutali: Si mette in stazione il teodolite e si collima un punto O arbitrario come

origine, in modo che la misura ottenuta sia vicina allo zero, poi si misurano in successione gli angoli dovuti in andata ed

in ritorno girando il cannocchiale, le medie degli angoli ottenuti costituiscono il primo strato; poi si sposta l’origine di

un angolo pari a 180°/n, dove n è il numero di ripetizioni che si vogliono eseguire e si procede alla lettura di un altro

strato; gli angoli si ottengono per differenza tra le letture.

I Distanziometri

Gli strumenti che misurano distanze prendono il nome di distanziometri e si suddividono in: distanziometri ad onde e

distanziometri ad impulsi.

Nel distanziometro ad onde la misura della distanza si effettua usando un distanziometro accoppiato ad un prisma

retroriflettente, costituito da più prismi trirettangoli retrodirettivi ottenuti tagliando lo spigolo di un cubo di cristallo e

possiedono la proprietà di riflettere il raggio emesso dal distanziometro parallelamente al raggio incidente, purché

l’angolo di incidenza non superi un determinato angolo limite ed il raggio possieda una determinata energia al momento

dell’incidenza.

La distanza è misurata tra il centro dello strumento ed il centro del prisma e ritorno ed è definita da un numero intero di

lunghezze d’onda più una parte frazionaria di esse 2*d = n*λ + 2*L.

L si ricava misurando le differenze di fase tra il segnale in uscita e quello in entrata. ω φ

Consideriamo, infatti, un’onda sinusoidale emessa al tempo t , di ampiezza A, pulsazione e fase iniziale

u 0

φ ∆t

f (t ) = A*sen(ω*t + ) e supponiamo che quest’onda impieghi un tempo per colpire il prisma e ritornare al

u u 0 ∆t) φ ∆φ = φ φ ω*∆t;

distanziometro, avremo f (t ) = A*sen[ω*(t + + ], lo sfasamento tra le due onde sarà - =

r u 0 r u

ω Τ = 1/ν, ν = ∆φ = (2*π/Τ)*(n*Τ + δt).

introducendo = 2*π/Τ, c/λ la differenza di fase diventa (λ/Τ)*(n*Τ δt)

La distanza in funzione della velocità di propagazione dell’onda è 2*D = c*∆t = + = n*λ + 2L, allora

(λ/2)*(δt/Τ)

L = = (λ/2)*[∆φ/(2*π)].

Invece per quanto riguarda la stima di n, si deve fare uso di uno strumento a doppia frequenza, se n = n ,

1 2

λ

n = (L - L )/(λ - ); questa relazione vale fino ad una distanza limite, oltre la quale n = (n + 1), che vale

2 1 1 2 1 2

λ λ

D = /[2*(λ - )].

lim 2 1 2

Qualunque sia il percorso dell’onda all’interno del prisma, la distanza è sempre maggiore di quella effettiva di una

quantità costante dipendente dal prisma usato, detta costante del riflettore.

La precisione della distanza misurata ha una precisione che si compone di due elementi: uno dipendente dalla rifrazione

atmosferica e dal meteo al momento della misura, che inflette il percorso rettilineo delle onde elettromagnetiche in uno

curvilineo, ed uno dipendente dallo strumento che aumenta all’aumentare con la distanza misurata.

Esistono particolari applicazioni che non consentono la collocazione di una mira nell’area da rilevare, per tali

applicazioni si possono utilizzare i distanziometri ad impulsi.

Essi misurano il tempo che impiega un impulso generato da un diodo laser a percorrere il tragitto di andata e di ritorno

che si vuole misurare.

La distanza si ricava tramite D = (c*t)/2, perché 2*D = c*∆t. 15

RILIEVO

Rilevare una zona di terreno significa determinare la posizione relativa, cioè rispetto termini intrinseci alla zona da

rilevare, ed assoluta, cioè rispetto ad un Sistema di Riferimento esterno preesistente, ad un numero di punti

opportunamente distribuiti sulla zona stessa; il rilievo si concluda con la rappresentazione numerica e grafica dei punti

misurati.

Nel primo caso è necessario e sufficiente definire in modo durevole nel tempo, almeno durante l’esecuzione del rilievo,

un certo numero di punti che permetta di definire il Sistema di Riferimento locale utilizzato.

Nel secondo caso invece occorre che il rilievo si appoggi a punti già appartenenti al Sistema di Riferimento globale

esterno, in modo che i nuovi punti possano anche essi essere calcolati nello stesso sistema.

L’insieme di questi punti che servono a materializzare un Sistema Geodetico prende il nome di Rete Geodetica ed in

Italia è stata realizzata dall’IGM (Istituto Geografico Militare).

I vertici delle reti devono avere una distribuzione uniforme ed una densità che consenta agevolmente il collegamento

per dei rilievi secondari in qualsiasi parte del territorio statale.

Per definirli si è utilizzato il criterio del raffittimento e non si è cominciato il rilievo da un’estremità del paese per poi

propagarlo fino all’altra, poiché il partire da un estremo e portare avanti il rilievo produrrebbe e propagherebbe errori di

entità sempre crescente nel posizionamento dei punti, diminuendo progressivamente la precisione del rilievo.

Il metodo utilizzato, invece, stabilisce con la massima precisione la posizione relativa di un sufficiente numero di punti

a grande distanza tra di loro.

Questi vertici poi vengono considerati fissi e servono come appoggio per la determinazione di altri punti collocati in

posizione intermedia che possono essere determinati con precisione inferiore.

Considerare fissi i vertici della rete più dispersa e meno densa interrompe la propagazione degli errori commessi nella

determinazione di questi primi punti.

Tradizionalmente viene effettuata una netta separazione tra il rilievo planimetrico e quello altimetrico.

Ciascun punto P della superficie terrestre viene proiettato su quella di riferimento secondo la direzione della linea di

forza del campo gravitazionale passante per quel punto: il rilievo planimetrico (coordinate geografiche) determina la

posizione relativa e/o assoluta delle proiezioni dei punti sulla Superficie di Riferimento, mentre il rilievo altimetrico

(coordinate altimetriche) determina le differenze di quota relative e/o assolute dei punti della superficie reale rispetto

alla Superficie di Riferimento.

I due tipi di rilievo richiedono diversi procedimenti, strumenti e modalità esecutive delle misure, ma entrambi

richiedono l’intervisibilità dei punti da rilevare.

Se invece si utilizza il sistema GPS, i due tipi di rilievo vengono eseguiti contemporaneamente in uno spazio

tridimensionale geocentrico ed il problema dell’intervisibilità dei punti viene sostituito dalla necessità di avere la

visibilità diretta del cielo.

In Italia la Rete Trigonometrica Nazionale per la planimetria è impostata su tre ordini di vertici, calcolati tramite misure

di angoli e di distanza; è stata completata all’inizio del 1900, ma fino agli anni ’80 sono stati eseguiti continui

miglioramenti.

Per l’inquadramento dei rilievi altimetrici è stata realizzata una rete indipendente costituita da circa 20000 capisaldi

quotati distribuiti lungo le maggiori infrastrutture per la viabilità e collocati sugli edifici stessi.

Negli anni ’90 è stata realizzata la Rete Geodetica GPS che ricalca in parte quella Trigonometrica Nazionale, composta

da capisaldi privi di coperture od ostacoli vicini ed è composta da un unico ordine di vertici di natura tridimensionali.

Il procedimento di rilievo della rete dei punti di primo ordine è detto triangolazione: si considerano i punti della rete

come vertici di triangoli adiacenti, dei quali vengono misurati tutti e tre gli angoli interni ed almeno la lunghezza di un

lato tra due vertici.

Il lato misurato AB è considerato il lato comune di due triangoli adiacenti ABC e ABD, con la misura degli angoli

interni si può calcolare la distanza DC più lunga di AB e si ripete questo procedimento considerando CD come il lato

comune di altri due triangoli adiacenti CDE e CDF.

Si continua così finché si determina la lunghezza del lato della maglia di triangolazione di primo ordine.

Si usa la triangolazione perché così si riducono al minimo le misure di distanze e si massimizzano quelle di angoli;

queste ultime, infatti, richiedono un impegno lavorativo molto minore rispetto alle misure di distanza, le quali diventano

quasi impossibili da fare quando le distanze in gioco sono elevate e quando si opera su terreno impervio.

In definitiva, la Rete Trigonometrica di Primo Ordine è costituita da una rete di triangoli che hanno i vertici (300) posti

ad una distanza media di 50 ÷ 60 km l’uno dall’altro, che sono costituiti da pilastrini costruiti sulla cima di monti per

consentirne l’intervisibilità. 16

Successivamente si è operato un raffittimento della rete introducendo vertici di secondo ordine posti in prossimità del

baricentro dei triangoli di primo ordine ed circa equidistanti tanto dai vertici del rispettivo triangolo, che dai vertici di

secondo ordine contigui (20 ÷ 30 km), sono inoltre materializzati con pilastrini di cemento o tramite assi di campanili.

Infine si è appoggiata a questi vertici un’ulteriore serie di sempre più ravvicinati vertici, detti di terzo ordine, ubicati in

prossimità del baricentro dei triangoli formati dai vertici di primo e secondo ordine.

I vertici sono materializzati con assi di campanili ed hanno un’interdistanza di circa 10 km.

E’ stata inoltre realizzata anche una rete di quarto ordine che però è da non utilizzare a causa della sua scarsa precisione;

era stata costruita come appoggio al successivo rilievo di dettaglio per redigere la cartografia nazionale a scala

1 : 25000, in quanto la sua scarsa precisione risultava ancora minore di quella della carta indotta dall’errore di

graficismo.

Oltre alle reti definite dall’IGM, ne esiste un’altra realizzata dal Catasto utilizzata per cartografare proprietà urbane ed

extraurbane in scala 1 : 2000, basata anch’essa sul metodo della triangolazione e si appoggia ai vertici di primo,

secondo e terzo ordine della Rete Trigonometrica Nazionale.

La Rete Catastale possiede un proprio raffittimento denominato Sottorete, di cui punti vengono determinati i punti di

dettaglio materializzati da particolari di manufatti ed edifici, con interdistanza di 300 ÷ 400 m nell’urbano e

600 ÷ 700 m nell’extraurbano.

La materializzazione dei capisaldi presenta inconvenienti, quali il pericolo che vadano perduti per avvenimenti

catastrofici, la loro corruttibilità e precaria stabilità, la difficoltà di accesso e di stazionamento, la difficoltà di

collimazione ad elevate distanze, ... .

Se il vertice cade sul terreno, occorre lasciarne una testimonianza (piastrino interrato), perché non servirebbe a nulla

avere le coordinate di un punto, se quel punto non è rintracciabile sul terreno; si deve inoltre prevedere la possibilità di

un facile ripristino nel caso che questo venga danneggiato o distrutto.

Per i vertici di primo e secondo ordine l’IGM prescrive che il teodolite non venga posto su di un treppiede ma

direttamente sul piastrino stesso, in questo caso il piastrino non è interrotto al livello campagna, ma viene proseguito al

di sopra di esso per 1,3 m; per migliorare il centramento dello strumento sul piastrino, questo presenta nella sua

estremità libera una piastra con tre scanalature disposte simmetricamente a 120°, in modo da definire univocamente il

punto centrale del piastrino.

Il ripristino di tali vertici, nel caso che essi vengano distrutti, è assicurato dal segnale di fondo; se andasse perduto

anch’esso, l’IGM ha sistemato nelle loro vicinanze dei segnali ausiliari, legati al principale da misure dirette di distanza.

Se si vuole produrre un rilievo che deve essere inserito nel Sistema Geodetico Nazionale, può capitare che i vertici della

Rete Trigonometrica non siano vicini al luogo da rilevare, è quindi opportuno far precedere al rilievo vero e proprio una

fase di raffittimento locale della rete tramite la misurazione di poligonali.

Può inoltre essere utile eseguire il collegamento alla rete geodetica di singoli punti tremite metodi di riattacco.

La scelta fra i vari metodi di riattacco dipende dalle condizioni morfologiche del terreno, dalla difficoltà di accesso o di

stazione sui vertici e dalla precisione che si vuole conseguire nello studio.

Intersezione in avanti = Facendo stazione con il teodolite sui punti A e B si vuole determinare la posizione del punto P.

La conoscenza di due punti noti permette di ricavare la distanza tra di essi e l’anomalia ϑ della direzione AB, definita

come l’angolo del quale l’asse Y deve ruotare in senso orario per sovrapporsi alla direzione AB:

2 2 1/2

tanϑ = (x – x )/(y – y ), d = [(x – x ) + (y – y ) ] .

AB B A B A AB B A B A α;

Stazionando in A e mettendo due mire in B e P, riesco a calcolare l’angolo azimutale stazionando invece in B e

β, α, γ π α)

collimando A e P, misuro l’azimut così si riesce a definire l’anomalia ϑ = ϑ – = – (β + ed attraverso il

AP AB

α)] β −> β)/sen(β α).

Teorema dei Seni d /sen[π – (β + = d /sen d = (d *sen +

AB AP AP AB

x = x + d *sen ϑ ; y = y + d *cos ϑ .

P A AP AP P A AP AP

Lo stesso calcolo può essere effettuato utilizzando il lato BP invece di AP.

Intersezione laterale = L’unica differenza con l’intersezione in avanti è che, invece di fare stazione su due punti noti, si

fa stazione su di un solo punto noto e sul punto incognito.

Il problema si risolve in modo analogo al precedente.

Intersezione indietro (Metodo di Pothenot, Metodo di Snellius, Vertice di Piramide) = Lo si realizza facendo

α β

stazionare il teodolite nel punto incognito P e misurando i due angoli e definiti dalle tre direzioni che dal punto P

vanno ai tre vertici noti A, B e C.

Questo metodo presenta il vantaggio di fare stazione nell’unico punto incognito, che è un punto arbitrario, e non sui

punti noti, sui quali è molto spesso difficile fare stazione.

Come teorico inconveniente vi è la necessità di aver tre punti noti anziché solo due.

Per non far diventare questo problema indeterminato è necessario che il punto P non appartenga alla circonferenza

individuata dai tre punti noti A, B e C, perché in tal caso qualsiasi punto P appartenente ad essa vedrebbe i punti noti

α β.

sotto gli stessi angoli e

Bisogna evitare anche condizioni prossime a quella indeterminata, perché l’errore commesso risulterebbe troppo

grande. γ π

Si conoscono le due anomalie ϑ e ϑ , con le quali si può ricavare = - ϑ + ϑ ; inoltre

AB BC AB BC

AB = (y – y )/cos ϑ = (x – x )/sen ϑ e BC = (y – y )/cos ϑ = (x – x )/sen ϑ .

B A AB B A AB C B BC C B BC

A questo punto è necessario determinare gli angoli ψ e φ: 17

♦ α β γ −> (ψ π β γ)/2

1° equazione: + + + ψ + φ = 2*π + φ)/2 = – (α + + = M;

♦ α) β) −> (sen α/sen β)

2° equazione: PB = AB*(sen φ/sen = BC*(sen ψ/sen φ/sen ψ) = (BC/AB)*(sen = K ed

10 11

applicando la Regola del Comporre e dello Scomporre e le Formule di Prostaferesi si arriva a

(ψ – φ)/2 = arcotg{[(K - 1)/(K + 1)]*tgM} = N.

Risolvendo il sistema formato dalle due equazioni sopracitate, risulta ψ = M – N e φ = M + N.

β)/ α]

Con il Teorema dei Seni, d = AB*[sen(α + sen e ϑ = ϑ – φ, per cui le coordinate di P sono:

AP AP AB

x = x + d *sen ϑ e y = y + d *cos ϑ .

P A AP AP P A AP AP

E’ possibile eseguire il calcolo partendo, invece da A, da B o da C.

Quando non è possibile fare stazione sul vertice, bisognerà fare una stazione fuori centro, cioè su di un punto prossimo

al vertice, ma si dovrà poi fare la riduzione al centro di stazione per riportare in centro gli angoli misurati.

α’ α = α’ + ε + ε’, ε β)/D,

L’angolo misurato non corrisponde all’angolo vero dove = (r*sin r è la distanza del punto di

stazione dal vertice di stazione (eccentricità di centramento), D la distanza dal punto collimato dal vertice di

stazionamento e b è l’angolo formato dall’eccentricità di centramento e dalla distanza dal punto collimato dal punto di

stazione.

Per la scarsa precisione della misura effettuata, quando è possibile, le stazioni fuori centro sono da evitare, sopratutto

quando le distanze D sono piccole.

Un problema analogo si pone quando, per un ostacolo, non si può collimare ad un punto, ma solo ad un punto vicino

visibile: si ha la così detta eccentricità del segnale, per la quale valgono le stesse considerazioni fatte per la stazione

fuori centro.

Si è detto che il raffittimento delle reti nazionali non è sufficiente per appoggiare il rilievo di dettaglio, per ovviare a tale

problema si eseguono poligonali planimetriche vincolate agli estremi, cioè rette spezzate che servono a trasportare,

vertice dopo vertice, il Sistema di Riferimento dei capisaldi della rete nazionale nel luogo del rilievo di dettaglio.

Esse vengono rilevate misurando le lunghezze dei lati e le ampiezze degli angoli che questi formano tra loro; possono

essere di due tipi: aperte o chiuse.

Per il calcolo di quelle aperte sono necessari e sufficienti due punti noti come origine della poligonale, ma per avere

elementi di controllo dei risultati e per evitare di propagare eventuali errori grossolani commessi, usualmente viene

collegata a quattro punti a coordinate note.

Sia A un punto a coordinate note, riattaccato alla Rete Trigonometrica Nazionale, assunto come punto di partenza della

1

poligonale e da esso si possa collimare ad un altro punto S di coordinate note, vertice di triangolazione; siano inoltre

A , ..., A i vertici della poligonale di cui si devono determinare le coordinate; il punto di arrivo della poligonale sia il

2 n – 1

punto A di coordinate note, vertice riattaccato, e da esso si possa collimare un altro punto T di coordinate note, vertice

n

di triangolazione.

Stabilito il verso di percorrenza, si devono calcolare gli angoli che ciascun lato deve spazzare in senso orario per

α

sovrapporsi al successivo .

i

Per calcolare le coordinate dei vertici è necessario conoscere il valore delle varie anomalie dei successivi lati. α

Dalle coordinate note di A ed S si ricava ϑ e quindi l’angolo di direzione del primo lato diventa ϑ = ϑ + , il

1 1S 12 1S 1

α − π, α

secondo ϑ = ϑ + ..., ϑ = ϑ + Σ – K*π.

23 12 2 ij 1S i i

L’ultimo angolo di direzione che si ricava ϑ , il quale però si può ricavare anche dalle coordinate di A e T; la differenza

nT n

ε

tra questi due valori = ϑ – ϑ prende il nome di errore di chiusura angolare e dipende dagli errori commessi nelle

nT;m nT;c

misure degli angoli.

ε σ = σ 1/2

L’errore ha una media nulla ed uno scarto quadratico medio pari a *n .

ε α

ε σ , α

Constatato che ≤ si passa alla compensazione angolare della poligonale: possiamo compensare e cioè distribuire

ε i

ε/n α

l’errore in parti uguali pari a sugli angoli misurati e ricalcolare poi tutte le anomalie ϑ , oppure compensare

i ij α

direttamente i ϑ di una quota parte dell’errore di chiusura angolare pari al numero di angoli da cui la specifica

ij

anomalia dipende.

Compensati gli angoli, si passa al calcolo delle coordinate dei vertici: x = x + l *sen ϑ , x = x + l *sen ϑ , ... .

2 1 12 12 3 2 23 23

A causa degli errori nelle misure si avrà che le coordinate calcolate dell’ultimo vertice A non saranno uguali a quelle

n

∆x ∆y.

note a priori, si avranno cosi e

∆ ∆y

2 2 1/2

La quantità = (∆x + ) prende il nome di errore di chiusura lineare ed ha una deviazione standard di

σ σ

2x 2y 1/2

= (σ + ) .

10 Se a/b = c/d, allora (a - b)/(a + b) = (c - d)/(c + d).

11 , , ,

, ,

. 18


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DETTAGLI
Esame: Topografia 1
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria per l'ambiente e il territorio
SSD:
Università: Bologna - Unibo
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Malsterpiece di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Topografia 1 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Bologna - Unibo o del prof Gandolfi Stefano.

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