Topografia - Appunti

CARTOGRAFIA

La cartografia è quella disciplina che si propone di rappresentare su di un supporto piano, la carta topografica, tutta od

una parte della superficie terrestre.

La carta costituisce molto spesso il punto d’arrivo del rilievo, l’ultimo anello di una catena che passando dalla geodesia,

ai metodi di rilievo, all’uso corretto delle strumentazioni topografiche porta a rappresentare un punto appartenente alla

superficie terrestre su di un supporto piano leggibile ed accessibile a tutti.

Una carta deve:

1. Dare una conoscenza del territorio sia puntuale che generale;

2. Essere base di partenza per processi logico – decisionali secondari;

3. Fungere da supporto di base per classificazioni tematiche, pianificazioni, progettazioni e gestioni del territorio.

Una carta deve soddisfare inoltre alcune condizioni fondamentali:

1) Congruenza = una qualsiasi informazione contenuta sulla carta non deve essere in contraddizione con le altre;

2) Leggibilità = deve garantire l’univocità di interpretazione;

3) Veridicità.

Il problema fondamentale della cartografia, però, consiste nel non poter rappresentare punti appartenenti ad una

superficie complessa come quella terrestre su di un supporto piano senza indurre delle deformazioni nella

rappresentazione stessa e dei rimpicciolimenti di scala; unica eccezione a tale problema si ha quando il rilievo è attuato

su di un Campo Topografico: in questo caso, infatti, la rappresentazione risulterà solo rimpicciolita tramite un rapporto

di similitudine, detto rapporto di scala e definito come il rapporto tra un elemento di lunghezza sul piano ed uno sulla

Superficie di Riferimento, rispetto alla realtà e non deformata.

Le carte possono essere distinte in carte tecniche o di base e in carte tematiche.

Le prime sono carte che hanno il solo scopo di rappresentare il territorio in modo generale: in essi si trovano

rappresentati tutte le strutture di origine antropica ed alcuni particolari del terreno, come scarpate e corsi d’acqua.

Le carte tematiche hanno invece uno scopo specifico e cioè di rappresentare l’andamento spaziale di un qualche

fenomeno.

Esse si presentano come mappe contenenti zone omogenee differenziate nella loro tipologia dal codice cromatico o

dalla simbologia grafica.

Una mappa tematica viene realizzata aggiungendo uno strato specifico ad una carta topografica di base, casomai

opportunamente modificata.

Per realizzare tali prodotti si devono stabilire delle corrispondenze biunivoche tra le coordinate curvilinee sull’ellissoide

e le coordinate cartesiane riferite al sistema di assi introdotto come supporto del piano della carta.

Si individuano tali corrispondenze o sulla base di costruzioni geometriche (proiezioni prospettiche o proiezioni per

sviluppo), o sulla base di relazioni matematiche di trasformazione (proiezioni analitiche).

Le costruzioni geometriche consentono di proiettare punti giacenti sulla Superficie di Riferimento su di una superficie

piana od inizialmente non piana ma sviluppabile come piana una volta srotolata (superficie conica o cilindrica), senza

indurre ulteriori distorsioni sul piano.

L’orientamento di tali superfici può variare al variare della porzione di terreno che si deve cartografare in normale,

3

trasverso od obliquo e possono essere tangenti o secanti alla Superficie di Riferimento .

Con le proiezioni analitiche è possibile invece stabilire a priori in modo generico delle corrispondenze biunivoche ed

imporre successivamente ad esse la tipologia di deformazione voluta.

Si definisce modulo di deformazione lineare il rapporto tra un elemento infinitesimo di arco sul piano della

rappresentazione ed il corrispondente elemento sulla Superficie di Riferimento: m = ds /ds .

r e

Si definisce modulo di deformazione superficiale il rapporto tra un elemento infinitesimo d’area sul piano della

rappresentazione ed il corrispondente elemento sulla Superficie di Riferimento: M = dσ /dσ .

r e

Si definisce infine modulo di deformazione angolare la differenza tra l’azimut che un elemento infinitesimo d’arco sul

piano della rappresentazione forma con la trasformata sul medesimo piano del Meridiano e quello che il corrispondente

δ α’ α

elemento sulla Superficie di Riferimento forma con la tangente al Meridiano: = - .

r e

ρ ρ*r*dφ*dω; 2

2e 2 2 2 2 2 2

(ds = *dφ + r *dω ; dσ = tanα = ( r*dω)/(ρ*dφ); ds = e*dφ + 2*f*dφ*dω + g*dω ;

e e r

2 1/2 2 1/2

dσ = (e*g – f ) *dφ*dω; tanα’ = (e*g – f ) *{[(ρ/r)*tanα ]/[e + f*(ρ/r)*tanα ]})

r r e e

Nel passaggio dalla realtà alla rappresentazione, non è possibile preservare contemporaneamente tutte le caratteristiche.

Una volta definita una proiezione cartografica da adottare, è possibile comprendere quali siano le deformazioni indotte.

Imponendo che le figure infinitesime sulla Superficie di Riferimento e le corrispondenti nel piano della

rappresentazione risultino simili mantenendo costanti gli angoli, anche se il rapporto di similitudine può variare da

punto a punto, si ottengono rappresentazioni conformi o isogoniche.

3 Non ha senso costruire superfici per proiezioni geometriche completamente esterne alla Superficie di Riferimento. 5

Imponendo invece che il rapporto tra le aree delle figure precedentemente descritte sia costante, si ottiene una

rappresentazione equivalente.

Le rappresentazioni afilattiche, infine, si ottengono tentando di mantenere entro certi limiti sia i rapporti di similitudine,

sia i rapporti di equivalenza areale. 4

Le carte si possono classificare in base al rapporto di scala K che esse possiedono:

- Carte Geografiche -> K > 1 : 1000000;

- Carte Orografiche -> 1 : 1000000 ≤ K < 1 : 100000;

- Carte Topografiche -> 1 : 100000 ≤ K < 1 : 5000, distinte a loro volta in carte a:

Piccola Scala -> 1 : 100000 ≤ K < 1 : 50000;

 Media Scala -> 1 : 25000 ≤ K < 1 : 10000;

 Grande Scala -> 1 : 10000 ≤ K < 1 : 5000.



- Mappe -> 1 : 5000 ≤ K < 1 : 1000;

- Piante -> K ≤ 1 : 1000.

Errore di graficismo = rappresenta l’errore massimo che si può commettere nel tracciamento di una linea durante la fase

di redazione della carta; esso è generalmente dell’ordine dei 0,2 mm e se moltiplicato per il rapporto di scala fornisce

l’errore massimo intrinseco di qualsiasi rappresentazione a quella scala, cioè le minime dimensioni di un oggetto che si

possono riportare sulla carta a scala naturale e senza simbolismi.

Una volta fissati il tipo di rappresentazione, la scala e l'errore di graficismo, l’estensione della porzione di area da

rappresentare può essere limitata in maniera tale da rendere le deformazioni lineari massime inferiori all’errore massimo

indotto da quello di graficismo.

Tali carte possono essere considerate a tutti gli effetti prive di deformazioni, in tal caso si potrà parlare di carta a scala

unica e costante.

Sia la cartografia italiana che quella mondiale usa rappresentazioni di tipo conforme.

La condizione di similitudine fra figure corrispondenti equivale alla proprietà che l’angolo tra due linee uscenti da un

punto della superficie da rappresentare si mantenga si mantenga invariato sul piano della rappresentazione: il modulo di

deformazione lineare varia in funzione del punto ma non in funzione della direzione uscente da esso, il che equivale a

∂m/∂α = 0. 2 2

Ricordando le equazioni, questa proprietà equivale a definire che g/r = e/ρ e f/(ρ∗r) = 0, in cui f = 0 ha il significato di

trasformare due linee ortogonali sulla Superficie di Riferimento in due linee ancora ortogonali sulla superficie della

1/2

rappresentazione perché cosi diventa tanα’ = (g/e) *(ρ/r)*tanα , ma dalla prima delle due equazioni alla fine risulta

r e

α’ α

tanα’ = tanα -> = .

r e r e

Imponendo poi il cambio di variabile dalla latitudine ellissoidica a quella crescente (dΦ = (ρ/r)*dφ) per portare il

Sistema di Coordinate sulla Superficie di Riferimento ad essere isotermo e dopo aver esplicitato i parametri e, f, g (e =

2 2 2 2

(∂x/∂φ) + (∂y/∂φ) ; f = (∂x/∂φ)*(∂x/∂ω) + (∂y/∂φ)*(∂y/∂ω); g = (∂x/∂ω) + (∂y/∂ω) , le equazioni generali delle

rappresentazioni conformi divengono: ∂x/∂Φ = ± ∂y/∂ω e ∂y/∂Φ = ± ∂x/∂ω.

Queste equazioni sono anche note come equazioni di Cauchy – Riemann ed esprimono la condizione necessaria e

sufficiente affinché una variabile complessa del tipo (x + i*y) = H(Φ + i*ω).

Sviluppando in serie di Taylor nell’intorno di un’origine e separando la parte reale x da quella immaginaria i*y, si

ottengono le formule generali di corrispondenza tra Sistemi di Coordinate per una rappresentazione conforme, il cui

2 2 2

modulo di deformazione lineare diventa m = g/(r ) = e/(ρ ) e quello di deformazione superficiale

1/2 2

M = (e*g) /(ρ*r) = m .

Il tipo di rappresentazione conforme molto usata è la proiezione di Gauss, una proiezione analitica ma che può

immaginarsi derivata da una rappresentazione per sviluppo cilindrico trasverso, effettuata su di un cilindro tangente

all’ellissoide in un suo Meridiano (rappresentazione geometrica trasversa di Mercatore).

Utilizzando come centro di proiezione il centro dell’ellissoide, si ottiene che il Meridiano di tangenza e l’Equatore

proiettano i loro punti sul cilindro in modo da ottenere, una volta “srotolato” il cilindro, una coppia d’assi tra loro

ortogonali.

Essendo la proiezione di Gauss una proiezione di tipo analitico, le sue specifiche equazioni costitutive vengono ad

essere determinate una volta imposto il rispetto di opportune condizioni al contorno:

1° Condizione = Il Meridiano Centrale di tangenza o Meridiano Origine si trasformi sul piano della carta in una

retta che si assume come asse X con origine nel punto in cui interseca la retta immagine dell’Equatore.

2° Condizione = Lungo l’asse delle X siano conservate le lunghezze oggettive; cioè lungo la sua direzione il

modulo di deformazione lineare sia unitario.

La prima condizione porta a scrivere per il Meridiano di tangenza le seguenti formule di corrispondenza: x = H (Φ) e

ω

y = 0; la seconda si traduce in termini algebrici in m = 1 per = 0:

ω ρ*dφ

per = 0 m = dx/(ρ*dφ) = 1 => dx = che integrato diviene x = ∫ρ*dφ, ma per le conseguenze dell’imposizione

della prima condizione si ha H (Φ) = x = ∫ρ*dφ.

4 -1

L’inverso di K prende il nome di fattore di scala K 6

Da questa relazione caratteristica, sviluppan