The Bible of Analisysis 1 - Analisi 1

Spolaore Riccardo 1^anno Ingegneria Aerospaziale

TEOREMI E PROPOSIZIONI – ANALISI 1

Riferimento pagine – Giusti Enrico Analisi 1

Capitolo 1 – Preliminari

l’insieme delle parti di A è l’insieme i cui elementi sono i sottoinsiemi di A.

Insieme delle parti:

Definizioni: è il numero di elementi di un insieme.

Cardinalità:

l’unione di due insiemi è l’insieme di elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi.

Unione: l’intersezione di due insiemi è l’insieme costituito dagli elementi comuni ai due insiemi.

Intersezione: insiemi che non hanno elementi in comune.

Insiemi disgiunti: è l’insieme di elementi che appartengono tutti ad il primo insieme ma non al

Differenza di insiemi:

secondo (E-A) $

# & '

Coefficienti binomiali: (!

% *!((+*)!

Teoremi:

Teorema (1.1) – Relazione Elementi-Sottoinsiemi

Un insieme A con “n” elementi ha 2 sottoinsiemi.

( p.7

Dimostrazione:

[0. 1. La formula può essere riscritta nel seguente modo: 2 , con card(A)' n° elementi di A]

4567(8) 2 .

Chiamando <($) il $=>?@A BC DAEEAC$DC?>C di un insieme di n elementi pongo <($) ' $

Utilizzando il principio di induzione pongo n'1 e si ha perciò 2 ovvero che un insieme

<(1) '

di 1 elemento ha 2 sottoinsiemi (sé stesso e l’insieme vuoto∅). Con il passo induttivo risulta:

2 ⇒∶

<($ J 1) ' <($ J 1) ' 2<($) ' 2 ∗ 2 . Valendo quindi per n e per nJ1, per il principio

$J1 (

di induzione il teorema è verificato ∀n.

Assiomi di Peano

Gli assiomi di Peano costituiscono la definizione dell’insieme dei numeri naturali N:

p.24

1) 1 è un numero

2) Il successivo di un numero è un numero

3) 1 non è successivo di nessun numero

4) Numeri diversi hanno successivi diversi

5) Se A⊆N contiene 1 e il successivo di ogni suo elemento, allora A'N.

Spiegazione per ogni assioma:

1) N non è vuoto (N≠∅) e il primo elemento è 1

2) N si può contare prendendo sempre il successivo ed è quindi un insieme numerabile

3) Contando non si torna mai a 1

4) Contando non si torna mai ad un numero già contato

5) Un insieme A è uguale a N ⇔ veri[ica tutti gli assiomi precedenti.

Principio di Induzione

Se una proprietà vale e risulta vera per n (es:n'1) allora vale anche per nJ1 e vale perciò ∀ n.

p.25

Dimostrazione:

La dimostrazione è da effettuarsi caso per caso seguendo: Il passo zero: ponendo n'1 e

verificare la proprietà di partenza, Il passo induttivo, ponendo n'nJ1 e verificare la

proprietà. Se la proprietà vale per n e per nJ1 allora vale ∀n.

Capitolo 2 – Numeri Reali

Dato A, esso è induttivo se 1∈A e x∈A ⇒ xJ1∈A

Insieme induttivo:

Definizioni: Dato un insieme A, esso è il minimo dei maggioranti di A. E gode delle

Estremo superiore:

proprietà di essere un maggiorante di A, e che nessun numero minore dell’estremo superiore

è maggiorante di A.

Dato un insieme A, esso è il maggiore dei minoranti di A. E gode delle

Estremo inferiore:

proprietà di essere un minorante di A, e che nessun numero maggiore dell’estremo inferiore è

minorante di A. x se x ≥ 0

|^| `

è il valore ^ tale che: '

Valore assoluto, modulo: −x se x ≤ 0

Proprietà: - esso è sempre maggiore o uguale a 0

- è uguale a zero solo se il numero è 0.

- il valore assoluto del prodotto è uguale al prodotto dei valori assoluti.

- il valore assoluto di un numero meno un altro è 0 se e solo se entrambi sono 0.

- disuguaglianza triangolare.

un maggiorante di un insieme è un qualsiasi elemento che è maggiore o uguale a

Maggiorante:

tutti gli elementi dell'insieme: ^ è =$ >hiiCA@h$E? ⇔ ^ ≥ ^ ∀^ ∈ j.

g g

un minorante di un insieme è un qualsiasi elemento che è minore o uguale a tutti

Minorante:

gli elementi dell'insieme: ^ è =$ >C$A@h$E? ⇔ ^ ≤ ^ ∀^ ∈ j.

g g

Teoremi:

Assioma di continuità

Data una successione di intervalli dimezzati [h ; l ], ∃! punto λ contenuto in tutti gli intervalli.

p.51 * *

Cioè ∃! λ: h ≤ λ ≤ l .

* *

Dimostrazione:

(In parole povere descrive la proprietà dell’insieme dei numeri reali per cui esso è privo di

buchi; in quanto Assioma, esso è privo di dimostrazione)

Assioma di Archimede

Dati due numeri positivi a e b, esiste un intero N tale che Na>b.

p.52

Dimostrazione:

Consideriamo la successione di intervalli dimezzati:[0, s , p0, s , p0, s , … , [0, ].

l], p0, q q q q

r

r t u w

Per l’assioma di continuità ∃! <=$EA h<<h@E?$?$E? hB Ai$C C$E?@xhyyA,

?B ?DDA è evidentemente 0. Di conseguenza ∃ =$ $=>?@A % tale che un numero positivo h ∉

[0, ]. Essendo a>0 allora sarà: h > ⇒ 2 h > l. E quindi 2 ' 0, è il numero specificato

q q * *

r r

w w

dal teorema.

Proposizione 2.1 – Induttività di N

N è un insieme induttivo. p.54

Dimostrazione:

Per gli Assiomi di Peano sappiamo che 1∈N, supponiamo che x∈N. Per il secondo assioma di

Peano anche il suo successivo, ovvero (x J 1) ∈ N e perciò N è un insieme induttivo poiché è

verificato il principio di induzione per cui sia x che xJ1 appartengono a N.

Teorema 2.2 – Teorema di Esistenza dell'Estremo Superiore per un insieme limitato superiormente

Un insieme E non vuoto (≠∅) e limitato superiormente ha sempre estremo superiore. p.59

Dimostrazione:

Essendo E limitato superiormente, ?DCDE?@à >hiiCA@h$E? “{” e un numero “>” che $A$ è un

>hiiCA@h$E?. |ADE@=CD}A ora una D=}}?DDCA$? BC C$E?@xhyyC BC>?~~hEC tramite il punto

medio tra “M” e “m” che chiamo: } ' . Se “c” è un maggiorante dell’insieme E pongo > '

•€• ‚

r

> e { ' {, se “c” non è maggiorante allora pongo > ' } poiché anche “m” non era

‚ ‚

maggiorante e { ' {. ƒC<?E?$BA Cy <@A}?BC>?$EA AEE?$iA una successione di intervalli

‚

dimezzati [> , { ] tali che tutti gli { DA$A >hiiCA@h$EC mentre gli > $A. Per l’assioma di

* * * *

continuità, y’C$E?@D?~CA$? di tutti questi intervalli è }ADECE=CEh Bh un solo numero reale

λ∈[> , { ]. Ora ci sono due conclusioni da trarre:

* *

1) … è =$ >hiiCA@h$E?, infatti se così non fosse esisterebbe un numero ω> λ ma questo è

impossibile perché ω dovrebbe appartenere a tutti gli intervalli e contraddirebbe

quindi l’assioma di continuità.

2) 0?DD=$ $=>?@A ∝ >C$A@? BC … è =$ >hiiCA@h$E?, infatti se per assurdo ∝< λ fosse

un maggiorante, si avrebbe: > ≤ Š < { e quindi ∝ sarebbe contenuto in tutti gli

* *

intervalli, ma questo è assurdo poiché contraddice l’assioma di continuità.

In conclusione λ è l’estremo superiore di E.

Disuguaglianza triangolare

|h |h|

∀ a,b ∈ R si ha: J l| ≤ J |l|.

p.62

Dimostrazione: |h|

Dalla definizione di valore assoluto sappiamo che: h ≤ e l ≤ |l|, quindi:

|h| |h| |h|

h J l ≤ J |l| e: − h ≤ e −l ≤ |l|, quindi −h − l ≤ J |l|.

|h| |l| |h|

|h |h

Perciò J l| ' maxŒh J l, −h − l• ≤ J ⇒ J l| ≤ J |l|.

Capitolo 3 – Topologia della retta reale

legge che associa ad ogni coppia di numeri reali, un solo numero reale che è per

Distanza:

Definizioni:

l’appunto la distanza tra essi.

B(^, Ž) ' |^ − Ž| ; sue proprietà: - B(^, Ž) ≥ 0 e B(^, Ž) ' 0 ⇔ (^ ' Ž)

- B(^, Ž) ' B(Ž, ^)

- B(^, Ž) ≤ B(^, ~) J B(~, Ž)

•^ J ^ J ^ J ⋯ J ^

Norma/lunghezza di un vettore: ‚r rr ‘r (r

è una forma bilineare simmetrica definita positiva.

Prodotto scalare:

Proprietà:

- Simmetria: x scalare y ' y scalare x.

(Š^

- Lineare ossia: J ”Ž) ' Š(^) J ”(Ž)

- x scalare y'0 se e solo se x'0 o y'0.

, @) insieme di punti di centro ^ e distanza ≤r.

•(^

Intorno: g g

, @) ∈ – dove tutti punti di •(^ , @) sono contenuti in E.

(ad E): se ∃ •(^

Punto interno g g

, @) dove nessun punto di •(^ , @) appartiene ad E.

(ad E): se ∃ •(^

Punto esterno g g

, @) ∈ – dove cadono punti sia di E che del suo

(di E): se ∃ •(^

Punto di frontiera g

complementare. ∈E, il

(E): se ogni suo punto di E è interno ad E e preso un qualsiasi punto ^

Insieme aperto g

suo intorno •(^ , @) è interamente contenuto in E per ogni punto ^ preso.

g g

(E): E è chiuso se il suo complementare è aperto.

Insieme chiuso se è chiuso e limitato e si può quindi, da una successione a valori in K,

Insieme compatto(K):

estrarre una sottosuccessione convergente ad un punto di K

^ è un punto di accumulazione di un insieme E se per ogni intorno

Punto di accumulazione: g

di ^ cadono infiniti punti di E.

g di in insieme (E): è E ∗' E ∪ ∂E

Chiusura E*

Teoremi:

Teorema 3.1 – Condizione di Esistenza dell’Insieme Aperto

Un insieme A è aperto ⇔ se non contiene nessun punto di frontiera.

p.90

Dimostrazione:

Se A è aperto, ogni suo punto è interno, di conseguenza non può essere di frontiera.

Supponendo infatti di prendere un punto ^ ∈ j, con A privo di punti di frontiera, per quanto

g

appena detto, esso non può essere ne esterno ad A, né di frontiera poiché è contenuto in A. Di

conseguenza ogni punto di A è interno all’insieme e dunque A è aperto.

Teorema 3.2 – Unione di aperti

L’unione (∪) di insiemi aperti è un insieme aperto.

p.90

Dimostrazione:

Chiamando l’unione di un certo numero di insiemi aperti, perché un punto ^ appartenga

g

ad è necessario che questo punto appartenga ad uno degli insiemi A dell’unione. Siccome

A

per ipotesi A è aperto, il punto ^ sarà interno ad A e dunque sarà interno all’unione

A g

In conclusione, ogni punto di è interno e dunque è aperto. A.

A A

Teorema 3.3 – Intersezione di Aperti

L’intersezione (∩) di 2 insiemi aperti è un insieme aperto.

p.91

Dimostrazione:

Prendendo due insiemi aperti A e B, e supponendo che un punto ^ ∈ j ∩ 1, allora ∃ un

g

intorno •(^ , @ ) tutto }A$E?$=EA C$ j e analogamente ∃ un intorno •(^ , @ ) tutto

g ‚ g r

}A$E?$=EA C$ 1. Chiamando @ ' >C$ Œ@ , @ •, l’intorno •(^ , @) sarà }A$E?$=EA C$ j ∩ 1.

‚ r g

•

In conclusione: ∀^ ∈ j ∩ 1, ∃ •(^ , @) ∈ j ∩ 1, quindi j ∩ 1 è aperto.

g g

Teorema dell’Esistenza dell’Insieme Chiuso 3.4

Un insieme D è chiuso ⇔ contiene tutti i suoi punti di frontiera.

p.92

Dimostrazione:

L’insieme D è chiuso ⇔ il suo complementare “CD” è aperto, ciò significa che il suo

complementare non deve contenere punti di frontiera. Perciò i punti di frontiera, essendo gli

stessi tra D e devono necessariamente appartenere a D.

CD,

Teorema 3.5 – Intersezione di Chiusi

L’intersezione di insiemi chiusi è un insieme chiuso.

p.92

Dimostrazione:

D

Chiamando l’intersezione tra insiemi chiusi, sappiamo che il suo complementare è aperto

grazie alle formule di De Morgan, che enunciano che il complementare di D è l’unione dei

complementari degli insiemi che si intersecano. Poiché questi sono chiusi, i loro

complementari sono aperti e quindi anche la loro unione è aperta.

Teorema 3.6 – Unione di Chiusi

L’unione di un numero finito di insiemi chiusi è un insieme chiuso.

p.93

Dimostrazione:

Poiché l’unione di insiemi equivale a sommare i loro elementi, avrò che tutti gli elementi

appartenenti ad un dato insieme A ed un dato insieme B entrambi chiusi, appartengono

all’unione dei due (A∪B). Per la definizione di insieme chiuso, entrambi conterranno i propri

punti di frontiera poiché i loro complementari non la contengono. E quindi l’unione di chiusi,

contenendo la propria frontiera, è anch’esso un insieme chiuso.

Teorema 3.7

La chiusura di E è il più piccolo insieme chiuso che contiene E.

p.93

Dimostrazione:

La chiusura E* di un Insieme E è data dall’unione di E con i suoi punti di frontiera ∂E, perciò è

sempre un insieme chiuso. Supponendo di prendere un insieme D chiuso, e supponiamo che

E⊆D. Chiamando Ÿ l’insieme dei punti esterni a D e – l’insieme dei punti esterni ad E, allora

risulta che Ÿ ⊆ – ' }A><y?>?$Eh@? B?yyh }ℎC=D=@h.

Pertanto se un punto x appartiene alla chiusura di E, ^ ∉ – e anche ^ ∉ Ÿ . Essendo D chiuso,

implica che ^ ∈ Ÿ. In conclusione ogni punto appartenente alla chiusura di E appartiene anche a D.

Teorema 3.8 - Condizione dell’insieme chiuso

Un insieme D è chiuso ⇔ se contiene tutti i suoi punti di accumulazione.

p.94

Dimostrazione:

⇒) supponendo che D sia chiuso e che x sia un punto di accumulazione, x può essere interno a

D o di frontiera ma ad ogni caso deve appartenere a D.

⇐) supponiamo che D contenga tutti i suoi punti di accumulazione, e sia x un suo punto di

frontiera. Se per assurdo x non appartenesse a D, in ogni suo interno cadrebbe un punto di D

diverso da x. Ma allora x sarebbe un punto di accumulazione e dunque deve necessariamente

appartenere a D e se i punti di frontiera di D appartengono a D, D è chiuso.

Proposizione 3.1 - Tra due Reali vi è sempre un Razionale

Dati 2 numeri a,b∈R con a<b, ∃ sempre un numero razionale q∈ℚ compreso tra a e b: a<q<b.

p.95

Dimostrazione:

[guarda Assioma di Archimede per la generalizzazione e ricorda che il teorema è verificato in

R ma non in Q]

Teorema di Bolzano-Weierstrass

Un insieme E⊂R limitato e infinito (non vuoto) ha almeno un punto di accumulazione.

p.96

Dimostrazione:

Sia “a” un minorante di E, e “b” un maggiorante di E di cui sappiamo certa l’esistenza poiché E

è limitato. Si ha E⊆[a,b] [h ; l ]

e in [a,b] cadono infiniti punti. Dato un generico intervallo * *

costruisco un intervallo successivo [h ; l ] tale che sia una delle due metà del precedente

*€‚ *€‚

e che contenga ugualmente infiniti punti di E. Per l’Assioma di Continuità sappiamo che ∃! λ:

h ≤ λ ≤ l ∀k. In de[initiva λ è il punto di accumulazione cercato.

* *

Dimostrazione grafica:

Per mostrarlo <@?$BA un intorno qualsiasi •(…, @) di ampiezza : non appena l’ampiezza

q+5

r

w

sarà minore di r, cioè 2 > , l’intervallo sarà contenuto in •(λ, r) in cui sono contenuti

q+5

* 6

infiniti punti di E, di conseguenza λ è un punto di accumulazione.

Teorema 3.10

Sia E un sottoinsieme non vuoto (≠∅) di R e supponiamo che anche il suo complementare sia

p.97

non vuoto (≠∅). Allora E ha almeno un punto di frontiera.

Dimostrazione:

Sia “h” un <=$EA BC – e “l” un <=$EA del suo }A><y?>?$Eh@?. E ipotizziamo che sia h < l.

Considero un punto di mezzo: } ' dell’intervallo [a,b]. Se c∈E chiamerò h ' } e l ' l,

5€q ‚ ‚

r

viceversa se “c” appartiene al suo complementare. Prendendo nuovamente il punto di mezzo

del nuovo intervallo, rinomino come prima gli estremi per avere un nuovo intervallo.

Ottenendo così una successione di intervalli dimezzati • tali che gli estremi h sono contenuti

* *

in E e gli estremi l sono contenuti nel suo complementare. Per l’assioma di continuità ∃! …

*

contenuto in ogni intervallo e <@?$B?$BA un opportuno intorno •(…, @) BC h><C?~~h maggiore

di , in tale intervallo }hB@h$$A DCh <=$EC BC – }ℎ? <=$EC B?y D=A }A><y?>?$Eh@?. Pertanto

q+5

r

w

λ è un punto di frontiera e il teorema è dimostrato.

Capitolo 4 – Funzioni reali

f: A ⟶ B è una legge che ad ogni elemento x∈A fa corrispondere un elemento di y '

Funzione:

Definizioni:

f(x) di B. una funzione che associa, a elementi distinti del dominio, elementi distinti

Funzione iniettiva:

del codominio. quando ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento

Funzione suriettiva:

del dominio. se è sia iniettiva che suriettiva.

Funzione biiettiva:

è l'insieme A dei valori possibili che la variabile indipendente “x” può assumere, in

Dominio:

modo che la funzione sia definita in tali valori.

è l’insieme dei punti y∈B che provengono da qualche punto del dominio A.

Immagine: (Ÿ), D'dominio.

©

Immagine inversa: +‚

data una funzione che manda elementi dal dominio al codominio, la

Funzione inversa:

funz