The Bible of Analisysis 1 - Analisi 1

Teorema (6.1) - Estrazione Sottosuccessione Convergente

Da ogni successione limitata si può estrarre una sottosuccessione convergente.

Dimostrazione:

Partiamo dal ricordare che una successione si dice limitata quando i suoi termini appartengono tutti a un intervallo chiuso [a,b].

Se dividiamo questo intervallo in due parti uguali con un punto "c" che sia contenuto in almeno uno dei due sotto intervalli ([a,c] o [c,b]), ci saranno infiniti termini della successione che cadono all'interno di questo intervallo. Chiamo quindi questo intervallo "•" e prendo un termine h contenuto in "•".

Continuando così, possiamo costruire una sottosuccessione che converge al termine h scelto.

Per* * (Íl’assioma di continuità l’intersezione di tutti questi sotto intervalli è un numero reale λ taleche λ∈• ∀n. Îh BCDEh$~h E@h un altro qualsiasi punto (h ) di • ? … sarà >C$A@?( * (Ídell’h><C?~~h di • cioè ; che sarebbe come scrivere: âh − λâ < .q+5 q+5( *r rw wÍQuindi la sottosuccessione converge a ….

Teorema 6.2 - Estrazione Sottosuccessione Convergente

Sia K ⊂ ƒ un insieme compatto (ossia chiuso e limitato). Da ogni successione a valori in K si( p.177può estrarre una sottosuccessione convergente ad un punto di K.

Dimostrazione:

Prendendo una successione ^ a valori in K, essa sarà limitata poiché K è limitato. E quindi*(per il teorema precedente) si può estrarre una sottosuccessione (^ ) convergente a un punto*∗λ. È quindi necessario

dimostrare che λ ∈ K. Supponendo per assurdo che λ appartenga al complementare di K, che sarebbe un insieme aperto poiché K è chiuso, esisterebbe un intorno di λ tutto contenuto nel complementare di K, d’altra parte la sottosuccessione ^ converge a λ*∗ma questo è assurdo perché ^ ∈ ã mentre λ appartiene al suo complementare. Quindi λ deve*∗appartenere a K e quindi il teorema è verificato.

Teorema 6.3 – Esistenza del Limite di una Successione Monotona

Una successione h monotona ha sempre limite: p.180

(se h è crescente si ha: lim h ' sup h( ( (ä n∈N(→½se h è decrescente si ha: lim h ' inf h( ( ((→½

[N.B: Il limite è finito in entrambi i casi se la successione è limitata, altrimenti sarà J∞ se la successione è crescente o -∞ se la successione è

successione anziché ad una funzionebasterà prendere l’intervallo [a,b) e da esso costruire una sottosuccessione di intervallidimezzati, grazie alla quale, con l’ausilio dell’Assioma di Continuità, arriveremo a trovarel’?DCDE?$~h di un =$C}A <=$EA λ contenuto in ogni intervallo ed esso sarà il limite dellasuccessione per “n” tendente all’infinito e coinciderà con l’estremo superiore dellasuccessione se essa è crescente o con quello inferiore se essa è decrescente.

Teorema della Convergenza di Cauchy (6.4)

Una successione h è convergente ⇔ è di Cauchy.p.190( |h |N.B: Una successione è di Cauchy ⇔ ∀ε>0 ∃ “v” tale che ∀ n,m>v risulti − h <ε.

(Dimostrazione:

Sia h una D=}}?DDCA$? BC |h=}ℎŽ. Poiché h è limitata (per il teorema 6.1) possiamo( (?DE@h@@? una DAEEAD=}}?DDCA$? h }A$x?@i?$E?

hB un numero reale λ.* Í∀ε>0 ∃ “x ” tale che ∀ n>x risulti âh − λâ <ε.

La successione h deve quindi tendere a λ per‚ ‚ * (Íverificare il teorema. Per la definizione stessa di successione di Cauchy,|h |∃ “x ” Ehy? }ℎ? ∀ $, > > x @CD=yEC − h < Ñ ovvero âh − h â <ε poiché % ≥ $.r r • ( ( * (ÍPertanto, prendendo x ' >C$ Œx , x • si avrà ∀n>v: |h − λ| ≤ |h − h | J |h − λ| < 2Ñ‚ r ( ( * *å Í Íe quindi la successione h tende a λ.(Teorema 6.5 – Successione limitata Superiormente∑Sia h una serie a termini positivi e sia D la successione delle somme parziali. Se lap.201* ( ∑successione D è limitata superiormente, la serie h converge, altrimenti