Test statistici

TEST STATISTICI: ASPETTI GENERALI

In statistica, se vogliamo provare qualcosa dobbiamo ipotizzare l'opposto detto ipotesi nulla e segnata come H₀.

Non possiamo accettare un'ipotesi ma solo rifiutare l'opposta rafforzando l'iniziale.

Valutiamo l'ipotesi nulla H₀:

Se il test rivela che H₀ è vera, non abbiamo motivo di rifiutare H₀ e l'ipotesi alternativa (quella che volevamo valutare) viene rifiutata.

Se il test fallisce (H₀ è falsa) rifiutiamo H₀ e l'ipotesi alternativa risulta rafforzata.

Quando confrontiamo due campioni di dati, l'ipotesi nulla proverà che non esista differenza tra i due relativi al parametro considerato.

Esempio: confronto le medie di due campioni di dati Ipotesi nulla: le 2 medie hanno lo stesso valore.

Rifiutare un'ipotesi nulla potrebbe essere la decisione giusta o no:

• Errori di tipo I: rifiutiamo un'ipotesi vera
• Errori di tipo II: accettiamo un'ipotesi falsa

LIVELLO DI SIGNIFICATIVITÀ α:

Probabilità di rifiutare l'ipotesi nulla anche se corretta.

È la probabilità di compiere un errore di tipo I o è a carico dello sperimentatore.

Nel test statistico:

• Definiamo una variabile X con distrib. di prob. f(x)
• Assumiamo un'ipotesi nulla H₀ da verificare
• Limite α (livello di significatività)
• Calcoliamo la prob. di ottenere un valore di X maggiore di

Quella evidenziata è la prob. di rifiutare H₀ anche se corretta.

La distribuzione che andiamo ad usare è la distrib. di prob. della variabile del test e non quella associata ad H₀ e incertezza.

Se la variabile cade qui l'ipotesi nulla non può essere rifiutata => ma non implica che H₀ sia vera. Il campione di dati non offre sufficiente evidenza contro H₀ (decisione debole)

Se la variabile cade qui, l'ipotesi nulla deve essere rifiutata => rafforza l'ipotesi alternativa il campione di dati fornisce sufficiente evidenza che H₀ sia falsa (decisione forte)

α è a scelta dello sperimentatore: si assumono alcuni livelli tipici: P[X ≥ α] < 5% o P[X ≥ α] < 1% dipende se ti sta giocando il Nobel oppure no!

Questo test può essere usato anche per confrontare 2 valori (es: 2 medie) conoscendo le dispersioni vere

segue la distrib. normale

Per molti test statistici è importante distinguere tra 2 classi di test a seconda se siamo interessati a valutare una differenza tra valori o anche a sapere quale dei 2 valori sia >

Test a 2 code (two-tailed)

C’interessa la differenza tra le 2 grandezze; sono Z-test, test di Student, F-test.

Test a una coda (one-tailed)

C’interessa la differenza e la direzione tra 2 grandezze; sono Z-test, test di Student, F-test, χ²-test

Z-test a 2 code:

Rifiutiamo l’ipotesi nulla che le due prove siano uguali con un livello di significatività α ma non ci interessa sapere quale sia maggiore:

1. α/2% di prob. che le medie siano diverse e
2. α/2% di prob. che le medie siano diverse e

UN’ALTRA STELLA HA VEL RAD DI -119.5 Km/s

APPARTIENE A NL’AMMASSO?

RV_X - RV / SRV/√6 = 2 IN UNITA’ DI SIGMA.

INTERPRETIAMO QUESTO COME UNO Z-TEST (ASSUMENDO

CHE LA DISP. MISURATA SIA UNA BUONA STIMA DI O-

RIGETTAMO H_O CON UN LIVELLO DI SIGNIFICATIVITA’

DEL 4%.

VEDIAMO INVECE COME UN TEST DI STUDENT?

RIGETTAMO H_O CON UN LIVELLO DI SIGNIFICATIVITA’ DEL

10%

IL TEST DI STUDENT FORNISCE UNA MAGGIORE CAUTEZA

NEL RIGETTARE H_O IN VIRTU’ DELLA BASSA

STATISTICA. PER NY>30 I DUE TEST SONO

IDENTICI

F-TEST

SI BASANO SU UNA VARIABILE F, DEF. COME RAPPORTO DI

2 QUANTITA CHE SEGUONO ENTRAMBE LA STATISTICA DEL X².

SEGUE LA DISTIB DI PROB DI FISHER (DETTA DISTRIB. F)

IN ASTRONOMIA:

• CONFRONTO DELLE VARIANZE MISURATE
• TESTARE LA CONVENIENZA DI UN NUOVO FIT A CUI

ABBIA GIÀ AGGIUNTO TERMINI.

Se χ² >>1 il modello è sbagliato oppure abbiamo sottostimato gli errori

La variabile χ² è della forma generale:

χ² = Σ(valore osservato - valore atteso)² / incertezza

La variabile assume poi forme diverse:

Il fit è buono?

Abbiamo un nostro campione di N galassie per esempio con le dist e velocità.

In questi casi usiamo le incertezze sperimentali:

χ² = Σ_i=1^N(X_i-E_i)² / σ_i²

Confrontiamo dei dati sperimentali con una distr. di prob.

I dati sperimentali sono estratti da quella distrib.! Es:

In questi casi: usiamo la def. di χ² con le incertezze teoriche:

χ² = Σ_i=1^N(X_i-E_i / √E_i)²

Distribuzione di probabilità della variabile χ²

P_ν(χ²) = C_ν e^-χ²/2 (χ²)^{(ν/2 -1)}

ν = numero intero positivo = gradi di libertà