Esercizi Statistica tipo 6 (Intervalli di confidenza, teorema centrale del limite, test statistici, t-Student, significatività)

Esercizi tipo (dispensa)

Esercizio 1

Intervista 100 studenti, il 35% è a favore dell'apertura della biblioteca nell'orario serale.

1. Costruire un intervallo di confidenza per la quota (non nota) della proporzione di studenti a favore.

Dati: m=100, v=0.35, 1-IdC=0.01.

P( -z_α/2 < v̄ - v < z_α/2 ) = 1 - 99%

P( v̄ - z_α/2 < v < v̄ + z_α/2 ) = 0.01

IdC = [0.35 - (2.576₂) √(0.35*0.65/100), 0.35 + (2.576) √(0.35*0.65/100)]

= [0.227, 0.429]

2. Supponiamo che la proporzione di studenti a favore sia 28%. Qual è la probabilità che nel campione si ottenga una proporzione di studenti a favore, compresa tra il 25% e il 35%?

P(25 < ^VF < 35) = P(25 - E(v̄)/S_em̄ <

v̄ - E(v̄)/S_em̄ < 35 - E(v̄)/S_em̄)

= P(√m (25-28)/√v(1-v) < z < √m (35-28)

/√v(1-v))

= P(√100 * 0.25-0.28/√0.28 * (1-0.28) < z < √100 * 0.35-0.28/√0.28

(1-0.28))

= P(-0.30/0.448997 < z < 0.70/0.448997)

= P(-0.6682 < z < 1.5594)

(1,86) - (1-0,67) - (1,86) + (1 - (6,7)) = 0,9406 - 0,7486 = 0,6892

ESERCIZIO

Le concessionarie di auto sono state interessate al fine di rilevare il num. di macchine vendute negli ultimi 3 mesi. Del anno in cui il medio è risultato pari a 4,6 con un SD di 1,7.

1. Determinare un intervallo di confidenza del 95% per il num. medio di auto vendute negli ultimi 3 mesi.

DATI:

• m = 16
• IDC = 95%
• _x = 4,6
• S = 1,7

1° - Calcolo lo stimatore

S = _√(m/m) , = _√(16/15) , 1,7 = 1,7558

- = 0,95 = 0,05 α/2 = 0,025 t_{(m-1; α/2)} = 2,1315

P (-t_d/2 < _x - / S/_√m < t_d/2) = 0,95

IDC = _x - t_d/2 S/_√m ; _x + t_d/2 S/_√m

• [4,6 - (2,1315 x 1,7558/4) ; 4,6 + (2,1315 x 1,7558/4)]

[3,66 ; 5,54]

10) Delle stori ufficiali il medio è 5,2. Verificare l'ipotesi che le vendite nell'ultima mese sono state equivalenti delle vedite negli ultimi 2 anni. Contrastare l'affermazione di una diminuzione delle vendite. Specificare le posibi nella ipotesi alternative , il tipo di test da usare e le conclusioni.

SOLUZIONE:

1. ₀ : = ₀ = 5,2
2. ₁ : < ₀ = 5,2

Osservando il livello di significatività del 5%

t_misura = 2,720 > 1,833

quindi rifiuto H₀ al lato _(c)

Esercizio 6^b

1. (a) Campione di 25 consumatori, con un valore medio _x̅ = 9,2e una deviazione standard pari a 1,2.
2. (c) Determinare un intervallo di confidenza del 95%.

Dati: n = 25 δ=0.95

x̅=9,2 δ=1,2

s = _√(0,25/24) ⋅ 1,2 = 1,735

α=0,05 → α/2=0,025 → t_{n−1, α/2} = 2,0639

P(_{x−tn−1,α/2(x̅−μ)/(χω/√n)}

IC = [x̅−t_n−1,α/2⋅s/√n; x̅+t_n−1,α/2⋅s/√n]

= [9,2−(2,0639⋅1,735/√25); 9,2+(2,0639⋅1,735/√25)]

= [8,484, 9,916]

(b) Dalle stor. ufficiali il vol. medio è 8,6 con una deviazionestandard di 1,5. Con un t.tot. dello 0,01, si può ritenere che ilvalore medio diss.δ da 8,6? Specificare il test, ipotesi nullae alternativa e decisione.

• H₀: μ = 8,6
• H₁: μ ≠ 8,6

Test di anticonv è z-test, perché conosco la deviazione standarddella popolazione

Z = (x̅−μ)/(σω/√n) ≈ ℵ(0,1)

Esercizio 49

A respondent è possibile usare cumulando data un IDC al 95% per μ [24, 8%]

1. Determinare il reddito medio

IDC ₁/² (L+B) = 5%

2. Determinare P (sol)

IDC: µ = x _p ± sec (x)₁ x _c- sec (x)^-M₁ (8%, -2%) = 1 _/3₉₀ = 1,5306%

3. Determinare lo devià starand

Conosco lo sec (x) = 1,5306% = σ_µ → σ = (0,015306√n) = 0,0107₁₁

Esercizio 50

P (_-zα/2 < (₊(—/−)µ < z_α/2) = 0,95

Con α/2 = 0,025 — z_α/2 = 1,96

If IDC: [■ (∑1 ∑²)] L [0,3 +1,96, 0,31 - 0,3] = 0,3 + 0,08882

[0,2408,0,39882]