Termofluidodinamica M - Appunto

TRASMISSIONE DEL CALORE

TERZOFIOLO DI DINAMICA

FINO A 1^o NOVEMBRE

PROVA IN ITINERE 7 NOV

BARLETTA

2 APPELLI 2 LISFE 4 ORALI 3 SCRITTI TEORIA

+ ESERCIZI LEGATI A TEORIA

LISTA DI DISTRIBUZIONE

LIBRO DI TESTO

TdCTFDM - 2015 p: gill 2015

• MODELLI DI FLUIDODINAMICA E COMBUSTIONE
• EQUAZIONI DEL 1^o ORDINE, QUANTITA DI MOTO TEORIA DEL TRASPORTO DI REYNOLDS
• VORTICITA STRATO LIMITE DI RAYNOLDS
• METODO INTEGRALE
• MOTI COMPRIMIBILI
• STABILITA DEI MOTI LAMINARI E TURBOLENZA TPD NEL MEZZO POROSO (FILTRAZIONI DI ACQUA IN SABBIA)
• DISSUSSIONE DI MASSA IN UN FLUIDO

RICEVIMENTO MAR 10.00 ÷ 12.00

FISICA TECNICA 2 PIANO

Moto di un fluido

La logica oggi:

Meccanica dei contatti

• Trattiamo fluido come un mezzo continuo
• Giungersi sulla base scala di lunghezza
• Noi osserviamo che stessa struttura continua

È un approccio semplificato

È definito in riferimento di luogo che contiene al suo interno un elemento di volume, area, line

Può trattare come un mezzo continuo

Non è augando ¹/_10²³ ma 6 · 10²³

Si può descrivere tramite una traiettoria

Stato di moto del fluido

Insieme di traiettorie seguite dal proprio punto da tutti gli elementi del fluido del nostro sistema

Ipotesi di localizzazione

In una certa posizione (x, y, z) a un dato tempo è

• Dobbiamo avere un unico elemento infinitesimo di fluido
• Le traiettorie non si incrociano in una posizione a un dato tempo
• Il vogliamo descrivere traiettorie indipendenti

Possiamo associare una velocità istantanea

Campo di velocità del fluido

Campo vettoriale (ogni campo elettrico, magnetico, gravitazionale...)

• u (x, y, z, t)
• È la velocità istantanea di un punto che occupa la posizione (x, y, z) all'istante t
• Es: per assurdo
• Avrei 2 velocità istantanee allo stesso (x, y, z) all'istante t
• Non va bene

calcolato separatamente i due integrali

facciamo uno _zoom su R_A

introduciamo notazione in più

superficie di confine della

regione di spazio R_C

(santa peràtica)

1 = A ∪ Γ_C

velocità che ertaino da Sx a Dx

cilindro con base dt = area di base ∙ d Γ

dV = dΓ (−u∙n ∆_ε) = −u∙n ∆_t d Γ

sto calcolando un vettore approssimato decentemente quando ∆ε → 0

∫_ΩR g ψ dV ≃ − [∫_ΩA g ψ u∙n dt] ∆t

stavo ca n forza un angolo acuto con u

la base e sempre dΓ

dV = d Γ (u∙n ∆_ε)

⇒ ∫_ΓC g ψ dV ≃ [∫_ΓC g ψ u∙n dt] ∆_ε

facendo il quale sparisce ∆_ε ⇒ diventa un'uguaglianza esatta

sottraendo i due integrali otteniamo c'integrale su Γ

⇒ dψ/dt = lim/(∆t→0) (ψ(t + ∆t) − ψ(t))/∆t = ∫_Rt d/dt (g ψ) dV + ∫_Γt (g ψ u∙n d Γ =

= ∫_Rε [ d/dt (g ψ) + ∇∙(g ψ u)] dV

Nella relatività saltano fuori tensori di rango 4

Einstein avrebbe scritto in forma compatta:

a_i = 3∑_j=1 3∑_k=1 Ɛ_iskb_kcc_k = Ɛ_iskb_sc_k

(Con indici ripetuti la somma sopra è implicita)

Convenzione sugli indici ripetuti

ES

b = 3∑_i=1 Ɛ_a=1bⁱc_i = bⁱc_i

(Secondo convenzione di Einstein la somma) (Applicata agli espressioni che indicano il prodotto dei tensori)

cⁱ + c_i

C'è indice ripetuto ma non prodotto, quindi la somma non è sottointesa su i

ES

Traccia di una matrice A

A_ij

Tr (A) = 3∑_i=1 A_ii = A_ii

(Convenzione di Einstein)

Non ho prodotto tra più tensori, ho solo un tensore, ma questo è un caso particolare vale comunque

ES

Divergenza in un campo vettoriale

∇ ⋅ u = ∂u_x / ∂x + ∂u_y / ∂y + ∂u_z / ∂z

= ∂u₁ / ∂x₁ + ∂u₂ / ∂x₂ + ∂u₃ / ∂x₃

= 3∑_i=1 ∂u_i / ∂x_i

C'è un indice ripetuto? SI

Quindi posso scrivere 3∑_i=1 ∂u_i / ∂x_i = ∂u_i / ∂x_i

(Convenzione di Einstein)

ES

Rotore di un campo vettoriale u

(La differenza tra divergenza è anche un campo vettoriale)

(∇ × u)ⁱ_j = 3∑_j=1 3∑_k=1 Ɛ_isk ∂u_k / ∂x = 3∑_j=1 3∑_k=1 Ɛ_isk ∂u_k / ∂x_j

= Ɛ_isk ∂u_k / ∂x_j

(Sottointeso sommario in j e k)

(Convenzione di Einstein su indici ripetuti)

23/9/15

2η _∂ui/_∂xi + 3λ _∂uk/_∂xk = 0

È la traccia della matrice identità

(2η + 3λ) _∂uk/_∂xk = 0

Per qualsiasi valore di μ (cofensco)

Conclusione:

λ = -2/3η

2η∂ui - 2/3η∂uk∂xkδis

Adesso calcoliamo _∂tis/_∂xj

^∂t_is/_∂xj = 2η^∂_is/_∂xj - 2/3η^∂u_k/_∂xkδ_is

= μ[∇²u_i + ^∂/_∂xi(∇⋅ũ)]

− 2/3 ^∂/_∂xi (∇⋅ũ) =

= μ[∇²u_i + ^1/3∂/_∂xi(∇⋅ũ)]

L'eq. di bilancio locale di quantità di moto cà respirare rispresa

^∂/_∂e

= η[∇²u_i + ^1/3∂/_∂xi(∇⋅ũ)]

Equazione di Navier-Stokes

S_RE[g_DE^DE-g u_i D u_i-g u_i g_i]dV = Q̇ + Ẇ

Andiamo a sostituire G e Ẇ

S_RE[g_DE^DE]dV = S_RE[∇·q̇]dV + S_RE[ -u_i ∂p/∂x_i + u_i ∂τ_ij^f/∂x_j + σ_is D_is]dV

Scomugno un unico integrale

Raccorciamo u_i e sostituiamo

S_RE[g_DE^DE + g_i D u_i - g_qi + ∂p/∂x_i ∂x_j] - q_g + ∇·q̇ - σ_is D_is]dV = 0

=>

Grazie all'eq. di bilancio della quantità di moto

= EQ. di bilancio locale dell'energia

g_i d_Ε/dΕ = -∇·q̇ + q_g + σ_is D_is

σ_is D_is = -ρ D_is D_is + τ_is D_is = -ρ(∇·u̇) + τ_is D_is

Effetto termico dovuto alla viscosità causato dalla potenza generata dagli attriti viscosi

=>σ_is D_is è ca dissipazione viscosa

⇒

S_DEg_i Ε/dΕ = -∇·q̇ + q_g - ρ (∇·u̇) + τ_is D_is

Parte più calda di fluido vengono spinte verso alto, perde verso basso

- Il moto è generato da forza di galleggiamento

Variabilità della densità indipendente da pressione