Termofluidodinamica - Appunti

TERMOFLUIDODINAMICA

STATICA DEI FLUIDI

-∇P - γk = ρa   se a riposo, piani di taglio annullati: a = 0;

∇P = -γk,   ∇P = ^∂P/_∂z (∂P_x ^∂P/_∂z)

γ, specific Weight = ρ.g

• Legge fondamentale della statica dei fluidi:
  • ^∂P/_∂z = -γ  →  P_B=P_A - γ(z_B-z_A) = -δl.ρ

- PER FLUIDO ISOTERMO, OMOGENEO E INCOMPRIMIBILE, alla stessa quota ha la stessa pressione

- PER FLUIDO COMPRIMIBILE (ρ dipende da T_e, p)   un ρ = β.P.R.T

• ^dP/_dz = -βP/RT
• trasf. isoterma   P_z = P_z₀e^{-β/RT(z_z-z_z₀)}

MISURATORI DI PRESSIONE

• barometro e manometro
  •   P_B = P_A, stessa quota.
  • P_A = P_B + γ_liq . h

- Piezometro

•   P_A = γ_liq . h

- Manometro con tubo a U

•   P₂ = P₃
• P₂ = P₁ + γ_m . h_m = P_A + γ_h
• P_A = P_X + δX . h_r2

P_A = δ_m h_z - δ_p h_z

PRINCIPIO DI ARCHIMEDE

Forza di galleggiamento (buoyant force) è la forza risultante del fluido agente sul corpo.

F₀ = γ V     uguale al peso del fluido spostato dal corpo in senso verso l'alto, punto per le condizioni è centro di galleggiamento.

variazione di pressione in un fluido con movimento del corpo rigido

-^∂p/_∂x = γ x ρ x₁     -^∂p/_∂y = γ y x ρ x₂-^∂p/_∂z = γ z x ρ x₃

con ∂x = 0 e ∂y = 0 -- ^∂p/_∂z=-ρ(g+z₁)

relazione di corpo rigido, coordinate cilindriche

^Vp=₂ ^z +_∂ ∂ z +_∂ e_zcomponenti delle accelerazioni:^∂_{∂ t} = ∂ ∂     ^∂_{∂ z}

p = ^ρw²r² ₂ - ∂z + c

SPINTE IDROSTATICHE

dF = p dA (-n)   (forza sulla sup generata dalla P esterna)

forza esercitata dal fluido su A   → F_R = ^δb [H(z₃-z₁) - ¹/₂(z² - z^')]

momento associato a una spinta idrostatica

M_R = γb ^∫_z (H - z) (z - z) dz

centro de spinta:     M_R = F . ξ_z;       &fnote;b braccio del centro de spinta.

Seconda legge di Newton, eq della quantità di moto

D/Dt ∫_sys VρdV = ∑F_sys relazione per sistema di rif. invariabile

D/Dt ∫_sys VρdV = ∂/∂t ∫_cv VρdV + ∫_cs VρV n dA con V, ρ, V, tensore

• se CV è fisso e indeformabile ∂/∂t ∫_cv VρdV + ∫_cs VρV n dA = ∑F_{entra esce} cv
• se sistema invariabile o in movimento ∂/∂t ∫_cv VρdV + ∫_cs VρW n dA = ∑F_{entra esce} cv
• se compaiono V relativo ed V assoluto relativo al controllo: ∂/∂t ∫_cv ((W+V_cn)ρdV + ∫_cs (W+V_cn)ρW n dA = ∑F_{entra esce} cv

qta’ lineare di moto per V di controllo invariabile mobile, non deformabile e con gluc. staz ∫_cs WρW n dA = ∑F_{entra esce} cv

Prima legge della termodinamica, eq dell'energia

D/Dt eρdV = (∑Q_in - ∑Q_out) + (∑W_in - ∑W_out)_out

e = u + V²/2 + gz

se fisso e indeformabile, Trasporto di Reynold: D/Dt ∫_sys eρdV = ∂/∂t ∫_cv eρdV + ∫_cs eρV n dA

∂/∂t ∫_cv eρdV + ∫_cs eρV n dA = (Q_entra + W_{entra, m})_cv

Fluido/Flusso stazionario, laminare tra due piani paralleli

particella solo lungo asse x:

U = 0

W = 0

per eq. di continuità:

dU/dx = 0

per Hp di flusso staz:

dU/dt = 0

quindi U è f. flusso di y:

U = U(y)

sui Navier-Stokes:

d²U/dy² = 0

poiché non dipende da y:

distribuzione di velocità elevata:

Fattore volumetrico di flusso è dato da:

q = V/b = h/b = h/2L

assa pressione o condotto di pressione ΔP su una lunghezza L:

piano di velocità:

Vp = μ

eq di Bernoulli per flusso irrotazionale

irrotaz., staz., non-vicocd, incomprimibile

^p/_g + V²₁/2g + z₁ = ^p/_g + V²₂/2g + z₂

potenziale di velocità

per flusso irrotaz.

U = ^∂Φ/_∂x, V = ^∂Φ/_∂y, W = ^∂Φ/_∂z con Φ potenziale di velocità.

V̅ = ∇Φ

conv. delle masse:

∇V̅ = 0; ⟹ ∇²Φ = 0; ⟹ ^∂2Φ/_∂x² + ^∂2Φ/_∂y² + ^∂2Φ/_∂z² = 0 eq di Laplace

flussi potenziali

Tipologie: flussi piani potenziali

U = ^∂Φ/_∂x V = ^∂Φ/_∂y

definizione tra stream function: u = −^∂Ψ/_∂y; v = ^∂Ψ/_∂x

condizioni di irrotazionabilità:

^∂2Ψ/_∂x² + ^∂2Ψ/_∂y² = 0

per un flusso piano inviso, può usarsi sia il potenziale che la stream funzione

potenziale di velocità e stream function sono condotti:variarione di Φ corrente con variance di (x,y) = (x + dx, y + dy)

dΦ = ^∂Φ/_∂x dx + ^∂Φ/_∂y dy = udt + v₁dt

^dΨ/_dx lungo y cont. u

^dΨ/_dx lungo Φ cost −^u/_u̅

esistono linee equipotenziali ortogonals alle streamlines, per ogni campo di flusso potenzialeè possibile disegnare una rete di flusso

se ΔΨ tra due stream lines ^f/◌̇ _o siano un fase di accelerazione

^ΔΨ/↑

accleration

deceleration

Flussi interni, viscosi nei tubi

possono essere laminari, di transizione e turbolenti.

Il tipo di moto varia dalle portate, da dipendenze di velocità e raso del tubo.

Q=VA;

Regione di entrata e flusso fully developed

• regione di entrata, per via dello no-slip ci ha la formazione di uno strato limite
• regione fully developed, quando profilo di velocità è parabolico e non possono presentarsi di fluttuazioni periodiche.
• e effetto di confinamento zona è una regione di sviluppo del flusso.

Regione d'entrata:

• _l/_D = 0.06_Re ^laminari
• _l/_D = 4.4(_Re)^{1/6 turbolenti}

Permano e sforzo di taglio

• regione fully developed - ²²p/∂x = cost., gradiente costante
• regione d'ingresso a condotta semplificativa, flusso accelera all'entrata e richiede un gradiente di p maggiore

Flusso laminare completamente sviluppato in tubo circolare

Seconda legge di Newton

ΔP/l = 2τ/r τ = Crν, a ν = D/2 sforzo di taglio max → τμ; C = 2τμ/D

ΔP = 4ζτ_w

per flusso laminare di fluido Newtoniano, τ_w = -μdν/dr ; τ > 0 perciò dν/dr < 0

ammette flusso viscoso, dove aderire alle parte no supportano la cond di no slip, μ=0 e ν=D/2,

C₁ = [ΔP/(16 μL)]²

profilo di velocità uniforma dato flusso di taglio τ_w

Μ(ζ) = ΙμD/(4Μ] [1- (ν²/R)]