Appunti Termofluidodinamica M

FLUIDO = gas o liquido, è un mezzo continuo.

A livello macroscopico non vedo le molecole, posso dire che non è un mezzo continuo. A livello microscopico non posso più bene vederlo le molecole.

Noi usiamo un approccio ingegneristico in cui consideriamo il mezzo continuo. Si può descrivere il moto del fluido descrivendo il moto di un particolare co-sieme di fluidi di massa "dm" → descrivere una traiettoria nel tempo e ciò associa a storia la velocità dell’elemento di fluido.

Se faccio così ragionamento per tutte le porzioni co esime di fluido, posso poi fare la somma e trovare il moto del fluido.

Per definire la velocità ri associato a qst traiettorie, la posizione occupata da dm deve essere occupata SOLO da dm.

Nello stesso tempo e nella stessa posizione non si possono trovare 2 dm (dm₁ dm₂), se no trovo che la velocità è un parametro ambiguo perché non so a quale massa mi sto riferendo → uso ipotesi di localizzazione (non può essere che la stessa posizione sia occupata da 2 punti materiali co esimi allo stesso istante).

La velocità istantanea di dm lungo la sua traiettoria rappresento il suo CAMPO DI VELOCITÀ u = u (x,y,z,t)

"dm" è co-esima solo perché non siamo osservatori macroscopici esterni, no di dm ci sono un numero co di molecole → dm costituisce un sistema termodinamico

Si trova in uno stao tel che può essere di equilibrio stabile o no.

In termofluidodinamica si suppone sempre che si trovi in eq. stabile → fa ciò l’ipotesi di equilibrio locale (istante dopo istante ciascun elemento co-esimo ∈ in eq. stabile). Ciò implica che in dm c’è una T uniforme

Quando ha senso usare ip. di eq. stabile? Quando durante ogni istante (dm) riesce ad avere una T₀ al suo interno uniforme.

Un sistema qund aspetta per cosi lungo il suo si usa anche la diffusività termica t → proprietà del fluido/solido che si misura m²/sec

4. T.E. ➔ lunghezza finita ➔ lunghezza entro la quale sc. il calore

Modo di uniformare all'interno del sistema

Maggiore è maggiore la lunghezza e il tempo fluido di condurre

Maggiore è la sua conducibilità, maggiore la lunghezza

Per utilizzare l'ip di eq locale dobbiamo avere una lunghezza

molto maggiore di libero cammino medio

lunghezza che compie una molecola prima di urtarsi un'altra

dt rappresenta l'intervallo di tempo che caratterizza l'evoluzione di dm

Se il moto del fluido è non stazionario ➔ dt rappresenta la scala temporale dell'evoluzione caratteristica di dm

Se dt ➔ lunghezza difficilemente la lunghezza ➔ ≫ del libero

cammino medio ➔ difficilmente l'ip di eq locale sarà soddisfatto ➔ i cambiamenti che subisce dm non nella replicabilità di concentrazione su dm nel tempo locale

Oltre al campo di velocità può essere associato a dm in campo di T, P e ρ

• T (x,y,z,t) = campo di temperatura
• P (x,y,z,t) = campo di pressione
• ρ (x,y,z,t) = campo di densità

Passo definito se nelle "ip di" eq. locale

Eq. mi permette di definire dm come dm = ρ•dV

Fino a che punto vale l'ipotesi di localizzazione? Nel moto turbolento l'idea di iniettore viene meno

Esperimento di Reynolds ➔ esperimento critico per studiare il moto a livello microscopico. Reynolds riguarda del calore e il fluido

Se il fluido si muove avente bassa portata

le molecole di colorante restano circoscritte in uno piccolo spazio

Se l'acqua è quiete (si muove lentamente bassa portata) il filo di col.

Rimane tale ➔ tutto il tragitto. Se la velocità (veloc.) ➔ di col.

color si diffonde: livello di colorante ➔ quando si verifica qui cosa

dic...rio che il moto TURBULENTO

particelle di colorante ➔

mescolamente molecole

Non si possa più definire ➔ qui non va bene ipotesi di

campi di temperatura, pressione e localizzazione perché non esiste più linea retta in cui definire

Δ(A(iα))₂ = ∑_μ=1⁴μ_iΔ(e_αiⁱ) = ∑_λ=1ⁿ∑_ν=1⁴u_jβνΔ(e_jν) = ∑_j=1²∑_i=1³u_i(Aj_β)

Qesto è indice 3x3

(μ|A(i) β) = _{da qst doppio prodotto risulta un scalare}

∈ ℝ x V^A

oggetto che + indice che

⊻⊻⊻

In generale un tensore di rango n come lo rappresento?

A(i)(x) = (_bici A(i)(i, μλ(1)) = ∑_k=1^m∑_j=1ⁿμ_k^lake ... ∈ijⁿ = (u(p) i(1), e(ix)¹, +u(j)³)

Sono le componenti cartesiana di i(k)

Vi è elemnto k-esimo della linea i(e),n,a

(3 1 2 | ... μ, μ1, μ2, μj*...v)

A e(i) x ∈(₁up e)^{kive λ}...

oggetto che + ha l'indice che

Numeri reali A(i, 1, 2, i, ...)

Posso identificare il tensore di rango 1 con un oggetto di n vettori Un esempio di

applicazione con rango n = 2 Delta di Kronecker δ(u(i), x(i)) = iξ x

Gli elementi che costruiscono la matrice sono dati da

La matrice associata al delta di Kronecker è la matrice identità

[ 1 0 0]

[ 0 1 0]

[ 0 0 1]

Un esempio cosa applicazione con rango n = 3: Simbolo di Einstein-Christo

Ε(i, u(pub), ^un³) - i(lunga) nx(lup)(xup)

È associ al sua serie di vettori il prodotto scalare del 16° Sol con

il prodotto vettoriale degli altri x vettori

Ε(i e_κ, u, u, □□) = i(i, (x, x_i) = componente n-esima del prodotto vettoriale

di i(i) con u(pub)

= (u(i) x u(μ))_i

d

dt

∭_Rt p Dxi

dt

dv ⟶ dt = ∭_Rt p Dxi

Dt

dv (5)

Qdi posso confrontare la (4) con la (5)

∭_Rt p Dxi

Dt

dv = ∭_Rt pj

Oij

Oxi

dv ⟶ ∭_Rt pj

Oij

Oxi

dv = 0

Anche in questo caso la funzione integrando deve essere nulla.

p Dxi

Dt

- pj

Oij

Oxi

EQUAZIONE DI BILANCIO LOCALE DELLA QUANTITÀ DI MOTO

Il tensore delle tensioni x in fluido reale:

Oij = -p Oij + Gij ⟶ x un solido elastico

(Tenso cr. dei dei)

questa formulazione non va

pressione Kineofex Sforzi viscasi

Noi tratteremo solo i fluidi Newtoniani ⟶ sono comuni in natura (es: liquido gas etc.)

TENSORE DELLE DEFORMAZIONI

Oij = 2

sottraendo le：

Oij ⟶ =

Oxi

v è nulla x fluidi incomprimibili

viscoto dinamica del fluido ⟶ la consideriamo costante

La traccia di una matrice è la somma dei componenti degli elementi sulla diagonale principale

Dato che la traccia di o = 1

Oij

O1

O2

e 3 ⟹ la traccia di 2ij è zero

\sommando non sui\> di tutti gli elementi diagonale restano suoi\>

⭭

d

Oxi

= μ⟶ i dixi + μ

d

Oij

Oxi

- 2

3

μ d

Oxi

= μ⟶ i d∧ i + μ

d ∧i

3Oxi Oxi

= μ dᶡi ⟶ Oij + ἀ

dOxi Oxi

p(T) = p(To) + ∂p/∂T (T-To) + ... -> qui ci sono un termine dell’ordine di (T-To)² che però trascuriamo

termine costante

termine lineare

Lo si usa se puoi divento il processo del moto del fluido T-To << 1 da cosi va bene scrivere (T-To).

To può essere piccolo, di ogni punto. Conviene scegliere To come un media della temperature del fluido, cosi però non basta, bisogna che dT del fluido in ogni punto non si discosti molto da To.

p(T) = p(To) + β p(To) (T-To) -> perché la derivate idonita calcolata rispetto a To è il parte m

β = (1/ρ)_p (∂p/∂T)_p

coefficiente di dilatazione termico isobano

dice di quanto un fluido si dilato/comprime in seguito ad una variante di T

ρ perché se ΔT è (±) e Δp è (±)

⇒ ρ = ρo [1 +β (T-To)] eq di stato geoisostatico a 1 in caso di processo isobano.

Tipo di processo isobano, non ha conseguenze solo sul eq di stato ma

influenza anche dE l’odefferential della energia interna specifica.

per un gas perfetto è semplice perché dE = c_v dT

⇒ per un gas perfetto dE = c_p dT

β = ** **

L’energia specifica dipende solo dallo T, per gli altri fluidi no: e cosi!!

M un liquido grevico lo stato di eq stollob è inscarcambe rinavadicuto

dal coppio (T, μ) specifica pressione pure (T, p)

Casi puoi dire che (T, P) può determinate quiodiano proprietà del

fluido in eq stollob % b-esempio: energia interna specifica del fluido E=E(p, T)

È pero il processo e isobaro p(T) = p(T1) ⇒ E = E (T, μ, p(T) ) il presgio interio spocifica è determitivo in modo unmerco dallo sola T cioè α E=E(T)

г siamo sempre perchè di un fluido qualsiasi

⇒dE = CdT (× fluido qkeroico)

Lǎ apopriuno propioleto del fluido che legal in modo grossco è con T

Tutte gli correddini sono rezunde solo perché abbuono fatto il tip. di procesu isobano per il quido p m

Dato che i processo è isobarico c = C (P: cost) ⇒ dE = (dE/dT)_P dt

c = dal α c_p perché c_p = (∂x/∂T)_p e dal

c_v poché c_V = (∂et/∂T)