Appunti di Termofluidodinamica

D D

condizioni al contorno: { ∂Ω = ∂Ω ∪ ∂Ω

D N

⃗

⃗

⃗⃗

n ∙ ⃗

σ

⃗ = g⃗⃗ su ∂Ω

N N

⃗

⃗(x⃗⃗, ⃗

⃗

)

{ condizione iniziale: U t = U in Ω

0 0

Il numero di incognite è maggiore del numero di equazioni, pertanto il problema non è risolvibile, infatti:

Numero equazioni: 4 (3 equazioni conservazione Q.D.M [x, y, z] + 1 equazione conservazione massa scalare)

T

⃗

⃗ ⃗

⃗

⃗

⃗

Numero incognite: 10 [3],

(U p [1], ⃗

σ

⃗ = (σ

⃗

⃗ ) [6 (matrice simmetrica)]) ⃗

⃗

σ

⃗

⃗

Per poter chiudere il problema, cioè avere numero equazioni = numero incognite, si deve poter esprimere

⃗

⃗, ⃗

⃗, ⃗

⃗, ⃗

⃗),

in funzione di e/o derivate di ciò equivale ad introdurre una relazione

U p U p (∇ ⊗ U ∇p, ∇ ∙ (∇ ⊗ U … );

⃗

⃗ ⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗, ⃗

⃗,

costitutiva per ⃗

σ

⃗ (funzione tensoriale ):

⃗

⃗ = ( , ⊗ … )

La forma della relazione costitutiva può essere limitata usando i seguenti principi:

- Principio di azione locale:

La risposta del fluido a sollecitazioni esterne nel punto dipende solo dal moto in un vicinato di ; si

x⃗⃗ x⃗⃗

escludono quindi le forze di volume, che agiscono a distanza, dall’equazione. Inoltre la dipendenza dalla

+

+ +

legge di moto può essere approssimata dal gradiente trasposto della legge di moto :

x⃗⃗ x⃗⃗ =

( )

- Isotropia:

La risposta del fluido a sollecitazioni esterne è indipendente dall’orientazione della particella di fluido: Ciò

⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗

significa che la dipendenza da può essere rimpiazzata da , che è invariante rispetto alla rotazione

( )

DOCENTE: Lorenzo Alessio Botti APPUNTI: Cristiano Rollo 1066058 ANNO CORSO:2020/2021

⃗⃗

⃗

⃗

Il determinante di è legato alla densità , infatti dall’equazione di conservazione della massa si ottiene:

F ρ

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

+ + +

∫ ρdV = ∫ ρ dV = ∫ ρ(x⃗⃗ (x⃗⃗ , t)) det (F ) dV = ∫ ρ (x⃗⃗ , t) det (F ) dV ⇨ ρ = ρ det (F ) ⇨ = ( )

0 0 0 0 0 0 0 +

+

Ω Ω Ω Ω

0 0 0 ⃗⃗

⃗⃗

Poiché è noto, è possibile sostituire la dipendenza da non voluta, in quanto non si vuole la

ρ det (F ),

0 +

dipendenza dalla legge di moto con una di che, per un fluido comprimibile, equivale alla pressione :

, ρ p

⃗

⃗ (⃗⃗) ⃗

⃗ (()⃗⃗) ⃗

⃗ (−()⃗⃗)

⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗

= = [per fluidi incomprimibili, invece, p non è funzione di ρ]

- Oggettività:

La risposta del fluido a sollecitazioni esterne deve essere indipendente dal sistema di riferimento che si

T

⃗⃗ ⃗⃗⃗+∇⊗U

⃗⃗⃗

∇⊗U

⃗

⃗ ⃗

⃗

⃗

⃗

⇨

utilizza per descriverla Si esclude la dipendenza di da in favore di , in quanto oggettivo

⃗

σ

⃗ ∇ ⊗ U S = 2

⃗

⃗ (⃗⃗) ⃗

⃗ (⃗⃗) ⃗ ⃗⃗ (⃗⃗)

⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗

La funzione , per essere oggettiva, deve quindi essere nella forma

= ∅ + ∅ + ∅

:

⃗⃗

⃗

⃗

Dove sono funzioni scalari degli invarianti di

∅ , ∅ , ∅ S

⃗⃗

⃗

⃗

Gli invarianti di sono gli invarianti rispetto alla rototraslazione del sistema di riferimento, in particolare:

S

⃗⃗) ⃗

⃗

(

I = TR S = ∇ ∙ U

1 2

⃗ ⃗ ⃗

1 ⃗ ⃗ ⃗

( )) ( )

(

I = TR S − TR S ∙ S

2 2 ⃗

⃗

( )

I = DET S

{ 3 ⃗⃗

⃗

⃗

Notare che, dei tre invarianti, soltanto il primo è lineare rispetto alla dipendenza dalle componenti di S

⃗⃗

⃗

⃗

Le funzioni scalari devono quindi essere tutte funzioni degli invarianti di

∅ , ∅ , ∅ S ∅ , ∅ , ∅ = ∅ ( , , )

:

0 1 2

- Fluido newtoniano: ⃗

⃗ ⃗⃗

⃗

⃗ ⃗

⃗

Considerare un fluido newtoniano introduce un’ulteriore restrizione: funzione lineare di ciò significa:

G S

;

⃗

⃗

∅ = Funzione lineare di ∇ ∙ U

0

{ ∅ = Costante

1 = 0

∅

2 (⃗⃗) )I⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

⃗

⃗ ⃗⃗

⃗

⃗

Per un fluido newtoniano si ottiene quindi: (

= ∅ + ∅ S = ∙ I + S

⃗ ⃗ ⃗

⃗

⃗ ⃗ ⃗

⃗

⃗ ⃗

La relazione costitutiva può essere quindi scritta come:

⃗

⃗ = + ∙ − ()

⃗⃗ ⃗

⃗⃗ ⃗

⃗ ⃗

− ( )

+ ∙ = Contributo viscoso dovuto alla deformazione della particella di fluido

⃗

⃗

− (−()

) = Contributo elastico dovuto al tentativo di variare la particella di fluido

Dove rappresentano il primo e il secondo coefficiente di viscosità

μ, λ

DOCENTE: Lorenzo Alessio Botti APPUNTI: Cristiano Rollo 1066058 ANNO CORSO:2020/2021

⃗⃗ ⃗⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

Per flussi incomprimibili è ininfluente ( , pertanto si può scrivere:

λ ∇ ∙ U = 0)

⃗

⃗ = −

⃗⃗

⃗

⃗

- = Tensore velocità di deformazione

S Moltiplicatore di Lagrange del vincolo di divergenza nulla [vincolo di incomprimibilità]; per un fluido

p

- =

incomprimibile non è funzione della densità (la densità è solo trasportata)

E’ quindi possibile riscrivere le equazioni di N-S per un fluido incomprimibile, in forma differenziale, come:

⃗

⃗

Equazione di conservazione della massa: ∇ ∙ U = 0 DU ⃗ ⃗

⃗ ⃗

(fluido

Equazione di conservazione della Q. D. M newtoniano): ρ = ∇ ∙ ( −

) + ρf

V

Dt

⃗

⃗

U = g⃗⃗ su ∂Ω

D D

Condizioni al contorno: { ⃗

⃗

⃗⃗

n ∙ ⃗

σ

⃗ = g⃗⃗ su ∂Ω

N N

⃗

⃗(x⃗⃗, ⃗

⃗

)

{ Condizione iniziale: U t = U

0 0

Il sistema presenta ora 4 equazioni in 4 incognite, pertanto il problema è chiuso!

DOCENTE: Lorenzo Alessio Botti APPUNTI: Cristiano Rollo 1066058 ANNO CORSO:2020/2021

6. LEZIONE 6:

6.1 MODELLIZZAZIONE NUMERICA DELLA TURBOLENZA DI TIPO RANS: ⃗

⃗ ⃗

⃗⟩ ′

La modellizzazione RANS si basa sull’idea di introdurre la decomposizione di Reynolds nelle

⟨

( = +

⃗

⃗ )

equazioni di Navier-Stokes, ottenendo le cosiddette “RANS-EQUATIONS”. Le equazioni RANS si utilizzano

principalmente nel contesto di flussi statisticamente stazionari: Questo significa che è possibile interpretare

la media come una media in tempo: t+T

1

⃗

⃗⟩ ⃗

⃗⟩ ′

⟨U ⟨U )dt′

Operazione di media in tempo: = = ∫ U(t

T T t

Per un intervallo di tempo sufficientemente grande la media in tempo tende alla media statistica:

T (T → ∞)

⃗

⃗(⃗⃗, ⃗

⃗⟩

⟨ (⃗⃗)

) = +

⃗

⃗′(⃗⃗, )

Quando si vogliono applicare le RANS a flussi statisticamente non stazionari si parla di URANS: Anche in

questo caso è possibile interpretare la media come media in tempo, ma l’intervallo di tempo su cui viene

̅

fatta la media deve essere scelto accuratamente, in particolare deve rispettare la relazione: ≪ ≪ :

̅

[ = Tempo caratteristico turbolenza; = Tempo caratteristico instazionarietà del campo di velocità medio]

T T

c

⃗

⃗(⃗⃗, ⃗

⃗⟩

⟨ (⃗⃗,

) = ) +

⃗

⃗′(⃗⃗, )

Si noti che la media in tempo dipende anche dal tempo a causa dell’instazionarietà campo di velocità medio

Nell’ambito della modellizzazione numerica è possibile dare alle medie l’interpretazione che si desidera. Si

può quindi immaginare di conoscere la PDF (Probability Density Function) e definire come la media

⟨U⟩

statistica. L’obiettivo è ottenere un sistema di equazioni dove le medie delle grandezze fisiche sono le

variabili per cui si risolve [in pratica non si devono calcolare le medie delle grandezze in quanto sono

l’output della simulazione]

Perché si vuole introdurre nelle equ. di N-S la decomposizione di Reynolds e risolvere per le quantità medie?

1) Soltanto le quantità medie sono deterministiche [le altre quantità sono molto sensibili al dato iniziale]

2) Le medie sono spesso le uniche grandezze di interesse dal punto di vista ingegneristico

3) Si vuole ridurre il costo computazionale evitando di modellizzare tutte le scale spaziali e temporali

DOCENTE: Lorenzo Alessio Botti APPUNTI: Cristiano Rollo 1066058 ANNO CORSO:2020/2021

Le equazioni RANS si ottengono introducendo la decomposizione di Reynolds nelle equazioni di N-S; in

particolare si procede mediando l’equazione e introducendo la decomposizione di Re in essa (o viceversa)

⃗

⃗

VINCOLO DI INCOMPRIMIBILITA’: [ ]

∇ ∙ U = 0

⃗

⃗⟩

- Si media l’equazione: ⟨∇ ∙ U = 0 ⃗

⃗⟩

- Si sfrutta il fatto che medie e derivate spaziali/temporali commutano: ⟨U

∇ ∙ = 0

⃗

⃗⟩ ⃗

⃗⟩⟩ ⃗

⃗⟩

+

- Introdurre la decomposizione di Reynolds non modifica l’equazione, infatti: ⟨⟨ ⟨⟨U ⟨u ⟨

+

⃗

⃗′⟩ = ⃗⃗′⟩ =

Per l’equazione di continuità si è quindi raggiunto l’obiettivo, infatti si ha come variabile la velocità media

⇨