Appunti di Termofluidodinamica

Appunti FDT [Fluidodinamica turbolenta]

Docente: Lorenzo Alessio Botti Appunti: Cristiano Rollo 1066058 Anno corso: 2020/2021

1. Lezione 1

Il corso ha come obiettivo l’individuazione di modelli che rendano praticabile la simulazione della turbolenza.

La turbolenza è un fenomeno complesso, difficile da simulare con codici di calcolo (alto costo computazionale).

Si parla di sindrome della turbolenza associata ai seguenti sintomi/fenomenologia:

• Disordine / Caos.
• Fenomeni di miscelazione particolarmente efficaci.
• Vorticità tridimensionale: Vettore vorticità evolve in 3 dimensioni spaziali (diversamente da caso laminare).
• Molteplicità di scale spaziali e temporali: Il flusso turbolento evolve su molteplici scale nello spazio e nel tempo, con vortici di dimensioni paragonabili a quelli della geometria su cui impatta il fluido e vortici più piccoli che brulicano al loro interno; temporalmente, i primi perdurano per lungo tempo mentre i secondi si distruggono velocemente.
• Lungo processo di cascata dell’energia dai grandi vortici verso i piccoli vortici.
• Numero di Reynolds sufficientemente grande (Re regola il passaggio di moto da laminare a turbolento).

1.1 Cascata dell’energia

I grandi vortici hanno dimensioni confrontabili alla dimensione caratteristica delle strutture geometriche che li generano e si instabilizzano, frammentandosi in vortici sempre più piccoli (il moto si trasferisce dai vortici di grande scala ai vortici di scala sempre più piccola).

Il meccanismo di trasferimento del moto, dai grandi ai piccoli vortici [Eddy] in cascata, interessando tutte le scale di moto, è una prerogativa di ogni flusso turbolento. La separazione tra le scale di moto è tanto più netta quanto più il numero di Reynolds è elevato: Ogni flusso, per un numero di Reynolds sufficientemente grande, diventa turbolento.

Il numero di Reynolds è il parametro fondamentale per l’innesco della turbolenza: ′ (termine forze d inerzia σ convettivo) )Re = = , con σ(… = ordine di grandezza(termine forze viscose σ diffusivo).

Tutti i termini che compaiono nel bilancio di quantità di moto hanno le dimensioni di una forza, in quanto il [⃗ bilancio di Q.D.M. è la seconda legge di Newton per una particella di fluido in moto euleriano ⃗⃗]=⃗⃗ ⃗⃗).

Termine Convettivo: ρU ∙ GRAD(U dV - ∫V ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

Termine Diffusivo: ∇ ∙ τ⃗⃗ dV = DIV (2μS ) dV - ∫ ∫V V

Dove: ⃗⃗τ⃗⃗ = Tensore degli sforzi viscosi per un flusso incomprimibile di un fluido newtoniano T ⃗⃗⃗)+GRAD(U⃗⃗⃗)⃗⃗ GRAD(U⃗⃗S = Tensore velocità di deformazione = 2[dominio V = Volume di controllo della regione contenente il fluido]

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Controllo dimensionale: kg m 1 kg m ⃗⃗⃗⃗⃗][dV] 3[ρ][U][GRAD(U) = m =3 2m s s s1 kg 1 kg m ⃗⃗⃗⃗ 3[∇ [dV]∙][μ] [S ] = m = 2m m s s s ⃗⃗ ⃗⃗)) ⃗⃗) ⃗⃗))σ (ρU ∙ GRAD(U ρ σ(U σ (GRAD(U ⇨ Re = = ⃗⃗⃗⃗ (S⃗⃗μ σ(∇ ∙) σ )⃗⃗σ (DIV (2μS))

Riscrittura dei termini convettivo e diffusivo in forma adimensionalizzata: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗)Ũ ⃗⃗) ̃(1)U = = σ ⇨ σ(U = σ (U U = U = Velocità caratteristica C CUC ⃗x⃗⃗⃗ ⃗⃗)(1) (x⃗⃗)x̃ = = σ ⇨ σ = σ(L x̃ = L = Lunghezza caratteristica C CL C ⃗⃗⃗⃗ ̃U U U U ⃗⃗ C C ⃗⃗⃗⃗))σ (GRAD(U = σ (S ) = σ ( ) = σ ( ) = x⃗⃗ ⃗⃗ LL x̃ CC1 1 1σ(DIV) = σ ( ) = σ ( ) = x⃗⃗ ⃗⃗ LL x̃ CcU CρU C L C ⇨ = =1 U Cμ L LC C ⃗⃗

L’equazione di conservazione energia cinetica si ottiene moltiplicando scalarmente per il bilancio Q.D.M: U2kg m m kgm ⃗⃗] ⃗⃗]Dimensionalmente: [F ∙ [U = = [UdM: POTENZA]2 3s s s

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗) ⃗⃗- Termine Convettivo: U ∙ (ρU ∙ GRAD(U = ρU ∙ GRAD(e⃗⃗) = Trasporto energia cinetica (per unità di volume)

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗)- Termine Diffusivo: U ∙ (DIV (2μS)) = DIV (2μS ∙ U − 2μ (S: S )

⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗Dove: (per e = energia cinetica per unità di massa; −2μ (S: S ) = dissipazione viscosa unità di volume)3 ⃗⃗ ⃗⃗ 2 ⃗⃗ ⃗⃗ (prodotto ε = 2μ (S: S) = 2μ ∑ S ≥ 0 [: = Prodotto di Frobenius tra due tensori → restituisce uno scalare)]i,ji,j=1

Si noti che il termine è sempre in quanto e sommatoria quantità positive elevate al quadrato :≥ 0 μ ≥ 0 ≥ 0.

Dal punto di vista energetico gli sforzi viscosi dissipano energia cinetica trasformandola in energia interna, aumentando quindi la temperatura del sistema [del fluido che si trova all’interno della regione di interesse].

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Dividendo per si ottiene ρ : ⃗⃗ (per U ∙ GRAD(e⃗⃗) = Trasporto di energia cinetica unità di massa) ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ (per −2 (S : S ) = Dissipazione di energia cinetica unità di massa)

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗)])σ(U ∙ [ρU ∙ GRAD(U Trasporto di energia cinetica ⇨ Re = = Dissipazione di energia cinetica ⃗⃗⃗⃗⃗⃗σ (U ∙ DIV (2μS))

Assiomi: ⃗⃗ ⃗⃗)1) Il termine è responsabile del trasferimento di moto tra le scale (dai grandi ai piccoli vortici) ∙ (⃗⃗2) Il termine è responsabile del trasferimento di energia cinetica tra le scale ⃗⃗) ∙ (

Il trasferimento di moto / energia cinetica è possibile solo se l’influenza degli sforzi viscosi / dissipazione viscosa è trascurabile: In altri termini, affinché il moto possa trasferirsi dai vortici di grande scala a quelli di piccola scala, gli sforzi viscosi devono essere trascurabili rispetto all’inerzia; analogamente, il termine di ⇨ trasporto dell’energia cinetica deve essere molto più grande del termine di dissipazione viscosa Re >> 1.

Questo spiega perché i flussi diventano turbolenti per Re >> 1: I grandi vortici non vengono dissipati, ma si ⇨ instabilizzano, generando vortici sempre più piccoli Si produce la “sindrome della turbolenza”: Vorticità tridimensionale; caos/disordine; miscelazione efficace…

La spiegazione del perché la separazione tra le scale (differenza tra vortici di piccola e grande scala) è sempre più netta al crescere di Re e di come si arresta il trasferimento del moto è stata fornita qualitativamente da Richardson nel 1922 e quantitativamente da Kolmogorov nel 1941 attraverso lo studio del fenomeno di cascata dell’energia.

Richardson

La turbolenza è composta da vortici di diversa dimensione l = lunghezza caratteristica del vortice][l l.

Vortici di dimensione hanno velocità caratteristica e tempo caratteristico l u(l) t = u(l)() μ.

Numero di Reynolds del vortice: = ; con = ρ.

L’idea è immaginare che la velocità del flusso sia data dalla sovrapposizione delle velocità di vortici di U scale differenti che coesistono le une sovrapposte agli altri; in altre parole si immagina che la velocità sia data U dalla somma di velocità caratteristiche dei vortici di dimensione che coesistono in un punto dello spazio u(l) l.

La dimensione caratteristica dei vortici di grande scala L e del flusso L sono confrontabili: ≅ 0 C La velocità caratteristica dei vortici di grande scala U = u(L ) e del flusso U sono confrontabili: ≅ 0 0 C Da questo ricava che il N° di Re dei grandi vortici e del flusso sono confrontabili: )( = ≅ =

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La cascata dell’energia continua fino a che il N° di Re associato al vortice è sufficientemente piccolo da fare in modo che la dissipazione viscosa dissipi efficacemente l’energia cinetica: La cascata si arresta quando i u(l)l vortici non riescono a sopravvivere abbastanza a lungo da instabilizzarsi [N° di Re del vortice: Re = ].

Ne risulta che la dissipazione viscosa è posta alla fine della cascata e inizia quando il N° di Re diviene ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ sufficientemente piccolo: Il tasso di dissipazione è determinato dal primo processo della ε = −2 (S: S ) sequenza della cascata dell’energia, cioè dal tasso di trasferimento di energia cinetica dai grandi vortici.

Volendo stimare, in termini di ordini di grandezza, l’energia cinetica dei grandi vortici, si può scrivere: 2 Energia cinetica dei grandi vortici = U 0 2 U U 0 0 2 ′Trasferimento di energia cinetica nell unità di tempo = = U =0t l 0 0.

Assumendo che tutta l’energia trasferita dai grandi vortici ai piccoli vortici venga dissipata alle piccole scale si ha: Il tasso di energia cinetica trasferito nell’unità di tempo [potenza] rappresenta anche il ≅ ⇨ primo processo di cascata dell’energia e quindi influenza il tasso di dissipazione; poiché la dissipazione avviene alla fine della cascata, ε rappresenta anche una stima della dissipazione: Tutta la potenza trasferita dai grandi vortici viene dissipata dai piccoli vortici ad opera della dissipazione viscosa ⇨ Dove: “≅” significa “ha ordine di grandezza confrontabile a” () =

Si noti che è indipendente da [N.B: Solo per Re sufficientemente grandi da avere un lungo processo di ε ⇨ cascata dell’energia Solo in questo caso si può avere netta separazione tra le scale (ordini di grandezza distinti) e si può dire di avere trasferimento di energia dai grandi vortici e dissipazione di energia dai piccoli] 1/21⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ε = 2 (S: S) ⇨ ε indipendente da significa: S ≅ ( )UL ⇨ Poiché , Re può essere aumentato riducendo Al crescere di Re i gradienti di velocità aumentano Re =

⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗N.B: Il termine non diventa mai trascurabile, anche se è molto piccolo, poiché tanto minore è ε = 2 (S: S) ⃗⃗⃗⃗ il termine di viscosità cinematica e tanto maggiori sono i gradienti di velocità [e quindi tanto maggiore è S].

Si ha una netta separazione tra scale dei vortici. Quindi, per Re sufficientemente grandi: {si ha un lungo processo di cascata dell’energia.

Grandi scale (energetiche) Scale intermedie (inerziali) Piccole scale (dissipative) ηL l0 Il lEI ID.

• Grandi scale [energetiche]: Posseggono la maggior parte dell’energia cinetica)u(l lI I.
• Scale intermedie [inerziali]: è sufficientemente grande da rendere gli effetti viscosi trascurabili Re = ⇨ rispetto agli effetti inerziali (forze d’inerzia dominano su forze viscose Trasferimento di moto inerziale).
• Piccole scale [dissipative]: Il Re è sufficientemente piccolo da far dominare gli effetti viscosi.

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l / l rappresentano la demarcazione tra scale energetiche-inerziali / scale inerziali - dissipative: EI ID 3u(l )EI.

• Il trasferimento di energia dalle grandi scale verso le scale intermedie è stimabile come: lEI 3u(l )ID.
• Il trasferimento di energia dalle scale intermedie verso le piccole scale è stimabile come: lID.

Poiché si sta assumendo che l’energia cinetica venga dissipata solo alle piccole scale dal termine dissipativo ) ) ) ( ( ( , il rapporto ha ordine di grandezza confrontabile a tutte le scale, cioè: ≅ ≅ 3)u(lI ≅ costante 3 3 3 ′Poiché: { ⇨ U ≫ U ≫ U ⇨ ≫ ≫ ⇨ L energia cinetica diminuisce con la scala lI EI I ID l ≫ l ≫ lEI I ID 2Da cui si conclude che grandi vortici posseggono la maggior parte dell’energia cinetica del flusso [con e = U ]0l lI.

Il tempo caratteristico dei vortici è calcolabile come ; dato che e che decresce più t(l) = ≅ costante l3u(l) u(l )I rapidamente di : Ciò significa che tanto più i vortici sono piccoli e meno sopravvivono u(l) ⇨ ≫ ≫

La cascata si arresta quando i vortici non sopravvivono abbastanza a lungo da instabilizzarsi (N.B: Analisi basata esclusivamente sull’idea che tutta l’energia trasmessa alle grandi scale è dissipata alle piccole scale).

L’analisi effettuata permette di trarre importanti conclusioni:

• Più i vortici sono piccoli, più sono lenti: Re >> Re >> Re > Re ≅ 1EI I ID η.
• Più i vortici sono piccoli, meno sopravvivono.

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1.2 Stima del costo computazionale di un flusso turbolento

La complessa descrizione della turbolenza porta alla necessità di studiare modelli che rendano praticabile la simulazione numerica del fenomeno [modello: astrazione concettuale di un fenomeno fisico, effettuata al fine di semplificarlo e renderlo trattabile dal punto di vista computazionale]. Tipicamente il costo computazionale della simulazione di un flusso turbolento è molto elevato in quanto si devono rappresentate tutte le scale spaziali e temporali. Il fenomeno è discretizzato in spazio e tempo, in particolare:

• Discretizzazione spaziale: Dimensione dominio di calcolo [L deve essere confrontabile alla dimensione caratteristica della geometria] Immaginando di discretizzare il dominio di calcolo con una griglia di calcolo, è possibile definire una spaziatura della griglia di calcolo [h deve essere confrontabile alla dimensione caratteristica dei ≅ piccoli vortici, altrimenti non si avrebbe una risoluzione sufficiente per descriverli] Il numero di elementi della griglia di calcolo può essere stimato come: [si noti = ( )l’elevazione al cubo, dovuta al fatto che l’analisi è in 3 dimensioni e che ogni dimensione ha uguali elementi].
• Discretizzazione temporale: La durata della simulazione deve essere un multiplo del tempo caratteristico dei grandi vortici Il passo di tempo della simulazione deve essere abbastanza piccolo da cogliere l’evoluzione piccoli vortici Il numero di passi in tempo può essere stimato come: =
• Costo computazionale: Il costo computazionale può essere stimato come: , dove il costo ∙ del singolo passo è proporzionale al numero di elementi della griglia di calcolo. Il costo computazionale complessivo della simulazione è quindi stimabile come: ≅ ( ) ∙ ≅

Nel corso verranno trattati metodi di modellizzazione di turbolenza che ne rendano praticabile la simulazione.

Docente: Lorenzo Alessio Botti Appunti: Cristiano Rollo 1066058 Anno corso: 2020/2021

2. Lezione 2

2.1 Analisi in numero d’onda dell’equazione di Burgers

L’analisi in numero d’onda dell’equazione di Burgers rappresenta l’analogo spaziale dell’analisi in frequenza di un segnale. L’equazione di Burgers descrive il moto di una particella che si muove con velocità u considerando gli effetti della diffusione a livello molecolare; l’analisi viene effettuata limitandosi ad un problema 1D che somigli il più possibile all’equazione di bilancio della quantità di moto.

Equazione di Burgers 1D su un intervallo :[0; L) = in un intervallo [; ) [ ; ] Con condizioni al contorno periodiche: () = (){ Con condizione iniziale: (; ) = ().

Dove: = Derivata materiale della velo.