Termofluidodinamica - Scambio termico convettivo

Termofluidodinamica e scambio termico convettivo

Trasporto di quantità di moto, energia e massa

Il trasporto molecolare all'interno dell'aria avviene attraverso convezione, diffusione molecolare e moto macroscopico. La convezione è un meccanismo di trasporto molto più efficiente rispetto alla diffusione, con tempi ridotti. In particolare, ci interessa il trasporto di energia per via convettiva, che è parte della meccanica dei fluidi o fluidodinamica.

Simbologia

L'operatore Nabla, indicato con ∇, è definito come:

∇ = _&xcy;, d_&yc; -> d_&xcy; (operatore Nabla)

Applicato a una quantità scalare come la temperatura:

∇T = dT/dx;₁ + dT/dx;₂ -> gradiente di T

Applicato a una grandezza vettoriale V:

∇⋅V = dV/dx + dV/dy -> divergenza di V

∇×V -> rotore di V (in questo caso non ci interessa)

Termofluidodinamica e scambio termico convettivo

Il trasferimento meccanico include energia, quantità di moto e massa. Interazioni come il trasporto molecolare avvengono all'interno del fluido attraverso convezione e diffusione molecolare. La convezione è un meccanismo di trasporto molto più efficiente rispetto alla diffusione, con tempi ridotti. In particolare, ci interessa il trasporto di energia per via convettiva, che è parte della meccanica dei fluidi o fluidodinamica.

Simbologia

L'operatore Nabla è definito come:

∇ ≡ \left( \frac{\partial}{\partial x_1}, \frac{\partial}{\partial x_2} \right) -> ∇_j = \frac{∂}{∂x_j} (operatore Nabla)

Applicato a una quantità scalare come la temperatura:

∇T = \left(\frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y}, \frac{\partial T}{\partial z} \right) -> gradiente di T

Applicato a una grandezza vettoriale V:

∇•V = \frac{\partial V_x}{\partial x} + \frac{\partial V_y}{\partial y} + \frac{\partial V_z}{\partial z} -> divergenza di V

∇xV -> rotore di V (in questo corso non ci interessa)

Convenzione di somma

∑_j=1³ V_jU_j = V_jU_j [si omette il termine sommatoria, suffissi indici ripetuti → notazione più compatta]. Gli indici ripetuti indicano lo stesso indice dei due vettori.

Teorema di Gauss / Teorema della divergenza

∮_S V⃗n⃗dS = ∫_V ∇⃗⋅V⃗dV

Integrale sulla superficie del contorno e integrale sul volume racchiuso dalla superficie.

Conservazione di massa e quantità di moto

Le equazioni locali (differenziali) sono:

_s(t) + ∇⃗⋅(ρu⃗) = 0

_∂ρui/∂t + ∇_i(ρu_ju_k) = V_iτ_ik + f_fk

Le equazioni globali (integrali) sono:

_B(t) ∫_S(t) d/dt ∫ ρBdV = 0

d/dt ∫ ρ_ikdV_P(t) = ∫ f_ikdV + ∫ τ_iki n_idS

Nota: ↔ i_k = T_ik = T_ki. Entrambe le forme esprimono lo stesso concetto con una diversa prospettiva.

Teorema del trasporto

Il teorema del trasporto è una generalizzazione della regola di Leibniz in più dimensioni:

d/dt (∫_V(t) ψdV) = ∫_V(t) ∂ψ/∂t dV + ∫_S(t) ψV⃗ndS

V(⃗u⃗) è la velocità sulla superficie _S(t) e dipende solo dal tempo. V è una funzione generica, che può essere scalare o vettoriale; in generale, ψ = ψ(x, y, z, t)⦓t può essere qualsiasi parametro locale, ma deve necessariamente includere il tempo. Se il volume non si deforma, il secondo termine scompare:

d/dt ∫_V ψ dV = ∫_V ∂ψ/∂t dV (caso particolare)

Teorema di derivazione sotto segno di integrale (Leibniz):

d/dt ∫_a(t)^b(t) ψ(x,t) dx = ∫_a(t)^b(t) ∂ψ(x,t)/∂t dx + ψ(b(t),t) b'(t) - ψ(a(t),t)