Termofluidodinamica - Scambio termico convettivo

TERMOFLUIDODINAMICA

SCAMBIO TERMICO CONVETTIVO

• Energia
• Quant. di moto
• Massa

Diffusione molecolare

Moto macroscopico

CONVEZIONE

Irraggiamento

* VI. TRAS. DEL CALORE

Convezione è meccanismo di trasporto molto + efficiente risp. alla diffusione (fumi caldi)

In particolare, ci interessa il trasporto di energia X via convettiva (fresp. quant. moto -> MECCANICA DEI FLUIDI / FLUIDODINAMICA)

SPIEGOLOGIA

• ∇ = ( ∂/∂x₁, ∂/∂x₂, ∂/∂z) -> ∇j = ∂/∂x_j (operatore Nabla)
• Applicato a quant. scalare (es. temperatura): ∇T = ( ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z ) -> gradiente di T
• Applicato a grandezza vettoriale V: ∇·V = ∂Vx/∂x + ∂Vy/∂y + ∂Vz/∂z -> divergenza di V
• ∇×V -> (in questo corso non ci interessa)

• Convenzione di somma

Si omette termine sommatoria suffissi uguali ripetuti (notazione più compatta).

Indici ripetuti = stesso indice dei 2 vettori.

• Teorema di Gauss / Teorema della divergenza

Integrale sulla superficie di contorno

Integrale sul volume racchiuso dalla superficie

Conservi massa e quantità di moto – Equazioni:

Locale (differenziale)

Globale (integrale)

Entrambe le forme esprimono lo stesso concetto cambia il punto di vista.

• Teorema del trasporto = generalizzazione della regola di Leibniz in +1 dimensione

V = funzione generica (può essere scalare o vettoriale);

In generale Ψ = Ψ (x, y, z, t)

Potenza delle forze (pot. meccanica):

_dW/_dt = ∫_Ω(t) ρf_k u_k dV + ∫_∂Ω(t) t_ik u_k n_i dS

• pot. forze di volume
• pot. forze di superficie

Potenza termica:

_dQ/_dt = ∫_Ω(t) ρΘ dV + ∫_∂Ω(t) q_k n_k dS

• pot. termica generata (x es. da reazione chimica)
• pot. scambiata con l'esterno attraverso la superficie

dovuto a normale positiva vs l’esterno,

la pot. termica scambiata con l'esterno

è positiva se è entrante nel sistema

Nel complesso:

_d/_dt ∫_Ω(t) (e + 1/2 u_k u_k) dV = ∫_Ω(t) ρu_k f_k dV + ∫_∂Ω(t) t_ik u_k n_i dS + ∫_Ω(t) ρΘ dV +

= ∫_∂Ω(t) q_k n_k dS

COEFF. SCAMBIO DI MASSA CONVETTIVO

Definito in modo analogo.

Flusso di massa molecolare [kmol/m²s]

Concentrazione volumica [kmol/m³] sulla superficie

Flusso di massa [kg/m²s]

(Legame tra le 2 eq. è immediato:

Formule del tutto analoghe a quelle di scambio termico convettivo

Facile studiare il flusso masso e pertanto del flusso di energia

COME SI DETERMINA h?

STRATO LIMITE

Quando corpo piano lambito da un fluido:

• Fluido viscoso → fluido a contatto con sup. solida (fermo) e nulla; lontano dalla sup. si ha flusso indisturbato (velocità = V∞)

Strato limite = regione in cui velocità del fluido è ≥ al 99% della velocità indisturbata (il fluido risente della presenza della parete solida)

Al aumentare di x, spessore strato limite aumenta

• Conv. massa -> _∂u/_∂x + _∂u/_∂y = 0

(continuità)

ordine di grandezza

poiché _∂u/_∂y = -_∂v/_∂x deve essere _U ~ _V (a 2 ord. di grandezza devono coincidere)

v ~ _ξ/_L

essendo _δ<<_L

All'interno dello strato limite, v è trascurabile rispetto a u

_∂u/_∂y ~ _U/ _δ

_U/_δ >> _U/_L => _∂u/_∂y >> _∂u/_∂x ~ _∂v/_∂y >> _∂v/_∂x

V in Y sub un piccolo spostamento rispetto turbare ine

transversale alle linee, X

= trasversale

posso semplificare gli sforzi viscosi:

_τxy = _τyx = µ(_∂u/_∂y + _∂v/_∂x) ~ µ _∂u/_∂y => Eq. di Newton

trascurabili

!

Stesso ragionamento fatto x le velocità si può fare x altre grandezze (temperatura e concentrazione):

_∂T/_∂y >> _∂T/_∂x ; _∂C/_∂y >> _∂C/_∂x

Ragionando sulle derivate seconde in modo analogo, si ha:

_∂²u/_∂y² >> _∂²u/_∂x² ; _∂²T/_∂y² >> _∂²T/_∂x² ; _∂²C/_∂y² >> _∂²C/_∂x²

(_δ²<<_L²)

RIASSUMENDO → EQR. DI STRATO LIMITE:

1. continuità → ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0
2. quant. di moto → u∂u/∂x + v∂u/∂y = -1/ρ∂p/∂x + μ/ρ∂²u/∂y²
3. energia → u∂T/∂x + v∂T/∂y = μ/cρ∂²u/∂y² + K/ρc∂²T/∂y²
4. specie chimica

• Ci sono analogie tra le equazioni 2), 3) e 4):
• Tutte e 3 contengono il termine diffusivo
• È possibile sfruttare queste analogie

ADIMENSIONALIZZAZIONE → utile x dare validità generale alle equazioni

• X̂ = X/L, Ŷ = Y/l
• L = lung. caratteristica del problema
• û = u/V, v̂ = v/V
• p̂ = p/ρV²
• (ρV² = pressione dinamica)

• sforzo tangenziale di parete:

τ_s = μ_l (∂U/∂y)_y=0 = (μV/L) (∂ū/∂ŷ)_ŷ=0 = (μV/L) ∂/∂ŷ F_u (x̂, 0, Re, Π)

In questo caso non si divide τ_s per μV/L (non ha sens. fisico particolare)

τ_s / (ρV²/2) = (μV/L) / (ρV²/2) ∂/∂ŷ F_u = (2μ/PVL) ∂/∂ŷ = (2/Re) ∂/∂ŷ F_u = C_f (coefficiente di attrito)

1. Fin qui abbiamo visto valori locali —> integrando su X (su tutta la lunghezza della lastra piana) e dividendo per L —> si ottengono i valori medi di gruppi adim.:

Nu = h_L L / k —> Nu = 1/L ∫₀ Nu dx = ∫₀ Nu (x/L) d(x̂) = ∫₀¹ Nu dx̂

1/k (∂T/∂y) (x, 0, Re, Pr, E_C, Π)

—> integrando in x̂, scompare la dipendenza da x̂ (e da (x̂))

—> Nu = G₁ (Re, Pr, E_C)

—> Per avere un'idea del coeff. di scambio termico bisogna valutare Reynolds, Prandtl & Eckert

Analogamente Sh = h_mL L / D_sc = 1/L ∫ Sh dx = ∫₀¹ Sh dx̂

—> Sh = G_p (Re, S_c) —> per avere un'idea del coeff. di scambio di massa bisogna valutare Reynolds & Schmidt

‼Tutte queste conclusioni sono dovute solamente ad un'analisi delle equazioni (e dei fenomeni fisici da esse rappresentati), senza cercare di risolverle!

[Ci interesseranno i principi generali che “stanno dietro” alle equazioni]