Teoria, Tecnica 3

FLESSIONE SEMPLICE ALLO SLU

Ipotesi:

- Stress block per il calcestruzzo compresso

Elasto plastico perfetto senza controllo per l’acciaio

-

- Crisi per schiacciamento del calcestruzzo compresso

- Armatura tesa snervata

La normativa NTC 08 ci dà dei limiti per le sezioni inflesse:

Se mettiamo il minimo di armatura previsto, allora l’armatura sarà sicuramente snervata. Lo dimostreremo in

un’altra lezione.

SEMPLICE ARMATURA

VERIFICA

DOPPIA ARMATURA



Ipotesi aggiuntiva entrambe le armature snervate



Altrimenti

DIMOSTRAZIONE FLESSIONE RETTA ALLO SLU

Completiamo quello che abbiamo iniziato la volta scorsa sulla flessione retta. Avevamo ottenuto una

formuletta: 0,8 X

y= h (ω-ω’)= c

Poi avevamo imposto un limite della normativa: c’era l’ipotesi di armatura snervata, ma

Avevamo detto che alla base del procedimento per determinare X c

il limite di normativa si soddisfava l’ipotesi che ci portava

avevamo anche detto che implicitamente rispettando

a questa equazione, dobbiamo dimostrare questa considerazione.

Sfruttiamo le due equazioni su scritte. La prima la possiamo scrivere anche come:

possiamo ricordarci che:

Anziché scrivere (ω-ω’)

E scrivere quindi al suo posto

Si ottiene quindi:

Da questa seconda equazione poi se noi imponiamo il segno di uguaglianza e ci riferiamo solo alla limitazione

superiore, troviamo: dell’asse neutro quando si impone la crisi del calcestruzzo compresso per

Si ottiene che la posizione

schiacciamento e armatura tesa snervata è funzione della classe di resistenza del calcestruzzo. E allora al

variare della classe noi otteniamo:

Noi dobbiamo dimostrare che l’aver imposto questa limitazione vale a dire che l’armatura è snervata.

Disegniamoci con riferimento alla sola retta di deformazione la posizione dell’asse neutro che corrisponde

allo snervamento dell’armatura tesa.

Quando invece siamo nella condizione di crisi, che varia a seconda della classe del calcestruzzo, otterremo

una retta di deformazione con una profondità dell’asse neutro che è più piccolina:

FLESSIONE RETTA COMPOSTA O PRESSOFLESSIONE RETTA

Vediamo cosa succede quanto intervengono contemporaneamente momento e anche sforzo normale.

Anche qui vediamo il problema da due punti di vista:

- Formule semplificate che non fanno uso delle regioni di rottura

- Dominio del momento ultimo semplificato

1.Formule semplificate

Quali ipotesi poniamo alla base del nostro calcolo:

1. Stress block per il calcestruzzo compresso

Elasto plastico perfetto senza controllo per l’acciaio

2.

3. Crisi per schiacciamento del calcestruzzo compresso

4. Armatura tesa snervata

Sezione parzializzata (l’asse neutro taglia la sezione)

5.

L’ultima ipotesi afferma che è improbabile che nei pilastri l’asse neutro vada –

a finire a + o infinito come

accade nelle regioni di rottura 1 e 6.

Rispetto a prima cambia che l’ipotesi di armatura snervata la imponiamo ora ma poi la dovremo verificare.

Nella pressoflessione non basta soddisfare il limite normativo di armatura come accade invece nella flessione

semplice. 

Limite di normativa armatura Se noi rispettiamo il limite non è detto che

l’ipotesi venga soddisfatta

Alla fine andrà anche verificato che la sezione sia parzializzata, anche se è quasi certo che lo sia.

C’è una differenza ulteriore rispetto al caso della flessione, se A =A’ l’ipotesi di entrambe le armature

s s

snervate può continuare a esistere. Nella flessione invece, se le due armature fossero uguali vorrebbe dire

che l’armatura a compressione non potrebbe mai essere snervata altrimenti non ci sarebbe l’eq. alla

traslazione. Lo sforzo normale nei pilastri tende a ridurre la duttilità.

Determinato Xc dalla formula dell’eq. alla traslazione, prima di passare al momento ultimo si devono verificare

le ipotesi 4 e 5.

Eq. alla rotazione rispetto al baricentro geometrico (G)

E queste sono le formule semplificate con le quali fare verifica, progetto o semiprogetto di una sezione

pressoinflessa senza ricorrere alle regioni di rottura. Vediamo ora come costruire in modo semplificato il

dominio ultimo. =A’

DOMINIO ULTIMO, CASO SEMPLICE DI ARMATURA SIMMETRICA (A )

s s

Per il caso di semplice armatura basta disegnare il dominio M-N solo nei primi due quadranti,negli altri due

quadranti sarebbe esattamente speculare. Questo metodo si basa

solo sull’individuazione di 5 punti del dominio.

PUNTO A (TRAZIONE SEMPLICE) PUNTO B (COMPRESSIONE SEMPLICE)

Il cls non reagisce a trazione.

PUNTO C (FLESSIONE SEMPLICE) PUNTO D

Lo calcoliamo in modo molto semplificato, considerando è quel punto che avrà lo stesso momento di C ma dovrà

solo il contributo delle due armature, trascurando il contributo del cls avere uno sforzo normale Nd diverso da zero.

che avrebbe ridotto il braccio della coppia interna, Noi dobbiamo aggiungere qualcosa allo stato di

sollecitazione che c’era nel punto C

per cui più o meno si sarebbe giunti alle stesse conclusioni. che però faccia in

generi un po’ di sforzo normale.

modo che si

PUNTO E

Sarà quel punto che ha uno sforzo normale N pari a N /2,

E D

avrà un mom. ultimo diverso che dovremmo calcolarci. La costruzione prevede di unire i 5 punti con una spezzata, questa operazione è lecita

xk sappiamo che il dominio della pressoflessione è un dominio convesso.

La nostra spezzata è un qualcosa che va sempre a vantaggio di statica.

Solo che voler andare a costruire tutto il dominio significa o utilizzare la procedura con le regioni

di rottura oppure significa usare gli abachi che sono sui libri di testo.

Invece se uno al volo non vuole perdere molto tempo con un calcolo che richiede

5 minuti riesce a ottenere 5 punti con cui ottenere questo

Dominio ultimo semplificato

≠A’

DOMINIO ULTIMO, CASO ARMATURA ASIMMETRICA (A )

s s PUNTO A’

Se noi supponiamo che l’armatura è più piccola

dell’armatura tesa, siamo a trazione

Visto che i due sforzi non sono uguali,

nascerà un momento che tende le fibre

Inferiori.

PUNTO B’

I punti C,D ed E che fine fanno? Si può usare una semplificazione di questo diagramma. Se noi congiungiamo con una

retta i punti A’ e B’ questa retta intersecherà l’asse delle ascisse proprio in N , e quindi individuati A’ e B’, tracciamo la

E

della pressoflessione retta e lo ruotiamo dell’angolo che ci interessa. Lo stesso si conserva

retta, prendiamo il dominio

al variare del rapporto tra armatura tesa e armatura compressa. Quindi tutte le rette che uniscono i punti estremi della

trazione e della compressione centrata appartengono al fascio dove il polo è rappresentato da N . E quindi la

E

costruzione di questi domini ultimi anche nel caso di armatura asimmetrica è molto semplice perché basta trovare le

posizioni di A’ e B’, prendere il dominio della sezione simmetrica e ruotarlo quanto serve.

FLESSIONE DEVIATA SEMPLICE O COMPOSTA

Distinguiamo quello che succede per gli SLE e per gli SLU. Cominciamo con il caso più semplice, flessione

deviata semplice.

Impostiamo cosi il problema. Consideriamo la classica sezione rettangolare con gli assi principali X e Y. Nel

caso della flessione deviata l’asse vettore del momento esterno non coincide con uno dei due assi principali

della sezione. E conseguenza di ciò è che l’asse neutro non è perpendicolare all’asse di sollecitazione.

Se il mom.della flessione deviata lo decomponiamo nelle due aliquote,

allora noi potremmo pensare di studiare la sezione una prima volta

solo sollecitata da M , e successivamente che venga sollecitata

Dx

solo da M , sommando alla fine i due contributi.

Dy

Questo nel nostro caso non è possibile, perché questo

ragionamento vale solo per materiali omogenei e isotropi.

Perciò la flessione deviata non può essere studiata analizzando

separatamente le due flessioni rette.

po’ più in generale.

Il problema va impostato allora in modo un

n-n ed s-s non sono perpendicolari

In questo caso le due armature vanno considerate come singole barre

con la loro posizione, perché in questo caso non ho più un lembo e

sicuramente le singole armature saranno sollecitate in modo

diverso.

Per cui se ci fossero armature di perimetro, io dovrei dare per

ognuna di loro la corretta posizione.

Quali sono le incognite nel problema che ho impostato?

1) Direzione asse neutro

2) Posizione asse neutro

3) Tensioni CLS/acciaio [SLE], ovviamente

l’incognita è una sola perché nota una tensione con

la similitudine dei triangoli si ricavano le altre

[SLU] (siamo in flessione semplice, non c’è

4) M

U lo sforzo normale)

Abbiamo quindi tre incognite da determinare,

quali equazioni abbiamo a disposizione?

 EQ. ALLA TRASLAZIONE (SN =0, )

sommatoria degli sforzi normali interni

i Questa equazione quando lavoriamo in esercizio

a cosa corrisponde?

Corrisponde a dire che il Mom.Statico rispetto

all’asse neutro è uguale a zero.

 (attorno all’asse di sollecitazione)

EQ. ALLA ROTAZIONE

 (attorno all’asse

EQ. ALLA ROTAZIONE neutro)

Almeno sulla carta il problema sembra risolto, perché noi abbiamo tre incognite e tre equazioni. In realtà il

problema è un po’ più complicato perché anche in esercizio l’ipotesi di diagramma delle tensioni lineari non

è detto che sia verificato in modo esatto e sicuramente non lo è allo SLU. E quindi in generale e il problema

è un po’ difficile perché abbiamo da risolvere un sistema di tre equazioni dove c’è un termine integrale e che

in generale hanno una legge non lineare, perché la varia con legge non lineare.

Si ricorre ad un approccio Iterativo, che cambia a seconda della verifica che dobbiamo fare, stavolta quindi

dobbiamo essere un po’ più precisi e distinguere SLE e SLU. (l’argomento ora affrontato potrà essere discusso

solo alla prova orale)

SLE fissare una direzione di tentativo dell’asse neutro n

Primo passo, -n . Possiamo scegliere un qualunque

1 1

valore, però ci dobbiamo ricordare che se partiamo da un valore lontano ci metteremo un sacco a convergere

alla soluzione, per cui andrà scelto un valore della direzione prossimo a quello reale. In esercizio come asse

neutro conviene prendere quello che avremmo nel caso di sezione tutta reagente anche se sappiamo che

poi c’è parzializzazione. E allora c’è una procedura che sfrutta la conoscenza

dell’ellisse centrale d’inerzia. Nota l’ellisse e noto l’asse s-s,

individuo i due punti di intersezione 1 e 2, e in questi punti

traccio le tangenti all’ellisse centrale d’inerzia, queste due rette

mi daranno la direzione dell’asse neutro di tentativo.

(asse neutro per flessione deviata per sezione interamente reagente)

determinata la direzione bisogna valutare la posizione dell’asse n

Secondo passo, -n . Siamo in esercizio,

1 1

i diagrammi delle tensioni sono approssimativamente lineari, possiamo far uso della prima equazione

semplificata in S =0. Trovata la posizione andiamo al passo successivo.

n

Terzo passo, Verificare la direzione di tentativo di n -n . Se la direzione per quella posizione è quella giusta,

1 1

allora il Mom. Centrifugo deve essere pari a zero. (I =0)

ns

Se è ≠0 dobbiamo tornare al passo 1 e ripetere i passaggi. Mentre se è =0 proseguiamo col passo

successivo.

Quarto passo, calcolo delle tensioni con Navier.

SLU

Cosa cambia in questa procedura iterativa.

determinare la direzione dell’asse neutro, partiamo comunque dal metodo dell’ellisse centrale

Primo passo,

in mancanza d’altro, anche se considerare la sezione omogenea e isotropa in questo caso non sarebbe la

cosa migliore.

Secondo passo, per direzione assegnata dobbiamo trovare la posizione di n -n . Stavolta non possiamo più

1 1

usare la relazione S =0 perché i legami sono non lineari, ma dobbiamo scrivere la classica equazione di

n

equilibrio alla traslazione.

Terzo passo, Verifica della direzione di tentativo. Questa verifica può essere fatta in due modi diversi:

3A, procedimento grafico

Avendo fissato posizione e direzione, andiamo a determinare il punto di applicazione della risultante degli

sforzi di compressione (C) e il punto di applicazione della risultante degli sforzi di trazione (T). Se unisco i

due punti: Ottengo la traccia sul piano trasversale dell’asse di sollecitazione, che

per definizione deve essere ortogonale all’asse vettore del momento esterno.

che quest’angolo sia di 90°(verifica grafica),altrimenti

Devo verificare ritorno

al passo 1.

3B, approccio analitico

Noti posizione e direzione dell’asse neutro, possiamo calcolare M . Di questo mom. ultimo ci calcoliamo le

u quanto è inclinato l’asse vettore

aliquote secondo le due direzioni principali. In questo modo possiamo dire di

del M .

u β è invece l’inclinazione dell’asse vettore del

d momento esterno, ed è una quantità nota.

La direzione che noi abbiamo scelto è giusta se

β è uguale a β .

u d

Se usiamo l’approccio 3B non c’è il passo 4, poiché abbiamo già calcolato a monte M , usando 3A andrebbe

u

calcolato dopo (incognita mom. flettente allo SLU)

Entrambi gli approcci sono un po’ laboriosi, a risolvere gli integrali non ci siamo messi, a tentativi si potrebbe

andare se avessimo solo una sezione, ma fare per un edificio questo calcolo iterativo per calcolare il nostro

mom. ultimo è molto complicato.

Generalmente verifica e progetto si fanno utilizzando dei DOMINI ULTIMI, analoghi ai domini della

pressoflessione. (possono capitare agli esercizi di esame)

DOMINI ULTIMI DI FLESSIONE DEVIATA, parliamo solo ed esclusivamente di SLU

Costruiamo il dominio della flessione deviata solo in quadrante, supponendo che per simmetria negli altri

quadranti ci siano forme analoghe. Se suppongo che l’asse neutro è orizzontale, in pratica sto

e per me l’angolo a

calcolando il momento per la flessione retta M che

xu

quest’asse neutro forma con l’asse delle x è zero.

Analogamente per la direzione verticale.

Non stiamo studiando la flessione deviata come somma degli effetti delle singole flessioni, ma stiamo solo

studiando i casi in cui la flessione deviata degenera nella flessione retta quando l’asse neutro ha una

direzione orizzontale oppure verticale.

Ora ci occupiamo di capire come calcolare il generico punto in questo dominio nella flessione deviata. La

procedura poi vale per tutti gli altri.

dall’asse

a

Fissato un

neutro, cioè non fissiamo

una direzione bensì fissiamo

a.

proprio un valore di

La sez. poi è soggetta mom. esterno che indicherò

con Md. Il nostro obbiettivo è trovare M per poi

u

ricavare il punto del dominio. Ipotizziamo anche qui tutte

le armature snervate.

Lo sforzo risultante di compressione dello stress block non sarà applicato a Y/2, perché si riferisce ad una

figura che muovendoci parallelamente all’asse neutro nel primo tratto ha larghezza costante ma poi nel

secondo tratto ha larghezza variabile, quindi significa che Cc avrà un punto di applicazione ad una certa

ascissa da determinare.

avrà un punto di applicazione all’ascissa Z:

C c non devo far altro che scrivere l’eq. alla traslazione.

Per trovare la posizione di n-n

A questo punto mi posso trovare C e T e il loro braccio interno Z*.

Riprendendo il grafico ω

Dominio convesso, aumenta le dimensioni al crescere di

Vediamo ora un’applicazione di questo dominio ultimo.

VERIFICA A FLESSIONE DEVIATA ALLO SLU

I dati sono:

Si può fare la verifica in due modi, un metodo grafico e un metodo analitico

METODO GRAFICO

È molto semplice. Nota la percentuale meccanica di armatura mi è nota la curva. Vado a verificare che il

punto di coordinate M e M vada

xd yd

a cadere all’interno del dominio.

METODO ANALITICO Visto che questo dominio è un dominio convesso noi lo possiamo

Approssimare a vantaggio di statica con un andamento lineare di equazione:

La verifica è soddisfatta se vale

la diseguaglianza.

DOMINIO ULTIMO DELLA FLESSIONE COMPOSTA DEVIATA

Il dominio è una superficie, dobbiamo ragionare nello

spazio, solo in ottante, ma quello che c’è in quest’

ottante di sicuro non sarà simmetrico a quello

che avrò nell’ottante di sotto, dove ci sarà

trazione, e il CLS non reagisce a trazione.

Se mi pongo nel piano N=0, riporto la curva ottenuta

per la flessione deviata.

Se mi pongo in N-M :

X

Se mi pongo in N-M :

y

ω, ω.

È un dominio convesso associato ad un cresce al crescere di

Come lo costruiamo questo dominio? Sempre per punti, ma in questo caso non cerco i punti di una linea ma

ovvero col fissare un’inclinazione della retta nel piano M

a,

quelli di una superficie. Partiamo col fissare un -

X

M .

Y Dopodiché consideriamo un piano verticale

a

passante per questa retta di inclinazione

Questo piano è come se fosse un coltello che

taglia la nostra superfice con una certa curva .

Per poter definire questa curva dobbiamo determinare

alcuni punti che formano questa curva.

La curva tracciata è una curva di pressoflessione, si

costruisce con l’ausilio delle regioni di rottura

Fissando una generica

retta di deformazione, prima con polo

in un punto poi con un altro polo, a

ciascuna retta corrisponde un