Teoria sulle funzioni, appunti di Analisi I

Alcune basi su invertibile

insieme di p. (universo)

insieme di arrivo (universo di arrivo = codominio)

DIAGRAMMA A FRECCE

Ma se eu sono altre:

f : D ⊆ X → Y x ↦ y = f(x)

oppure

x ∈ D

∃!

y = f(x)

disponibile reverso unico

Funzione reale di variabile reale

es: f: [0, +∞) → ℝ x ↦ √x

es: f(x) = x² , x ∈ ℝ - D

• unione dei punti del piano cui hanno (x, y) con y = x²

• universe coppia ordinata (x, y) con x ∈ D e y = f(x)

{(x, y) ∈ R² : x ∈ D ∧ y = f(x)}

od su elemento dell'universo X corrisponde uno e solo elemento di Y

x deve essere un valore accettabile (insieme di valori acc.) = DOMINIO D = “dominio di ψ” = Dom (f)

D ⊆ X

i valori che sono associati agli elementi del dominio (le y) formano un

insieme = al codominio

ℑ = INSIEME IMMAGINE

RAPPRESENTAZIONE:

x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ

curva cartesiana grafico funzione (> cartesio: enceron)

Funzione patologica → ex funzione di Dirichlet

ψ(x) = { 1 se x ∈ ℚ 0 se x ∈ ℚ (non razionali)

ψ(x)

es: f(x) = x² , x ∈ ℝ

→ lato di un quadrato area del quadrato

Funzioni composte (funzione di funzione)

x

f(·)

f(x)

t

g(·)

g(t)

Funzioni

Alcune basi su invertibilità

insieme di partenza (universo)

insieme di arrivo o codominio (universo)

f

f: D ⊆ X → Y

x ↦ y = f(x)

oppure

diagramma a frecce

disposto verso destra

Funzione reale di variabile reale

es.: f: [0,+∞) → ℝ

x ↦ y = √x

es.: f(x) = x², x ∈ ℝ - multiple

insieme dei punti del piano (x, y) con y = x²

insieme coppie ordinate (x, y) con x ∈ D e y = f(x)

{(x,y) ∈ ℝ² : x ∈ D ∧ y = f(x)}

od ad un elemento dell'universo X corrisponde uno e un solo elemento di Y (funzioni monodrome)

y = f(x) y è funzione di x

x deve essere un valore ammissibile (insieme di valori amm. - dominio) D = "dominio di ψ" = dom (f)

la "f' " è la regola di calcolo (≠ funzioni, che contiene tutte le coppie!)

Dominio nominale (= dominio max compatibile con la regola di calcolo) → campo di esistenza

i valori che sono ammessi agli elementi del dominio (le y) formano un insieme ⊆ al codominio L -> insieme immagine

funzione patologica → es: funzione di Dirichlet

ϕ(x) = { 1 se x ∈ ℚ 0 se x ∈ ℚ (non razionali) }

es.: f(x) = x², x ∈ ℝ

→ lato di un quadrato - area del quadrato

funzioni composte (o funzioni di funzioni)

messa in serie dei dispositivi:

x → ϕ(x) → f(ϕ(x)) = (g∘ϕ)(x)

fluenzare composta

h(x) = g(ϕ(x)) = y

ln(x) = y

agli assi uno specifico delle dom e dei cod della fluenzia composta diventa quasi una fluenzia a sé

Propietá della composizione:

• ₃ = (ϕ₂ ∘ ϕ₁) = (ϕ₁ ∘ ϕ₂) ∘ ₁
• No commutatività: ϕ∘g ≠ g∘ϕ

Funzione iniettiva

ϕ: D → X ⟶ Y

ϕ é iniettiva se: ∀ x, x' ∈ D , x ≠ x', ⇒ ϕ(x) ≠ ϕ(x')

iniettività é una propietá globale

Funzione inversa

Data una funzione iniettiva in D

Esiste una funzione che ad un elemento dell'immagine associa solo quella?

∀ ⟶ ϕ^-1: ∋ ∀ x ∈ X

PROPRIETÀ:

ϕ^-1(ϕ(x)) = x ∀ x ∈ D

Inverso delle funzioni Trigonometriche

f(x) = sin(x) D = ℝ non é iniettiva

f(x) = sin(x) D = R

Non è iniettiva

x = f^-1(y) = arcsin (y)

y = arcsen (x)

NELL’INTERVALLO

∀ x ∈ [^-π/₂, π/₂] arcsin(sin(x)) = x

f(x) = cos(x) = y D [0, π], E [-1, 1]

f^-1(y) = arcos(y) = x

f(x) = arcos (x) D [-1, 1] E [0, π]

∀ x ∈ [0, π] arcos(cos(x)) = x

f(x) = tg(x) D [-π/₂, π/₂] E (-∞, +∞)

x = f^-1(y)

f(x) = artg(x) D (-∞, +∞) E [-π/₂, π/₂]

∀ x ∈ ]-π/₂, π/₂[ artan (tan (x)) = x

Risultati trigonometriche

Operare sulle funzioni:

• traslazioni verticali: f(x) + k
• orizzontali: f(x + k)
• dilatazione/compressione vert: k ψ (x), D k > 1
• parziale ribaltam per x: |ψ(x)|

Funzione suriettiva (sull'insieme Y)

ϕ è suriettiva se ϕ(D) = E = Y↳ sempre suriettiva sull'insieme IMMAGINE (anche se non posso definirlo a pezzi)

Funzione monotòna crescente/decrescente

ϕ : D ⊆ R → Rϕ è definita crescente in D se ∀ z' ∈ D ∀ z'' ∈ D , z' < z'' ⇒ ϕ(z') < ϕ(z'')decrescentex' > x'' ⇒ ϕ(x') > ϕ(x'')

MONOTÒNA

es.: ϕ(x) = ¹/_xD = (-∞,0) ∪ (0,+∞)

Nel dominio numerabile NON è monotònax' < x'' ⇒ ϕ'(x') < ϕ'(x'')ma ≠ decrescente⚠ attenzione a ragionare con la derivata (dà info su un locale)

TEOREMA:

Se ϕ(x) monotona in D ⇒ ϕ(x) suriettiva in Ddue: ∀ x' ∈ D ∀ x'' ∈ D , z' < z'' ⇒ ϕ(x') < ϕ(x'') ⇒ ϕ(z') ≠ ϕ(x')

controimplicazione sfalsa:controesempio: ϕ(x) = ¹/_x → torte retti orizz. → è suriettiva ma non monotòna

TOPOLOGIA (SULLA RETTA REALE)

Formalizzazione concetto di "vicinanza" di elementi in un insieme (numerici)

Concetto di INTORNO (intervallo aperto o semiaperto se x estremo)I_x = (a,b) = generico intorno di x se a < x < b↳ bilatero

U_{⟩ x} = (a,x⟩ - intorno sinistro - unilateroU^{⟩ x} = ⟨x,b) - intorno destro

intorno simmetrico se x = punto medio↳ semiampiezza dell'intorno ^δ/ _{> 0} I^δ(x) = (x-δ,x+δ) e I^+_δ = (x, x+δ)

PIÙ INFINITO E MENÒ INFINITO

Nuovi insieme ^R/₊ ∪ -∞ = ^R* = rette estese

si caledo dai limiti.. fa su reali estesi non su Rcon due singolarità → non olono uniformemente