Teoria statistica - seconda parte

Operazioni tra eventi

A' è l'evento che non appartiene ad A. Esso si indica con (o A') e l'evento A' che si verifica quando non si verifica A. A ∪ = S mentre A ∩ = ∅.

Dati due eventi (A, B), la loro unione A ∪ B è quell'evento "Almeno uno degli eventi A e B si verifica", cioè se si verifica A, se si verifica B o entrambi. L'operazione di unione si può anche definire inclusione (contenimento) tra eventi.

Dati due eventi (A, B) la loro intersezione A ∩ B è data dall'evento "Tutti e due gli eventi A e B si verificano contemporaneamente" ("e"). A ∩ B accade quando si verificano simultaneamente sia A che B, dal momento che è formato dagli eventi elementari in comune ad A e B, l'evento A ∩ B si può anche indicare con A e B mentre A ∪ B accade non soltanto quando si verificano simultaneamente sia A che B, ma anche quando si verifica uno soltanto dei due eventi; A ∪ B.

^∪ B si può indicare indifferentemente anche con A o B. L'unione si verifica quando si verifica almeno uno degli E_i mentre l'intersezione si verifica quando si verificano tutti gli E_i. Dati due eventi (A, B) ⊂ S sono detti incompatibili se A ∩ B = ∅. Ovvero quando il verificarsi di A esclude il verificarsi di B e viceversa. Gli eventi elementari sono sempre tra loro incompatibili poiché il verificarsi di uno esclude il verificarsi di tutti gli altri. Dati n eventi, E₁, E₂,..., E_n, essi sono detti esaustivi se Ụ E_i = S (uno degli n eventi si deve necessariamente verificare). Dati n eventi, E₁, E₂,..., E_n sono detti una partizione di S se sono incompatibili ed esaustivi, ovvero quando si deve verificare sempre uno ed uno solo di tali eventi, l'insieme degli eventi elementari è una partizione di S. Teoria della probabilità: In modo intuitivo la probabilità di un evento è il grado di certezza, su una scala da 0 ad 1, attribuito alverificarsi di tale evento: più è la probabilità è vicina a 1 più è sicuro che l'evento si verifichi; più la probabilità è vicina a 0 meno è sicuro che l'evento si verifichi. La teoria della probabilità ha un aspetto filosofico ed uno matematico. Vi sono tre teorie filosofiche: classica, frequentista e soggettiva. Teoria classica della probabilità: Definisce la probabilità di un evento come il rapporto tra il numero dei casi favorevoli al verificarsi dell'evento e il numero dei casi possibili, purché gli n risultati siano incompatibili e ugualmente possibili. P(A) = nA/n La definizione classica è basata su una conoscenza delle caratteristiche dell'esperimento indipendentemente dalla sua effettiva realizzazione. Tuttavia essa ha suscitato diverse critiche: - Circolarità della definizione: affermare che tutti i casi sono ugualmente possibili implica già una conoscenza della probabilità dell'evento. - Impossibilità di applicazione: in molti casi reali non è possibile determinare con certezza il numero dei casi possibili e dei casi favorevoli. - Assunzione di equiprobabilità: la definizione classica assume che tutti i casi siano equiprobabili, ma questa assunzione non è sempre realistica. Teoria frequentista della probabilità: Definisce la probabilità di un evento come la frequenza relativa con cui l'evento si verifica in un numero infinito di ripetizioni dello stesso esperimento. P(A) = lim(nA/n) Questa definizione si basa sull'idea che la probabilità di un evento sia determinata dall'esperienza empirica. Tuttavia, presenta alcune limitazioni: - Non è applicabile a eventi unici o rari. - Non fornisce una spiegazione per eventi che non possono essere ripetuti. Teoria soggettiva della probabilità: Definisce la probabilità di un evento come la misura soggettiva della credibilità o della fiducia che un individuo ha nell'occorrenza dell'evento. P(A) = [0, 1] Questa definizione si basa sulle opinioni e le percezioni individuali e può variare da persona a persona. Non è basata su una misura oggettiva o su dati empirici, ma riflette la soggettività dell'individuo. In conclusione, la teoria della probabilità offre diverse prospettive per comprendere e misurare la probabilità di un evento. Ognuna di queste teorie ha i suoi punti di forza e di debolezza e può essere applicata in contesti diversi a seconda delle circostanze e delle preferenze individuali.possibili significa dire che sono ugualmente probabili (non si può definire un concetto utilizzando se stesso).
• Non funziona quando S non è formato da eventi ugualmente possibili. Esempio: dado truccato
• La teoria classica non si applica a tutti quei problemi in cui la probabilità di un evento non può essere dedotta in base a un ragionamento deduttivo. Esempio: Qual è la probabilità che un bambino che nasce domani a Roma sia maschio?
Teoria frequentista della probabilità: Nell'approccio frequentista la probabilità di un evento viene stabilita in base all'osservazione empirica. In pratica ci si basa sulla frequenza relativa con cui l'evento si manifesta quando l'esperimento casuale viene ripetuto un numero abbastanza elevato di volte (sempre in condizioni uniformi).
P(A) = limN→∞ nA/n ; nA/n = frequenze relativa di A.
Nell'approccio frequentista la probabilità di un evento vienestabilità in base all'osservazione empirica. In pratica ci si basa sulla frequenza relativa con cui l'evento si manifesta quando l'esperimento casuale viene ripetuto un numero abbastanza elevato di volte (sempre in condizioni uniformi). Quello che conta è che si possa concepire una serie di osservazioni o esperimenti ripetuti in condizioni uniformi; allora può essere postulata l'esistenza di un numero P che rappresenta la probabilità che l'evento A si verifichi; P può essere approssimato dalla frequenza relativa di A in una serie di osservazioni o esperimenti ripetuti. La probabilità di un evento A è data dal limite della frequenza relativa di A quando il numero di prove tende a infinito. In teoria, per trovare la probabilità di un evento A (elementare o composto che sia) dovremmo effettuare l'esperimento casuale per infinite volte. Approssimazione di P(A) basata su un numero finito (l'approssimazione sarà tanto migliore quanto

più elevato è il numero delle prove.) Il limite di nA/ n non è mai conoscibile in concreto ci accontentiamo di prendere come approssimazione la frequenza relativa ottenuta su un numero finito di prove. L’esistenza del limite è solo postulata (cioè ipotizzata), ma non è dimostrata. In altre parole, non è dimostrabile che la frequenza relativa converga davvero alla probabilità. . .

Teoria soggettiva della probabilità: Le teorie classica e frequentista hanno una cosa importante in comune: richiedono entrambe un esperimento concettuale nel quale gli eventi possano verificarsi in condizioni piuttosto uniformi. La realtà comprende anche situazioni che non possono essere ricondotte a tale schema: esempio- Qual è la probabilità che il governo cada entro la fine dell’anno? Tali eventi vengono valutati comunemente come probabili o improbabili, ma non vi è nessuna speranza di stimare le loro probabilità osservando le frequenze relative.

Esempio. Scommesse sportive: una persona pronostica il risultato di un avvenimento sportivo futuro (o in tempo reale nella modalità live). Ad esempio, nel caso delle scommesse calcistiche a quota fissa, il bookmaker, per una data partita, fissa le quote per ciascuna squadra. Le quote sono stabilite in base alla probabilità di vittoria che egli ritiene di associare a ciascuna squadra. Le probabilità sono invece ricavate considerando le informazioni disponibili (conoscenza delle squadre, esperienza passata, particolare opinione personale, condizioni di forma dei giocatori, situazione di classifica, etc.)

La probabilità di un evento A è definita come il grado di fiducia che un individuo razionale attribuisce al verificarsi di un evento, in base alle informazioni di cui è in possesso. Per individuo razionale (o coerente) si intende un individuo che, nell'ottica di poter vincere 1, è disposto a scommettere una somma non superiore a 1. I limiti di tale teoria

Sono: Come controllare se l'individuo si comporta davvero in modo razionale?

• Di fronte allo stesso problema, soggetti diversi possono esprimere valutazioni di probabilità differenti (soggettività insita nella definizione)
• Difficoltà a tradurre il grado di fiducia in un valore numerico significativo
• Per mitigare l'effetto degli ultimi due inconvenienti, in talune situazioni si possono effettuare sondaggi intervistando un gruppo di individui esperti o interessati al problema, ciascuno dei quali fornirà la propria valutazione soggettiva della probabilità in questione. Come stima della probabilità si prenderà allora la media aritmetica delle valutazioni soggettive espresse dagli intervistati.

Teoria assiomatica della probabilità: Approccio matematico della probabilità. Le tre definizioni introdotte, cui si può far ricorso per ottenere una valutazione numerica della probabilità, non sono

Nel campo dello sviluppo del calcolo delle probabilità, è possibile utilizzare una definizione formale che stabilisce le regole che la probabilità deve rispettare, anziché attribuire valori di probabilità specifici ai casi concreti. Questa definizione non fornisce una definizione esplicita della probabilità di un evento, ma descrive solo le proprietà fondamentali (assiomi) che possono essere utilizzate per costruire modelli matematici utili per calcolare la probabilità di eventi complessi. La definizione assiomatica della probabilità consente lo sviluppo di modelli astratti di probabilità. Gli assiomi su cui si basa sono abbastanza generali da comprendere i presupposti delle definizioni classiche, frequentiste e soggettive. Nel caso di spazi campionari infiniti, gli assiomi della probabilità richiedono nozioni di algebra avanzata, ma qui ci limiteremo a considerare il caso finito.

Dato un evento A si vuole assegnare una misura di probabilità P(A) all’evento A.

Si desidera che 0 ≤ P(A) ≤ 1, dove valori vicini a 0 indicano che l’evento A è inverosimile che si verifichi, mentre valori vicini a 1, che l’evento A è verosimile che si verifichi.

L’obiettivo della teoria della probabilità è quello di sviluppare strumenti e tecniche per calcolare la probabilità di eventi.

Dato uno spazio campionario finito S, la Probabilità viene definita come una funzione che ha come dominio l’insieme di tutti i sottoinsiemi di S (cioè tutti gli eventi elementari e composti) come codominio l’insieme dei numeri reali, R.

Assiomi su cui si basa la teoria:

1. ∀ evento A, P(A) ≥ 0
2. P(S) = 1
3. Se A e B sono eventi disgiunti (eventi incompatibili, A∩B = ∅) allora P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Il primo assioma ci dice che la misura della probabilità non può assumere valori negativi.

deriva che 0 ≤ P(A) ≤ 1, quindi il codominio di P si restringe al solo intervallo [0, 1]. Il secondo assioma ci dice che la probabilità di tutto lo spazio campionario è 1, ovvero 100%. Ciò deve essere vero poiché lo spazio campionario comprende in sé tutti i possibili eventi del fatto o esperimento casuale (con probabilità uguale a 1, l'esito sarà un elemento dello spazio campionario). Il terzo assioma ci dice che se due eventi sono disgiunti (non si sovrappongono) allora la probabilità dell'unione di questi eventi deve essere uguale alla somma della probabilità dei singoli eventi. Nel caso di n eventi incompatibili avremo: Ricollegandosi alla definizione assiomatica, è facile dimostrare che da tale definizione A seguono alcune utili relazioni: - Per ogni evento A, P(A) ≤ 1 - Per ogni evento A, P(Ω) = 1 - P(A). Infatti, consideriamo A ⊆ S ed il suo complementare A', per definizione: A

∩ = ∅A Ae ∩ = S. Supponiamo che A sia composto dai primi j elementi (j ≤