Teoria statistica - seconda parte

Statistica descrittiva e inferenziale

Nella prima parte del corso abbiamo osservato la statistica descrittiva, che si occupa di un’indagine totale poiché tutte le unità della popolazione vengono osservate. Ci occupiamo ora della statistica inferenziale, la quale compie, invece, un’indagine campionaria dove solo un sottoinsieme delle unità della popolazione viene rilevato e, tramite esso, si cerca di ottenere indicazioni sul fenomeno nel suo complesso.

Probabilità

Molte azioni che riguardano la nostra vita quotidiana sono caratterizzate da un’inevitabile condizione di incertezza, dovuta all’impossibilità di prevedere o di controllare completamente i fenomeni naturali (biologici, meteorologici,...) e sociali (economici, finanziari, politici,...). Il concetto di probabilità caratterizza e condiziona scelte e decisioni che riguardano la vita quotidiana. La teoria della probabilità aiuta a prendere decisioni razionali in condizioni di incertezza.

La probabilità è un concetto primitivo, intuitivo, perché innato e sempre presente nelle nostre regole di comportamento. Ma la probabilità è anche la misura del grado di incertezza relativo al verificarsi di un evento. (Distinzione tra concetto e misura: è intuitivo il concetto ma non la misura).

Teoria della probabilità

La teoria della probabilità considera solo fatti ed esperimenti casuali:

• Fatto casuale: è un avvenimento che ha possibilità di manifestarsi secondo una pluralità di alternative ed il cui esito non è prevedibile con certezza. Esempio: altezza che un bambino avrà da adulto.
• Esperimento casuale: è un esperimento il cui esito non è prevedibile con certezza. Come tutti gli esperimenti è ripetibile e avviene in condizioni uniformi. Esempi: lancio di una moneta.

A differenza di un esperimento, un fatto casuale non è ripetibile in condizioni uniformi.

Spazio campionario

Per poter definire in termini matematici un fatto o un esperimento casuale è necessario definire esattamente l’insieme dei suoi risultati possibili. Questo insieme prende il nome di Spazio Campionario: S (può essere anche indicato con U o Ω) e si divide in discreto (finito o numerabile) e continuo:

• Discreti sono costituiti da un numero finito o un’infinità numerabile di elementi.
• Continui sono costituiti da un’infinità non numerabile di elementi.

Gli elementi che costituiscono l’insieme S (i possibili risultati del fatto o esperimento casuale) sono detti eventi elementari. Notazione: in generale si indica l’evento elementare i-esimo con e_i, con e_i ⊂ S.

Tutti gli altri possibili eventi sono invece detti eventi composti, perché costituiti da un insieme di eventi elementari. In pratica ogni evento composto E, in quanto costituito da elementi di S, è un sottoinsieme dello spazio campionario, E ⊂ S. Ovviamente, anche ogni evento elementare è un sottoinsieme di S costituito da un solo elemento, e_i ⊂ S.

Dato in generale un evento composto E ⊂ S, tale evento si verifica se si verifica un elemento elementare e che gli appartiene (cioè, e ⊂ E). Ricapitolando, gli elementi di S, ovvero i possibili risultati dell’esperimento, sono detti eventi elementari, in quanto non ulteriormente decomponibili. Tutti gli altri possibili eventi, sono detti eventi composti, perché formati da un insieme di eventi elementari.

Eventi impossibili e certi

Un qualunque evento E che non contiene nessun evento elementare è detto evento impossibile, E = ∅. Poiché lo spazio campionario S è formato da tutti i possibili risultati dell’esperimento casuale, esso si verifica sempre e pertanto viene anche detto evento certo.

Diagramma di Venn

Uno schema molto efficace per rappresentare lo spazio campionario, gli eventi e le relazioni tra gli eventi è il diagramma di Venn. Uno spazio campionario S è assimilabile a un insieme di punti contenuti in un rettangolo. Un evento è un sottoinsieme dello spazio campionario (punti contenuti in ellissi o circoli).

Due eventi (A, B) ⊂ S sono uguali, se e solo se A e B sono formati dagli stessi eventi elementari. Ovvero quando il verificarsi di A implica il verificarsi di B e viceversa. Il complementare di un evento A è l’evento formato da tutti e soli gli eventi elementari che non appartengono ad A. Esso si indica con (o A’) e l’evento si verifica quando non si verifica A. A ∪ = S.