Statistica (teoria) 1

5) P(130,25 < X < 120) =

con X ∼ N(150, 15)

= P (130,25 - 150 / 15 < Z < 140- 150 / 15)

= P(-1,05 < Z < -0,1) =

= P(Z < 1,05) - P(Z < 0,1) = 0,353 - 0,155 = 0,198

6) P(1,2 < X < 1,5) =

con X ∼ N(1,0; 5)

= P(1,2 - 1 / 5 < Z < 1,5 - 1 / 5)

= P(0,8 < Z < 1) =

= P(Z < 0,8) + P(Z < 1) = 0,288 + 0,341 = 0,629

Esercizio 6.7 pagina 51

X_M ∼ N (175, 1) X_F ∼ N (168, 6)

a) P(X > 175) = P(Z > 175 - 168 / 6) = P(Z > 1,17) ≃ P(Z > 1,15) =

0,5 - 0,375 = 0,125

P(X < (168 - 12)) = P(X < 156)

Procedo come sopra in grado di fare e

ottengo così la frazione di femmine al di

sotto di 2 deviazioni standard dalla

media.

Ricorda media e mediana nella distribuzione % coincidono

Regola: X_p = μ_X + 6 × Z_p

Z_0,25 = ?⊂ p (Z < Z_0,25) = 75%

0,25 nella 2a colonna della tavola è 0,7

Z_0,175 = 0,1 significa che tra 0 e 0,7 V'è l'1,75% della distribuzione

Z_0,25 = 0,7

Regola: Z_p = - Z_1-p

quando Z > 0

Esercizio 62 pagina 52: Calcolo quantili di Z

a) Z_0,56 = 56^esimo percentile - prima di sé 56% della distribuzione

6% = 0,06 nella 2a colonna è 0,15

Z_0,56 = 0,15

b) Z_0,22 = 22^esimo percentile

Z_0,22 = -Z_0,56 = -0,15

c) Z_0,60 = è il 3^zo quintile, infatti 3/5 = 0,6

10% = 0,1 nella 2a colonna è 0,25

Z_0,60 = 0,25

d) Z_0,09 = 9^zo percentile

Z_0,09 = -Z_0,91

Z_0,91 = 1,35 -> Z_0,09 = -1,35

Nella tavola cerco p = 0,91 = 0,50 = 0,211

Esercizio

X = "peso neonata di un mese"

X ~ N(3500;200) di X

Calcoliamo il 2,5^esimo percentile p = 2,5/100 = 0,025

X_0,025 = 3500 + 200 * Z_0,025 = 3500 + 200 * -1,96 = 3.108

Indica che se ha questo peso, è sottopeso (molto)

Calcoliamo il 97,5^esimo percentile

X_0,975 = 3500 + 200 * 1,96 = 3.892

Indica che se ha questo peso è sovrappeso (abbastanza)

Calcoliamo il 7^zo quartile e pari a 0

X_0,5 = 3500 + 200 * Z_0,5 = 3500

1) Si decide il rischio di errore α o di 1a specie

• rifiuto l'ipotesi di indipendenza

5) Si va a vedere nella tavola il valore χ_1-α²

6) Si confronta il χ² calcolato ed il χ²_1-α

• Aumentando il rischio, rischio di accettare l'indipendenza quando non c'è
• rischio di 2a specie

Riprendo vecchia tabella

p̂₁₁ = 30:25 = 7,86

p̂₁₂ = 12:25 = 7,12

p̂₂₁ = 17:30 = 12,12

p̂₂₂ = 12 - 7,12 = 12,86

Regola: la somma delle f req. attese in colonna è uguale al totale di colonna.

YAFAFF0,261,21M0,671,683,95

Decido di assumere come rischio α

α=1% → 1-α = 0,99 = 99%

g = (2-1)·(2-1) = 1

Il livello del chi-quadro è 6,635 (con 99%) Il mio χ² è 3,95 – rifiuto indi- pendenza.

α=5% → 1-α = 0,95 = 95%

g = 1

1) χ² è 3,841 quindi inferiore al mio χ² → accetto indipendenza.

Data: 31 Ottobre 2019

Tendenza lineare indagabili con coeff. di correlazione lineare

retta di regressione

1. Misura l’intensità della tendenza: (con XY) =

tra -1 e 1

1. _gⁱ = a + bX

con b =

Cov (XY) =

5_Y

dividendo per N

a = _Y - b_X

Dà forma matematica alla tendenza lineare.

Predizioni: vedere quanto vale una variabile considerando il valore dell’altra

(solitamente valore di Y in relazione a X)

Figura 12: Preddizione del livello medio di Y

_Yⁱ = preddico annuo

_Xⁱ = anni studio

Hp: _X = 13

_Yⁱ = 10,8 + 3,0_X = 10,8 + 3,0 · 13 = 49,8 livello medio atteso

Variazione media di Y

Δ_Yⁱ = -Δ_X = 3,0 · 3 = 9 guadagno medio in più

Hp: ipotizzo di aggiungere 3 anni di studio

R² indica quanto la retta interpreta bene i nostri dati.

R² =

La retta è perfettamente rappresentativa

La retta non è per nulla rappresentativa

Data: 21 Novembre 2019

Campione: casuale: le unità sono scelte dalla sorte

(rappresentatività pop.)

ragionato: le unità vengono scelte sulla base di un ragionamento

Noi analizziamo campioni e popolazioni di dati,

μ_X: media della popolazione di dati x

6_X²: varianza

Parametri

π_i: proporzione