Teoria, Statica, meccanica, continuo

RICHIAMI DI ALGEBRA

➡️ Un vettore è un elemento di uno spazio vettorialeIl nostro spazio vettoriale sarà lo spazio euclideo (dove la distanza è quella euclidea)

N.B. ➔ per distanza euclidea si intende

Noi useremo come sistema di riferimento una base ortonormale

• 1) Considerando \( \vec{e_k} \), con non k=1,2,3 \( ||e_k||=1 \) e \( e_i \cdot e_2 = 0 \) (prodotto scalare)
• 2) La norma (o distanza) è definita come: \( ||\underline{e_k}|| = \sqrt{ \underline{e_k} \cdot \underline{e_k} } \)

Quindi:

• \( e_i \cdot e_j = \delta_{ij} \)
• vale 1 se i = j
• vale 0 se i ≠ j

➔ delta di CRONECKER

RICHIAMI DI ALGEBRA

Un vettore è un elemento di uno spazio vettoriale

Il nostro spazio vettoriale sarà lo spazio euclideo (dove la distanza è quella euclidea)

N.B. per distanza euclidea si intende

Noi useremo come sistema di riferimento una base ortonormale

1. considerando \( \vec{e}_k \) con

• \(\|\vec{e}_k\| = 1\) e \(\vec{e}_j \cdot \vec{e}_2 = 0\)

Prodotto scalare

2. la norma (o distanza) è definita come:

\(\|\vec{e}_k\| = \sqrt{\vec{e}_k \cdot \vec{e}_k}\)

quindi:

\(\vec{e}_i \cdot \vec{e}_j = \delta_{i3}\)

• \(vale \ 1 \ se \ i = j\)
• \(vale \ 0 \ se \ i \neq j\)

=> delta di CRONEKER

Cosa rappresenta il prodotto scalare?

consideriamo due vettori M e U

N.B.: Quando uno dei due vettori è un versore, il prodotto scalare indica la proiezione del vettore nella direzione del versore.

osserviamo che un vettore M può essere espresso in componenti, considerando i versori:

M = M₁e₁ + M₂e₂ + M₃e₃ = ∑_k=1³ M_ke_k

U = U₁e₁ + U₂e₂ + U₃e₃ = ∑_j=1³ U_je_j

quindi:

M ⋅ U = ( ∑_k=1³ M_ke_k ) ⋅ ( ∑_j=1³ U_je_j ) = ∑_k=1³ ∑_j=1³ ( M_ke_k ) ⋅ ( U_je_j )

esplicitavamo i termini:

( M₁e₁ + M₂e₂ + M₃e₃ ) ⋅ ( U₁e₁ + U₂e₂ + U₃e₃ )

Il prodotto vettoriale si può calcolare con la regola del determinante:

M₁ ∧ N₂ = det

= L₁(M₂v₃ - M₃v₂) - k₂(M₁v₃ - M₃v₁) +

+ L₃(M₁v₂ - M₂v₁)

Se facciamo le moltiplicazioni e mettiamo in

possiamo scrivere il tutto in forma compatta:

a noi interessa quando vale 1

quando posso assumere j=k ed usare

una sola sommatoria:

il prodotto scalare si ottiene

sommando le componenti:

PRODOTTO VETTORIALE prende due vettori e restituisce un vettore

consideriamo due vettori e :

Il significato geometrico del prodotto vettoriale è se il vettore

a sarà ortogonale ad e :

graficamente

CINEMATICA DEI CORPI RIGIDI

Un corpo rigido è un oggetto materiale, i cui punti sono soggetti al "vincolo di rigidità", cioè il corpo rigido è un corpo che sia quando è fermo sia quando cambia posizione non si deforma mai.

N.B.: Il vincolo di rigidità fa sì che le mutue distanze fra due punti qualunque del sistema restino invariate in ogni istante.

OSSERVAZIONE:

I corpi solidi possono, in prima approssimazione, essere considerati rigidi, però occorre far notare che il corpo rigido è una cosa astratta, poiché in natura non ci saranno mai corpi perfettamente rigidi. Infatti, ci saranno corpi il cui comportamento, in particolari condizioni, può essere descritto come quello del corpo rigido astratto.

Noi il corpo rigido lo schematizziamo come di seguito:

N.B.: Il nostro corpo rigido va considerato come un sistema continuo, cioè come un corpo per il quale esiste una corrispondenza biunivoca tra la sua configurazione iniziale ed una qualunque configurazione finale. (Cioè se consideriamo il punto P, punto della configurazione iniziale, a questo punto corrisponderà un punto P della configurazione finale, punto che sarà unico (il punto non si sdoppia).

In pratica, il sistema continuo vuol dire che all'interno del volume del corpo non esistono vuoti, secche infinitesime. E ciò è quanto è po