Meccanica dei Fluidi - teoria

INTRODUZIONE

• Prodotto scalare tra 2 vettori

_a · _b = _a1b₁ + _a2b₂

• Prodotto misto tra un vettore e un tensore

_a · _T = [a_x a_y a_z] [b_xx b_xy b_xz b_yx b_yy b_yz b_zx b_zy b_zz]

• Prodotto vettoriale tra 2 vettori

_a x _b = det

[i j k]

[a_x a_y a_z]

[b_x b_y b_z]

• Prodotto tensoriale tra 2 vettori

= _ai x _bj

= [a_xb_x a_yb_y a_zb_z]

[a_x a_xy a_xz]

[a_y a_yy a_yz]

[a_z a_zz a_zz]

• Prodotto interno fra 2 tensori

= prodotto elemento x elemento:

<_a , _a > = [a_xxb_xx a_xyb_xy a_xzb_xz a_yxb_yx a_yyb_yy a_yzb_yz a_zxb_zx a_zyb_zy a_zzb_zz]

ovvero (_a, _b)_ij = a_ib_j

• Prodotto matriciale fra 2 tensori

_a · _{b ij} = a_ixb_xj

1) operatore NABLA -> ∇ = ( ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z )

Derivate parziali lungo le 3 direzioni nello spazio

• GRADIENTE di un campo scalare -> ∇a = ( ∂a/∂x, ∂a/∂y, ∂a/∂z )
• di un campo vettoriale -> V₂ prodotto tensoriale

DIVERGENZA di un campo vettoriale:

• V · a̅ = ∂_x/∂x + ∂_y/∂y + ∂_z/∂z
• Prodotto Scalare
• di un campo tensorile:
  • ∇ · Q̅ = ( ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z ) [ Q_xx Q_yx Q_zx | Q_xy Q_yy Q_zy | Q_xz Q_yz Q_zz ]
• = ( ∂Q_xx/∂x + ∂Q_yx/∂y + ∂Q_zx/∂z )i + ( ∂Q_xy/∂x + ∂Q_yy/∂y + ∂Q_zy/∂z )j + ( ∂Q_xz/∂x + ∂Q_yz/∂y + ∂Q_zz/∂z )k

Prodotto scalare ∇ · (1a col. di a̅)

Prodotto Scalone ∇ · (2^a col di a̅)

ROTORE di un campo vettoriale: ∇ × a = det | i j k | | ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z | | a_x a_y a_z |

= ---- (CONT)

Altri teoremi utili:

• 1Teorema Divergenza: ∫W ∇ · a̅ dW = ∫A a̅ · n̂ dA
• 2Teorema Gradziente: ∫W ∇a dW = ∫A a n̂ dA

Equilibrio:

t_xxdA_x + t_yydA_y + t_zzdA_z + t_ndA + ρf_jdV = 0

dA_x = n_xdA

dA_y = n_ydA

dA_z = n_zdA

In forma tensoriale:

t_n = [n_x, n_y, n_z]

[_{tx ty tz}]

Termini diagonali → forze normali

extra-diagonali → forze tangenziali

Tensore degli sforzi:

In statica → p_xx = p_yy = p_zz = p

O_g = 0

Matrice identità:

[0 0 0][0 0 0][0 0 0]

Equazione indefinita della statica dei fluidi

Volume infinitesimo (parallelepipedo) di fluido

Equilibrio → ∑F_s + ∑F_V = ∑F_s + ∑F_v = 0

Facce con vettori:

î → normale → p

-î → pressione = P + ΔP

Equilibrio diventa:

Pdydz î + (...)

- ∫f_j dV

→ (Tp, n̂)ξ_z = (∫_A pX dA) ŷ · n̂ = (∫_A x² sen α dA) ŷ · n̂

Punto: PX sen α

Tp · n̂ = (XgA) ŷ · n̂ = (Xg sen αA) ŷ · n̂ → (stato primo)

(X_c-X_g · X_gA) ξ ŷ · n̂ = ∫_A (x² dA sen α) ŷ · n̂

I → Momento d'inerzia risp. asse Y (E.R.D.S.)

→ ^ξ⁄_XcA = ^I⁄_I

Momento statico risp. asse Y (R.D.S.)

Per provare II → ∑ Momenti forze infinitesime = Momento di Tp risp. asse Xrim. asse X

→ (Tp · ŷ)η = (∫_A pY dA) ŷ · n̂

braccio risp. asse X

(X_gX_c · X_gA) ξ ŷ · n̂ = ∫_A Xg dA sen α ŷ · n̂

→ I^xy → Momento inerzia centrifugo

→ ^{I - X_g}⁄_XgA = I^xy

&Sub = ⁄ sempre momento statico risp. asse y

⚠ se superf. simmetrica con asse simm. / asse X → I_xy = 0→ ψ = 0 (C.S. simmetria all'asse di simmetria)

∫ (X-Xg)² dA = ∫_A x² dA + ∫_A Xg² dA - 2∫_A XgX_g dA

⚠ → ∫_A (X - Xg)² dA = (x² dA + Xg² dA − 2X_c Xg dA)

X_g = const

Cinematica dei fluidi

Supponiamo di avere particella di fluido (o volumento infinitesimo di fluido):

X(t) = Posizione della particella di fluido

^v = dX/dt → Velocità

^v = _v(x,y,z,t) = _v(X(t),Y(t),Z(t),t)

• _v = (v_x, v_y, v_z) = (u,v,w)

Comp. scalari:

• v_x = dx/dt
• v_y = dy/dt
• v_z = dz/dt

Sist. Rif. Intrinseco = M si muove lungo la traiettoria

• -> versore tangente (t), normale (n), binormale (b)
• Non è sist. rif. inerziale

Asse coordinato, s(t)

^v = ds/dt · ^t = v_s^t

Traiettoria = luogo dei pt successivamente occupati dalla particella di fluido (dal suo baricentro)

• Velocità tangenziale (v_s)

Vantaggi sist. rif. intrinseco è che ho 1 sola compon. di velocità (quella tangenziale) ma devo conoscere andamento versore tangente

Eq. Continuità in Forma Globale

∂_w/∂t + ∇·(∫_w ρ_U•n dV) = 0

Regola di Leibniz → ∫_w ∂(∂_U) dV = ∂/∂t ∫_w ρ (∂_U) dV

Matrici ∫_w ∇·(ρ_U) dV = ∫_w ∂/∂x_i (ρ_U) dV = ∫_A ρ(∂_U)•n dA = ∫_A ρ(∂_U)•n dA

Δ/Δt ∫_w ρ dV = ∫_A ρ(∂_U)•n dA = ∫_Ac ρ(∂_U)•n dA + ∫_Au ρ(∂_U)•n dA

Flusso di Massa = μ

μ_e - μ_u

Fluido Incomprimibile → ∂/∂t ∫_w ρ dV = 0

→ eq diventa ρ [∫_Ae (∂_{U • n}) dA + ∫_Au (∂_{U • n}) dA] = 0

in pratica _e - _u = No Accumulo