Meccanica dei Fluidi - teoria

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Meccanica dei Fluidi - appunti dalle lezioni del prof. Berzi, corso di laurea in Ingegneria Meccanica, Politecnico di Milano. Argomenti: introduzione e proprietà dei fluidi, statica dei …

Esame Meccanica dei fluidi

Facoltà Ingegneria industriale

Dal corso del Prof. Berzi Diego

Università Politecnico di Milano

A.A. 2017-2018

84 pagine

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MECCANICA DEI FLUIDI

INTRODUZIONE

Prodotto scalare tra 2 vettori ⇒ a · b = ∑_i a_ib_i
Prodotto misto tra un vettore e un tensore

a · T = [a_x, a_y, a_z] ⎡ b_xx b_xy b_xz ⎤⎣ b_yx b_yy b_yz ⎦= (a_x b_xx + a_y b_yx + a_z b_zx) ẑ_i + (a_x b_xy + a_y b_yy + a_z b_zy) ẑ_j + (a_x b_xz + a_y b_yz + a_z b_zz) k

Prodotto vettoriale tra 2 vettori

a × b = det ⎡ î j k ⎤⎣ a_x a_y a_z ⎦⎣ b_x b_y b_z ⎦= (a_yb_z - b_ya_z) î_k - (a_xb_z - b_xa_z) ĵ_j + (a_xb_y - b_xa_y) â_i

Prodotto tensoriale tra 2 vettori ⇒ a ⊗ b

= ⎡ a_x ⎤ ⊗ ⎡ b_x, b_y, b_z ⎤ ⎣ a_y ⎦⎣ a_z ⎦ = ⎡ a_xb_x a_xb_y a_xb_z ⎤⎣ a_yb_x a_yb_y a_yb_z ⎦⎣ a_zb_x a_zb_y a_zb_z ⎦

Prodotto interno tra 2 tensori = prodotto elemento x elemento

< A, B > = ⎡ a_xx a_xy a_xz ⎤⎡ a_yx a_yy a_yz ⎤⎡ a_zx a_zy a_zz ⎤o truto 〈a, b〉_i,j = a_ib_j

Prodotto matrice tra 2 tensori ⇒ (A · B)_ij = a_ikb_kj

MECCANICA DEI FLUIDI

INTRODUZIONE

Prodotto scalare tra 2 vettori

a̅ ∙ b̅ = a_i ∙ b_i = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z

Prodotto misto tra un vettore e un tensore

a̅ ∙ T̿ = [a_x, a_y, a_z] [b_xx, b_xy, b_xz] [b_yx, b_yy, b_yz] [b_zx, b_zy, b_zz]

= (a_x b_xx + a_y b_yx + a_z b_zx) ĥ + (a_x b_xy + a_y b_yy + a_z b_zy) ĵ + (a_x b_xz + a_y b_yz + a_z b_zz) k̂

Prodotto scalare a̅ (3^a colonna di b̅)

Prodotto vettoriale tra 2 vettori

a̅ x b̅ = set ĵ k̂ a_x a_y a_z b_x b_y b_z = (a_yb_z - b_ya_z) ĥ − (a_xb_z - b_xa_z) ĵ + (a_xb_y - b_xa_y) k̂

Prodotto tensoriale tra 2 vettori a_j b_i

= [a_xb_x a_xb_y a_xb_z] [a_yb_x a_yb_y a_yb_z] [a_zb_x a_zb_y a_zb_z]

(a_jb_i)

Prodotto interno tra 2 tensori = prodotto elemento x elemento:

<T̿, T̿ó> = [a_xxb_xx a_xxb_xy a_xxb_xz] [a_yxb_yx a_yyb_yy a_yzb_yz] [a_zxb_zx a_zyb_zy a_zzb_zz]

ovvero <a̅, b̅>

Prodotto matrice tra 2 tensori → (a⇒, b⇒)_ij = a_ikb_kj

1. operatore NABLA -> ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)

-> Gradiente di un campo scalare -> ∇a = (∂a/∂x, ∂a/∂y, ∂a/∂z)

-> di un campo vettoriale ∇_s

-> Divergenza di un campo vettoriale:

∇ · ã = ∂a_x/∂x + ∂a_y/∂y + ∂a_z/∂z

-> di un campo tensoriale:

∇ · ã = | ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z |

| a_xx a_xy a_xz |

| a_yx a_yy a_yz |

| a_zx a_zy a_zz |

-> Rotore di un campo vettoriale:

∇ × ã = det | î

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