Riassunto per esame orale di teoria dei sistemi

SOLUZIONI DEI SISTEMI

Nel continuo, la soluzione è dettata dall'equazione di Lagrange:

∫ (t - τ)At A(τ)=e(t) + x(t) ∙ x(0) e ∙ B ∙ u(τ) dτ

Nei sistemi a tempo discreto, la soluzione si ha con somma tra movimento libero e movimento forzato:

t-1∑ -1-i t(t)= (i)x(t) A ∙ x(0) A ∙ B ∙ u(i)=0 in forma

Per entrambi i casi possiamo scrivere la soluzione compatta, come segue:

φ(t) ∙ u(t0, t) = φ(t) ∙ u(t0, t)

Il termine φ(t) è la matrice di transizione e si comporta in questo modo:

Ate nei sistemi a tempo continuo: φ(t) = φ(t) A

A nei sistemi a tempo discreto: φ(t) = φ(t) A

Invece, per quanto riguarda l'uscita y(t) si ha:

∫ (t - τ)At A(τ) = C(t) + C nei sistemi a tempo continuo

y(t) ∙ e ∙ x(0) ∙ e ∙ B ∙ u(τ) dτ = t-1∑ -1-i (t) = C(t) + nei sistemi a tempo discreto

y(t) ∙ A ∙ x(0) = C ∙ A ∙ B ∙ u(i) i=0

TRASFORMATA DI LAPLACE

Nei

sistemi LTI continui grazie alla trasformata di Laplace riusciamo ad eliminare la derivata prima che compare nel sistema, così riconducendo l'equazione differenziale in una più semplice equazione algebrica.

La trasformata di Laplace è un operatore funzionale lineare che associa ad una funzione di variabile reale una funzione di variabile complessa.

Sia f(t) : [0, T[ [0, [ , continua ed integrabile

T∫ −st ∈( ) s Rf t ∙e dt

inoltre con

0 T∫ −st( )= ( ) è la Trasformata di Laplace

F s lim f t ∙ e dt

T →+∞ 0

Teorema del valore finale

Permette di determinare il valore asintotico finale di una funzione

Supponiamo che esista e sia finito il limite, per t che tende a + infinito, della funzione f(t)

(t )=limlim f s ∙ F(s) Teorema del valore iniziale

t →+∞ s→ 0

Permette di determinare il valore asintotico iniziale di una funzione.

Supponiamo che esista e sia finito il limite, per t che tende a 0, della funzione

funzione f(t)(t )lim s ∙ F( s)=lim f -------------------------------------------------------------------------------------s →+∞ t→ 0---------------------------------------------------------TRASFORMATA ZETALa trasformata zeta è una trasformata integrale che permette di trasformare unafunzione discreta in una funzione più semplice. + ∞∑ −n ∈( )=Sia f : n , si definisce trasformata zeta con(n)R z C F z z ∙ fn=0Essendo nel discreto, affinché l’area dell’impulso sia pari ad 1, l’ampiezza del segnaledeve essere pari ad 1.Anche la trasformata Z gode della proprietà di linearità :[ ](n)+ ( =α ( (Z α ∙ f β ∙ f n) ∙ F z)+ β ∙ F z) 1 1 2 2 1 1 2 2Così come nel continuo vale la trasformata della convoluzione:[ ]( ( =F (z )∙ (z )Z f n)∗f n) F 1 2 1 2Soluzione al sistema con la trasformata Z−1 −1( )=(zI ( )+ ( )− −A )x z A) ∙

z ∙ x₀ zI ∙ B∙ u( z−1 −1( )=C ( )+ ( ) ( )+−Ay z ∙(zI− A) ∙ z ∙ x₀ C ∙ zI ∙ B ∙ u z D ∙ u(z)

Nel caso particolare in cui x(0) = 0 si ha che l’evoluzione forzata coincide con la funzione di trasferimento.

Funzione di trasferimento

La funzione di trasferimento è una funzione che caratterizza il comportamento di un sistema dinamico nel dominio della frequenza, mettendo in stretta relazione l’ingresso con l’uscita.

In particolare, la funzione di trasferimento per un sistema LTI è la trasformata di Laplace della risposta all’impulso del sistema, quindi è una funzione di rete che esprime la relazione algebrica tra ingresso e uscita. −1( )=[C ( )−Ay s ∙ sI ∙ B+ D]u(s)

Osservando solamente l’evoluzione forzata F( )(t)]L[ y y s −1F F( )= ( ) La funzione di= =C − trasferimento può essereF s ∙ sI A ∙ B+ D[u(t )] )L u(s) scritta in due modi differenti m m−1+

+…+β s β s β( )y s −1m m 0( )= =F sForma polinomiale n n−1u( s) + +α s α s …+αn n−1 0n∏ (s−z )j( )y s j=1( )= =Forma fattorizzata F s nu( s) ∏ (s−P )ii=1

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COLLEGAMENTO DEI SISTEMI CON SCHEMI A BLOCCHI

Sono tre i collegamenti che si possono effettuare: serie, parallelo, retro-azione.

SISTEMI EQUIVALENTI

La quaterna (A,B,C,D) con cui si descrive un sistema dipende, ovviamente, da unità di misura, tempo e variabili di ingresso, stato e uscita.

Inoltre le quattro matrici dipendono anche dalla scelta delle variabili di stato che non è certamente univoca. ~~ ~ ~ ~( )( )Σ A , B ,C , D

Due sistemi, e , si dicono equivalenti se esistono treΣ A , B , C , D matrici invertibili (ma non per forza diagonali) T , T , T tali che:

X Y UT¿ 1~ ~

~−1 −1 −1¿ [T ]B= BT C=T C T D=T D TX U Y X Y Uα1~ ¿A= α{ x=~ ~~´ ~ ~A x+ B u =T =I =TPonendoT Te si ottiene il sistema equivalentey=~ ~~ ~ ~ X U X+C x D uche normalmente si utilizza:~ ~ ~ ~ Per quanto riguarda la funzione di trasferimento,−1 −1A=TA T B=TB C=C T D=Dvediamo il caso più generale: T −1(¿¿ )X A T X1~ )=~ sI−~ ~B+~ ¿sI−−1( )(F s C ∙ A ∙ D α¿¿ −1¿ T C T ∙¿Y X[ ]−1A 1 ( )−1 −1 −1 −1¿ (sI − )T +T C T ∙ T ∙ T B T T D TY X X X X U Uα α Y−1 −1 −1 −1¿ {C }TT T ∙ T ∙( αsI− A) ∙T ∙ T B+¿ DY X X X X U¿−1 −1¿ {C }TT ∙(αsI− A) B+¿ DY U~ ( ) ¿F sαs=s 'Ponendo si ottiene: −1~ =¿T =IT( ) −1'( ) ¿ =1particolare , ponendo

α e ↦¿F s T ∙ F s ∙ T Y UY U ¿~ −1( ) =C (F s ∙( sI− A) ∙ B+ D=F s)STABILITA’ DEI SISTEMILa stabilità è la proprietà più studiata dei sistemi dinamici; essa ha a che fare con il∞comportamento asintotico (t -> + ) del sistema, in particolare con la capacità di‘’dimenticare’’, man mano che il tempo passa, la propria storia passata.Un sistema è asintoticamente stabile quando per ogni stato iniziale x(0) il movimento( ) ( )φ t x 0libero tende asintoticamente a zero, cioè:( ) ( ) ( )=0 ( )=0=0lim x t → lim φ t x 0 → lim φ tLt→∞ t →∞ t→∞{ Ate nei sistemi continui( )=φ tricordando che tA nei sistemi discretiStabilità nel continuoλ t ( )ℜ <e → 0 λ 0- Asintotica stabilitài iλ t ( )ℜ =0e → 1 λ m=1- Semplice stabilitài iλ t (

1. ℜ = 0e → 1 λ m>1- Debole instabilitài iλ t ( )ℜ >e →+ ∞ λ 0- Forte instabilitài iStabilità nel discreto
2. ∃∨λ <λ 1- Asintotica stabilitài i
3. ∃∨λ =1λ m=1- Semplice stabilitài i
4. ∃∨λ =1λ m>1- Debole instabilitài i
5. ∃∨λ >λ 1- Forte instabilitài i

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RELAZIONE TRA PIANO S E PIANO Z

Nel continuo:

∞ ∞ ∞∑ ∑ ∑ −KTs −K −K −KTs( )= ( ) ( ) ( ) ( ) Tsf t f kT ∙ δ t−kT L f kT ∙ e z f k ∙ z ⟹=ez z=e→ →=0k=0 k k=0

Relazione tra piano Z e piano S

Nel discreto la relazione tra S e Z si ha con delle approssimazioni ai calcoli:1 z−1s= ∙Si ottiene T ( )

αz1−αIn particolare, la Trasformazione di Tustin permette di riportarlo al dominio discreto e il risultato raggiungerà un'uscita che approssima quella dell'equivalente analogico quando l'intervallo è reso estremamente piccolo.
¹ z−1 2 z−1=0.5s= ∙ α s= ∙T T z+ 1( ) +αz1−α ⇒STABILITÀ ESTERNA DI UN SISTEMA
In un qualsiasi sistema Ingresso limitato vuol dire Uscita limitata!
¹( )=lim ( )=lim ( ) ( ) ( )=lim =limlim y t s y s s F s u s s F s F( s) Asintotica st→∞ s→ 0 stabilità stabilità esterna
 Semplice stabilità incertezza
Un sistema del secondo ordine sarà la combinazione di due sistemi del primo
A B −σ −σt t( )= ( )=⟹+ +F s y t A e B e Comunque, da buon ingegnere si considera
¹ 2s+σ s+ σ1 2sempre l'ipotesi peggiore, e quindi si prende l'autovalore più vicino all'asse immaginario, cheω) è la frequenza angolare, Σ A, B, C, D sono i coefficienti del sistema. La risposta in frequenza di un sistema è evidenziata dalla seguente formula: H(ω) = U(ω) * e^(jωt) * sin(ωt + jω) Questo significa che ad ingressi sinusoidali corrispondono uscite sinusoidali isofrequenziali.