Riassunto per esame orale di teoria dei sistemi

TEORIA DEI SISTEMI

IL SISTEMA

Il sistema è un ente matematico e la sua definizione contiene i seguenti insiemi:

- U insieme degli ingressi

- Y insieme delle uscite

- X insieme degli stati

- T insieme del tempo

- Ω insieme delle funzioni ammissibili degli ingressi

- Γ insieme delle funzioni ammissibili delle uscite

Un sistema dinamico è regolato da questi sei insiemi e da ulteriori due funzioni

matematiche:

- ρ funzione di transizione di stato

( )

( )=ρ ( ) ()

x t t , τ , x τ ,u .

Gode delle seguenti quattro proprietà:

( )

( )=ρ ( )

x τ τ , τ , x τ , u()

consistenza

- τ

- irreversibilità t ≥ ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

= () =ρ ()

x t ρ t , τ , x τ ,u x t t , t , x t ,u

- composizione 1 1 2 2 1 1

- causalità riferito a 2 ingressi differenti u’(t) e u”(t) allora

( )

( )=ρ ( ) ( ) ( ) ¿ ¿

x ' t t , τ , x τ ,u ' t e x left (t right ) =ρ left ( t, τ, x left (τ right ) , u t

- μ trasformazione d’uscita dove tutto è in correlazione col tempo t.

( )

( )=µ ( ) ( )

y t t , x τ ,u t

Quindi, in definitiva si ottiene il sistema generale:

{ ( )

( )=ρ ( )

x t t , τ , x τ , u() ( ) ( )

Dove daltermine u t y t

della si riesce a dedurre se il

( )

( )=µ ( ) ( )

y t t , x τ ,u t

sistema è STRETTAMENTE PROPRIO o NON STRETTAMENTE PROPRIO, rispettivamente

se questo termine è presente o meno.

TIPOLOGIE DI SISTEMI DINAMICI

- Single Input Single Output ( SISO )

- Multiple Input Multiple Output ( MIMO )

Classificazione parametri nel tempo Classificazione parametri nello

spazio

- Sistemi tempo Varianti - A parametri concentrati

- Sistemi tempo Invarianti - A parametri distribuiti

SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI

E’ un sottoinsieme dei sistemi dinamici.

Il movimento globale è dato dalla somma tra movimento libero e movimento forzato.

( )

( )=φ ( )

x t t , τ , x τ , 0

Movimento libero: L ( )

( )=φ

x t t , τ ,0, u()

Movimento forzato: F

( )=x ( ) ( )

+

x t t x t con u( )≠0 e ≠0

τ

 L F

In questo caso il sistema si dice lineare e si scrive nel seguente modo:

{ ( )

(t )= +B

x́ A x t u(t) (t) (t )e )

dove ,ovviamente , x , y u(t possono essere così definite :

( )=C ( )+ )

y t x t D u(t

[ ] [ ] [ ]

(t) (t) (t)

x y u

1 1 1

( )= ( ) ( )

= =

x t y t u t

: : : Ponendo n=2, p=1, u=3 si ottiene il seguente

(t ) (t ) (t)

x y u

n p m

sistema:

( )=a ( )=a

+a +b +b +b +a + +b +b

x́ t x x u u u x́ t x x b u u u

1 11 1 12 2 11 1 12 2 13 3 2 21 1 22 2 21 1 22 2 23 3

( )=c + + +d +

y t x c x d u u d u

1 1 2 2 1 1 2 2 3 3

dalla quale è possibile visualizzare≤influenze dirette degli ingressi , manon≤influenzeindirette .

SIS

Dal sistema scritto∈questa forma si possono ricavare direttamente≤matrici A , B , C e D .

TEMI DINAMICI LTI NEL DISCRETO

Discretizzando un sistema LTI nel continuo Δt = t + T – t , dove T = T campionamento

In generale un sistema discreto si scrive nel seguente modo:

{ ( )+

(t +1)=A )

x́ x t B u(t ∈

t N

con

( ) ( )

=C + (t )

y t x t Du

SOLUZIONI DEI SISTEMI

Nel continuo, la soluzione è dettata dall’equazione di Lagrange

t

∫ (t −τ )

At A

( )=e ( ) ( )

+

x t ∙ x 0 e ∙ B ∙ u τ dτ

0

Nei sistemi a tempo discreto la soluzione si ha con somma tra movimento libero e movimento forzato

: t−1

∑ −1−i

t t

( )= ( )+ (i)

x t A ∙ x 0 A ∙ B ∙u

i=0 ∈forma

Per entrambi i casi possiamo scrivere lasoluzione compatta , come segue :

¿ )

∙ u(t

¿

0 ,t ( )

Il termine φ t è la matrice di transizione e si comporta in

¿

( )=φ ( ) ( )+ψ

x t t ∙ x 0 ¿

questo modo:

{ At

e nei sistemi a tempo continuo

( )=

φ t t

A nei sistemi a tempo discreto

Invece, per quanto riguarda l’uscita y(t) si ha:

t

∫ (t −τ)

At A

( )=C ( ) ( )

+C nei sistemi a tempo continuo

y t ∙e ∙ x 0 ∙ e ∙ B ∙ u τ dτ

0

−1

t

∑

t t−1−i

( )=C ( )+ nei sistemi a tempo discreto

y t ∙ A ∙ x 0 C ∙ A ∙ B ∙u( i)

i=0

TRASFORMATA DI LAPLACE

Nei sistemi LTI continui grazie alla trasformata di Laplace riusciamo ad eliminare la

derivata prima che compare nel sistema, così riconducendo l’equazione differenziale in

una più semplice equazione algebrica.

La trasformata di Laplace è un operatore funzionale lineare che associa ad una

funzione di variabile reale una funzione di variabile complessa.

⊆ ∞

Sia f(t) : [0, T[ [0, [ , continua ed integrabile

T