Teoria - Segnali e Sistemi

• LINEARITÀ: se rispetta il principio di sovrapposizione degli effetti

u₁(t) → v₁(t)

u₂(t) → v₂(t)

u(t) = a₁u₁(t) + a₂u₂(t) = a₁ v₁(t) + a₂ v₂(t) = v(t)

• TEMPO-INVARIANTE: una traslazione nel tempo della causa corrisponde a uguale traslazione deglieffetti

u₁(t) → u₁(t-τ)

v₁(t) = u₁(t) = u(t-τ)

v(t-τ) = u(t-τ) = u(t) → v₁(t)

• CAUSALITÀ: se per ogni causa non viene mai prodotta dal corrispondente effetto

v(t) = [ε(t)M-A]^-1 = [sI-M-A]^-1 = ¹/_sI-M-A     ¹/_(sI-M) = v(t) = 0

STABILITÀ ASINTOTICA: la matrice di retroazione λ: retta converga a 0.

lim_t→+∞ v(t) = 0

• STABILITÀ ASINTOTICA: per ogni scelta delle condizioni iniziali, l'uscita libera converge a 0 asintoticamente

lim_t→+∞ v_c(t) = 0

• BIBO: a partire da condizioni iniziali nulla, rispondere (in evoluzione forzata) con uscita limitata ad ogni ingresso in forma limitata.

CONTINUO

Sì BIBO

No AS

d²v_c(t)/dt² - v(t) = du(t)/dt - u(t)

DISCRETO

Sì BIBO

No AS

2v(k) - 3v(k-1) + v(k-2) = u(k) - u(k-1)

No BIBO

d²v_c(t)/dt² = u(t)

u(t) = ε_c(t)

v(t) = = ε_δ-(t)

• Linearità: se rispetta il principio di sovrapposizione degli oggetti
  • u₁(t) → v₁(t)
  • u₂(t) → v₂(t)
  u(t) = a₁u₁(t) + a₂u₂(t) = a₁v₁(t) + a₂v₂(t) = v(t)
• Tempo-invarianza:
  • u₁(t) = u₁(t-t) → v₁(t)
  • v(t-τ) = u(t-τ) = u(t-t)
• Causalità: se
  • ∫ y(t) dt = [emidst] - ∫e[sigmaτ] dτ, t > τ
• BIBO: risponde ad ingressi limitati con uscite limitate
• Stabilità asintotica: se aumenta oscillazione, l'uscita converge a 0.
  • lim_t→+∞ v(t) = 0
• Stabilità asintotica: per ogni scelta delle condizioni iniziali, l'evoluzione libera converge a 0 asintoticamente
  • lim_t→+∞ v_(t) = 0

BIBO: a partire da condizioni iniziali nulla, rispondere (in evoluzione forzata) con uscita limitata ad ogni segnale in ingresso limitato.

CONTINUO

• Sì BIBO
• No AS
• dV(t)/dt = mu(t)

• -V(t) = du/dt → u(t)

*No BIBO:

• dv(t)/dt = μ(t)
• u(t) = E_sC_j
• v(t) = c E_s C_j

DISCRETO

• Sì BIBO
• No AS

• v(k) - 3v(k-1) + v(k-2) = u(k) - u(k-1)

Risposta Impulsiva

Continuo

Def: uscita del sistema in corrispondenza dell'impulso unitario in ingresso

La risposta impulsiva deve soddisfare a_n + ... + a₁ = 0 a_nh(1) + a_n-1h(t-1) + ... + a₀h(t) = 0 ciò ci dice nell'espansione della risposta influiranno sempre i modi attenuativi dell'evoluzione libera.

Dato che il sistema è causale, la risposta impulsiva è nulla per t < 0. il teorema: non esisteranno onde evitate che abbiano risposta impulsiva in termine impulsivo causale di tipo opposto. una causa che nel sistema è proprio non si ha strettamente proprio, cioè n > m.

h(t) = d₀u(t) + ∫₀^t b₁ e^{λi t} = Σ λ_i^k d_i t ^k b_n-1 e^{λ i t} = Σ d_i tⁿ()

Un sistema LTI è causale se e solo se n(t)=0 per t < 0, cioè se e solo risposta impulsiva e causale, cioè: y(t) = ∫_-∞^t h(τ)u(t-τ) dτ = ∫_-∞^t h(t)u(t-τ) dτ

Un sistema LTI è BIBO se e solo la sua risposta impulsiva è sommabile:

|n(t)| ≤ +∞

Discreto

Def: la risposta dell'agente alle differenze ottenute in corrispondenza all'ingresso

u(k) = δ(k-1)

• d = 1
• d = 0

Data l'erogam alle differenze Σ a_i y(k-i) = Σ b_i u(k-i)

es: il ricevitore è un modello MA h(k) = 1 / d₀ δ (k-1)

n ≥ 1 in virtù delle causalità del sistema, la risposta impulsiva è nulla per k n non nullo da k=0

n > m h(k) = Σ d_i λ_i k b_i λ_i ¦^k d⁰ = Σ c_{i di dk-1 di dk di Σ k^!-jwt∫}

= A∫h(jω₀)

ψ(ω₀) = j (ω+τe)

Doto un sistema LTI e BIBO di risposta impulsiva h(t), eERL

dati una risposta al segnale periodale in ingresso

Dato h(t) = A∫

Campionamento Ideale

Sia ξ(t) una sorgente, vogliamo ricostruire la continua evoluzione dell'origine campionando il periodo τ e frequenza f_C = 1/τ.

La ricostruzione si realizza campionando la sorgente che, con la sua processa di elemento p_C(t) = 1 se t < b, 0 altrimenti. \[ x_A(t) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} x(t-k\tau) \

Oltre possiamo riuscire a v_A(t) a parte dei... della segnale.

Il processo affermerebbe su:

1. v_A(s) ha l'aporta del Valle reale \[ v_A(\beta) sia oppure limitato in (B, α) con \[ B = \mathrm{inf} \{ \mathbb{R}