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somma di un segnale a supporto limitato +
segnale a sup. illimitato ha energia e potenza
del segnale illimitate.
Segnali generici:
En = ∫ |x(t)|2 dt → E∞ = \(\infty\)
Pn = (1/2T) ∫ |x(t)|2 dt → P∞
ENERGIA E
POTENZA
En = ∑ |x(n)|2 → E∞ = \(\infty\)
Pn = (1/2N) ∑ |x(n)|2 → P∞ = \(\infty\)
Simmetrie
Pari → x(t) = x(-t)
Dispari → x(t) = -x(-t)
Reale → x(t) = x*(t)
Immaginario → x(t) = -x*(t)
Segnali periodici:
ET = ∫ |x(t)|2 dt → E∞ = \(\infty\)
PT = (1/T) ∫ |x(t)|2 dt → P∞ = PT
EN = ∑ |x(n)|2 → E∞ = \(\infty\)
PN = (1/N) ∑ |x(n)|2 → P∞ = PN
Proprietà:
f(t), g(t) = f(o)g(t) ↔ x(n)*δ(m) = x(m)
δ(t') + 1(t-to) = 1(t-to) ↔ x(m)*δ(m-to) = x(m-to)
x(t)*δ(t-to) = x(t-to) ↔ x(m)*δ(m) = x(o)δ(m)
∫ δ(t-to). x(t) = x(to)
Sistemi LTI:
L'uscita ha sempre la stessa frequenza dell'entrata.
- Risp. impulsiva Caso canonico: h(n) = α\(^n\)1(m) → y(m) = ∑ h(n-k)x(k)
- Caso canonico: h(t) = Ce-at1(t) → y(t) = ∫ h(t-τ)x(τ)dt
L'uscita di un LTI è la convoluzione:
y(n) = ∑ h(n-k)x(k)
y(t) = ∫ h(t-τ)x(τ)dt
Formule per la convoluzione: se ho x2
R, risultato della serie, e: sup infinito m=0 ∑ qⁿ ⇾ 1/(1-q) m=0 ∑ a qⁿ ⇾ a/(1-q) m=m0 ∑ a qⁿ ⇾ a qm0 / (1-q)
sup m0 m=a ∑ qⁿ ⇾ 1-qⁿ m=a ∑ a qⁿ ⇾ 1-a qⁿ+1 m=m0 ∑ a qⁿ ⇾ 1-a qn0
-se è sommatore col valore assente, tipo ∑(-4)-k separo in questo modo: ∑k2 4-k + 4-k0 parto da -a al posto termine con k=0
Proprietà ITI
causale se e solo se t < R0 h(t) = 0 BIBO se e solo se ∑-∞∞ |h(k)| < ∞
Risposte in freq. H:
H(juω) = ∫-∞∞ h(t)e-ju
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