Segnali e sistemi (Teoria)

somme di un segnale a supporto limitato +

segnale a sup. illimitato ha energia e potenza

del segnale illimitato. !!!

Segnali generici:

EN: = ∫ |x(t)|² dt → E∞ : ∫ |x(t)|² dt

P∞ : = x(t) dt → P∞ = 0_-∞

t-taul

Energia e Potenza

Em: = ∑ |x(m)|² → E∞ : = lim_N→∞ ∑ |x(m)|²

P∞ : = lim_N→∞ x(m)²

Simmetrie dei segnali:

PARI = x(t) = x(-t) DISPARI = - x(t)

REALI = x(t) = x*(t) = - x(t)

Segnali periodici:

ET: = ∫ |x(t)|² dt → E∞: ∞

PT: = x(t) dt → P∞

EN: = ∑ |x(m)|² → E∞: ∑ |x(m)|²

Proprietà GRADINO:

f(t), g(t) = f(0)g(t)

x(t)* δ(t-t0) = x(t-t0)

x(m)* δ(m-t0) = x(t-t0)

Sistemi LTI:

Risposta impulsiva

h(m) = x(m)

h(t) = e^-at

x(t) = y(t)

L'uscita di un LTI è la convoluzione: DISCRETO = y(m) : ∑ x(k)

Supporto della convoluzione è

le somme dei supporti

CONTINUO = y(t) = ∫ x(t) dt

somma di un segnale a supporto limitato +

segnale a sup. illimitato ha energia e potenza

del segnale illimitato !!!

Segnali generici:

EN = ∫ |x(t)|² dt > E∞ = 0

P∞ = lim_T→∞ 1/2T ∫ |x(t)|² dt

t = -T a T t = -∞ a +∞ t = -∞ a +∞

CONTINUO

EN = ∑ |x(m)|² E∞ = lim_N→∞ 1/2N ∑ |x(n)|²

P∞ = lim 1/2N+1 ∑ |x(m)|²

P∞ = lim 1/2N+1 ∑ |x(n)|²

N = -N a N N = -∞ a +∞ N = 0 a N

DISCRETO

Segnali simmetrici:

S _REMITTAN x(t) = x(-t)

PARI x(t) = x(-t) DISPARI x(-t) = -x(t)

Simmetrici rispetto origine

REALE x(t) = x’(-t) IMMAGINARIO x(t) = -x’(-t)

Segnali periodici:

ET = ∫ |x(m)|² dt > E∞ = ∞

P∞ = 1/T ∫ |x(t)|² dt > P∞ = PT

CONTINUO

EN = ∑ |x(m)|² > E∞ = ∞

PN = 1/N ∑ |x(m)|² > P∞ = PN

DISCRETO

Proprietà:

f(t) e δ(t) = f(0)δ(t)

RECTO → ∑(m) x(m)δ(m) = x(m)

δ(t) ∗ 1(t-to) = 1(t-to)

t = -∞ a +∞ t = -∞ a +∞

x(t) ∗ δ(t-to) = x(t-to)

RECTO → x(m) ∑(m-to) = x(m-to)

∫ δ(t-to) · x(t) = x(to)

CONTINUO

DISCRETO

Sistemi LTI:

L’uscita ha sempre la stessa frequenza dell’entrata.

Risp. impulsica:

h(m) = α^m1(m)

y[m] = ∑ αⁿu[n-n0]

DISCRETO

x(m) = 1(m)

1 a n0 a n∞ 1 a n0

CONTINUO

h(t) = 1 . e ^-at1(t)

x(t) = 1(t)

y(t) = 1(t)

0 a +∞

c . e ^-at+t∞

L’uscita di un LTI è la convoluzione:

DISCRETO

y[m] = ∑_{k=-∞ a +∞} h(n-k)x(k)

IL supporto della convoluzione è

CONTINUO

y(t) = ∫_{-∞ a +∞} (h(t-τ)x(τ))dτ.

Formula per es. condizione

sup-inf a

- se ho ^m+1∑_k=n allora n+^∞∑_n=0

^m∑_n=0 qⁿ = _{1 - q^m+1}/^{1 - q}

- se ho ^∞∑_n=0 qⁿ = ₁/^{1 - q}

- se ho sommatoria col valore assoluto, tipo ^∞∑_k=0 2^-k, separo in questo modo:

^∞∑_k=0 2^-k + 4^-k

pare di infinito + 0 = + infinito - termine con k=0.

Proprietà LTI

causale se e solo se L(0) h(k) e 0.

BIBO se e solo se ^∞∑_k=0 |h(k)| < ∞

Risposta in freq H:

H(jω) = ^∞∫_-∞ h(t)e^-jωt dt - CONTINUO

H(e^jω) = ^∞∑_k=-∞ h(k)e^-jωk - DISCRETO

Intrano x(t) esponenziale in un LTI: y(t) = H(jω)x(t)

Intruso x(t) sinusoidale: modulo di H(jω) e sfasato di L(H(jω)).

Serie di Fourier

a_π = ¹/_{T0 x(t)e^-jωt dt, a∞ = ¹/T0 x(t) dt}

CONTINUO

x(t) = ^∞∑_k=−∞ a_ke^jωt - SERIE DI FOURIER.

Coefficiente di Fourier nel caso quadrato

CONTINUO

• k(t) = A₀ seno (Kωt)₀
• k(0) = A_{0 don}

- treno di impulsi a_π = Ampiezta A₀ e trenato in T₀

Tⁿx(jω) = A₀ t e^-jωTo

Trovare X(jω) avendo i coeff di Fourier: X(jω) = ^∞