Teoria Scienza delle Costruzioni -236 pagine- Geometria masse, Sollecitazioni, Deformazioni e Tensioni, DSV, Instabilità

Geometria delle masse

Trasformazione del vettore posizione

Dati 3 sistemi di riferimento: {Oxy}, {Ōx̅y̅}, {O̅x*y*}, e data una figura piana di area A:

Si può dire che:

X̅ = x - x_o

Y̅ = y - y_o

Quindi:

V̅ = V - V_o

Le coordinate x̅ e y̅ sono legate anche ai sistemi di riferimento x* e y* secondo le relazioni:

x̅* = x̅ cos Φ + y̅ sin Φ

y̅* = -x̅ sin Φ + y̅ cos Φ

e quindi matricialmente:

r̅* = [N] · r̅

dove [N] = [ cos Φ sin Φ ] ~ matrice di rotazione

             [ -sin Φ cos Φ ]

Trasformazione del vettore dei momenti statici

Si definisce vettore dei momenti statici relativo dell'area A nel piano xy:

S = { S_x } = { ∫_A x dA } = ∫_A r dA

        { S_y }

        { ∫_A y dA }

Geometria delle masse

Trasformazione del vettore posizione

Dati 3 sistemi di riferimento: {o x y}, {o̅ x̅ y̅}, {o* x* y*} e data una figura piana di area A:

Si può dire che:

x̅ = x - x₀

y̅ = y - y₀

Quindi:

v̅ = v - v₀

Le coordinate x̅ e y̅ sono legate anche al sistema di riferimento x* e y* secondo le relazioni:

x* = x̅ cosθ + y̅ sinθ

y* = -x̅ sinθ + y̅ cosθ

e quindi matricialmente:

r* = [N] ⋅ r̅

dove

[N] = [ cosθ sinθ ] → matrice di rotazione

      T[ -sinθ cosθ ]

Trasformazione del vettore dei momenti statici

Si definisce vettore dei momenti statici relativo dell'area A nel piano xy:

S = | S_y | = {| ∫_A x dA | = | ∫_A r dA |}

           | S_x |            | ∫_A y dA |

Considerando invece il sistema xy:

_S = {_{Sy Sx}} = ∫_A {_{y x} } dA = ∫_{A r̅} dA

E' ovvio che:

_r̅ = r̅ - r̅_o

∫_{A r} dA - r̅_o ∫_A dA = _S - r̅_o A

{ S_y = S_y - Ax_o. S_x = S_x - Ay_o.

E' noto che in corrispondenza del baricentro geometrico della figura il momento statico è nullo, è possibile individuare le coordinate di tal punto particolare:

S_y = Ax_o ⇒ x_o = _{Sy A}

S_x = Ay_o ⇒ y_o = _{Sx A}

Considerando ora il sistema di riferimento x^*y^*:

_S^* = ∫_A | _R̅* dA

È da dove visto che:

^—— | _R* —— | [ N ] | r̅| = [ N ] ∫_A | _r̅ dA

Sviluppato nelle due dimensioni da:

1. S_*y^* = S_y cosθ + S_x sinθ
2. S_*x^* = - S_y sinθ + S_x cosθ

I numeri statici sono nulli per gli orpè a essi ortogonali baricentrici se l'origine di tali assi non coincide con il baricentro non esiste angolo Θ che annulli contemporaneamente S_x e S_y:

S_y=0 per: Θ = arc tg {- S_x/S_x }

S_x=0 per: Θ = arc tg { S_x/S_y }

Trasformazione del tensore dei momenti d'inerzia

Considerato il prodotto diadico:

r . r^T = {x² x }

Il dia tensore dei momenti d'inerzia relativo ell'area A rispetto ai riferiments x y:

[I] = [ I_yy I_xy ] = [∫_A x² dA ∫_A xy dA  

[I_yy I_xx ] = ∫_A yx dA ∫_A y² dA ]

     = [ ∫_A (r . r^T) dA

è ero autogenerati:

[Ī] = [ ∫_A (v - v_o) ^T dA

     = ∫_A (v - v_o) . (r^T - v_o ^T) dA

Sviluppando i termini si ottiene,

[I_T]=[I_xcyc