Teoria Scienza delle Costruzioni -236 pagine- Geometria masse, Sollecitazioni, Deformazioni e Tensioni, DSV, Instabilità

Geometria delle Masse

p. 25

Trasformazione del vettore posizione

Dati 3 sistemi di riferimento ^xO^{y x'}O^{y' x''}O^y'' e data una figura piana di area A:

Si può dire che:

• _X = X - X_o
• _Y = Y - Y_o

Quindi:

_r = r - r_o

Le coordinate ^X e ^Y sono rette orate e riferimenti _x e _y secondo le relazioni:

• ^x = X cosθ + Y sinθ
• ^y = -X sinθ + Y cosθ

E quindi matricialmente:

_r' = [N] ⋅ _r dove [N] = [cosθ sinθ] [-sinθ cosθ] → matrice di rotazione

Trasformazione del vettore dei momenti statici

Si definisce vettore dei momenti statici relativo dell'area A nel piano xy:

S = [_{Sy Sx}] = [∫_A x dA ∫_A y dA] = ∫_A r dA

Considerando invece il sistema xy:

^S = [^S_y, ^S_x] = [∫_A x dA, ∫_A y dA]

ed essendo ^r = ^r₀ + ^r

∫_A (^r - ^r₀) dA = ^r - ^r₀A

[^S_y, ^S_x] = [S_y - A x₀, S_x - A y₀]

S_y = A x₀ ⟶ x_u = S_y / A

S_x = A y₀ ⟶ y_u = S_x / A

Considerando ora il sistema di riferimento x\* y\*:

^S\* = ∫_A ^r\* dA

[^N] [^r\*] = [^r]

∫_A [^r\*] dA = [^S]

che sviluppato nelle due dimensioni dà:

{ S_y\* = S_y cosθ + S_x sinθ

S_x\* = -S_y sinθ + S_x cosθ

I_xx = I_xx + A_iy_i² = 1/12 bℓ³ + bℓ (θ_x/2)² = bℓ_e³/3

I_yy = I_yy + A_ix_i² = 1/12 bℓ³ + bℓ (b/2)² = bℓ_e³/3

I_xy = I_xy + A_ix_iy_i = 0 + bℓ (ℓ_e/2)(b/2) = bℓ_e³/4

example (sezione sottile)

∮ approssimante piccolo

I_xx = 1/12 ∮³ e

⟶ ⌀

I_yy = 1/12 e³ δ

example

H = 210 mm

b = 100 mm

δ = 5 mm

ℓ_e = H - 2 δ = 200mm

• G₀ = [b/2 ; ℓ_e + δ + δ/2]
• G₀ = [V/2 ; δ + b/2]
• G₃ = [b/2 ; δ/2]

AREE:

• A₀ = b δ
• A₀ = ℓ_e δ
• A₃ = b δ

BARICENTRO:

• Y_g = H/2
• X_g = ΣA_i X̅_gi / ΣA_i

Discussione statica

La discussione statica trova le reazioni vincolari, definisce le caratteristiche di vincoli e le C ripartite nelle reazioni.

Dato uno schema di equilibrio:

Scrivo equilibrio di forze e momenti:

Deen forma matriciale:

1. sinθ 1 0
2. cosθ 0 1
3. 0 0 e

Per Rouche-Capelli: affinché il sistema ammetta soluzioni, è condizione necessaria e sufficiente che il rango M della matrice [A] sia uguale al rango M della matrice completa.

[A] = [B]^T

Analisi della deformazione e della tensione

Entità della deformazione

Lo spostamento di un qualsivoglia punto P può essere visto come una traslazione + una rotazione.

s = s₀ + θ ∧ OP

Considero ora un corpo C, continuo e deformabile, che in un istante t = 0 trovi in una determinata posizione iniziale. Prendiamo ora in considerazione un punto P_i, interno al corpo, e di coordinate x y z nella configurazione iniziale.

Caratteristiche di f

Si definisce f la funzione spostamento, quella corrispondenza che associa al vettore posizione r, il vettore spostamento s.

• R³ → R³
• f: C → C'
• f: P → P'
• f: r → s

1. f deve essere una funzione invertibile, ossia ad ogni punto P può corrispondere un solo punto P' (e quindi autoimmagine invertibile, è valido quindi anche l'inverso).
2. f deve essere biunivoca.
3. Due punti vicini nella configurazione indeformata devono essere altrettanto vicini nella configurazione finale.

una nel caso del piano xy questo detto è valido anche

per altre due dimensioni.

si nota che i termini dxy sono esattamente il doppio delle

componenti z del Tensore [E_p],

ciò si può quindi dire:

¹⁄_{2 (} ^∂u_x⁄_∂y ^{+ ∂u_y}⁄_{∂x )} ^{= γ_xy}

¹⁄_{2 (} ^∂u_z⁄_∂y ^{+ ∂u_y}⁄_{∂z )} ^{= γ_yz}

¹⁄_{2 (} ^∂u_z⁄_∂x ^{+ ∂u_x}⁄_{∂z )} ^{= γ_xz}

È possibile ora riscrivere il tensore delle deformazioni

sostituendo i termini delle deformazioni specifiche e

degli scorrimenti angolari come:

[_Ep] = _[ ^{E_x 1}⁄₂ ^{γ_xy 1}⁄₂ ^{γ_xz ]}

¹⁄₂ ^{γ_yx E_y 1}⁄₂ ^γ_yz

¹⁄₂ ^{γ_zx 1}⁄₂ ^{γ_zy E_z}

Trasformazione del tensore delle deformazioni per rotazioni

del sistema di riferimento

Consideriamo l'intorno di un punto P, di raggio unitario:

|P| = 1

S_P = S_p + [_ϕP]dr + [_Ep]dr

Supponiamo di avere noto

riferimento di posizione originario

vincolante sul tensore E_p.

6 determinano quindi il vettore spostamento S₂ delle componenti

di tratto solo tenere e similia il Se & Npp. Staremo da

1. I₁ si dice traccia di [E] ed è data dalla somma dei termini della diagonale principale di [E]:

I₁ = ε_x + ε_y + ε_z

• I₂ è il secondo invariante ed è dato dalla somma degli opposti dei determinanti dei minori principali della matrice [E]:

I₂ = [ ε_x 1/2 γ_yx ] [ ε_x 1/2 γ_zx ] [ ε_y 1/2 γ_zy ] [ 1/2 γ_xy ε_y ] - [ 1/2 γ_xyz ε_y ] - [ 1/2 γ_yz ε_z ]

• I₃ è il terzo invariante ed è dato dal determinante della matrice [E]

I₃ = det[E]

Da tale risoluzione si troveranno 3 soluzioni i₁, i₂, i₃ corrispondenti rispettivamente ad ε_x, ε_y, ε₃, asse delle diectioni principali. Tali sono gli autovalori della matrice di potenza, e sono necessariamente reali poichè quest’ultima è simmetrica. Necessario precisare che le diectioni principali non dipendono del sistema di riferimento.

Nella riorganizzazione mediante gli autovalori i₁, i₂, i₃, si troveranno i 3 corrispondenti autovettori M, M₂, M₃, inuitamente ortogonali, i quali identificano le 3 direzioni degli assi principali. Gli autovalori i possono però non essere distinti, si evidenziano quindi diversi casi:

1. ε_x + ε_y + ε₃ → 3 diectioni principali inuitamente ortogonali