Teoria perturbativa e sistemi molecolari

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Appunti chiari e con definizioni su: equazione di Schrodinger, ermeticità di un operatore, statistiche di un sistema di particelle, funzioni d’onda, teoria perturbativa non …

Esame Chimica fisica 2

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Università Università degli Studi di Padova

A.A. 2022-2023

59 pagine

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STATO STAZIONARIO: costante nel tempo

eq. Schrödinger

H ϕ = Ξ ϕ

-> eq. differenziale

protone ad alcune notazioni approssimatee bisogna capire quanto approssimate

autofunzioni

H ϕ = Ξ ϕ

quantità misurata

autovalori (energia)

proprietà del Hamiltoniano contiene tutteenergia cineticadel sistema (operatorequantistica meccanica H

T = Ek = p²

_2m

(ħ

_{i dx}

) (ħ

_{i dx}

) - ħ²

^{2m dx²}

dS (x)

_{-i dx}

V = 1 Kx²

₂

-1 Kx²

₂

H = ħ²

_{2m dx²}

+ 1 Kx²

₂

P ϕ = cost ϕ

_-i

∂

- cost ϕ

∂ d*

_{i dx}

^iKx

= i

- (ħ

A (iK)

- ħKA

^ikx

- ħKA e ıkx

ħKA e στοk

=-o ħKA e

^ikx

=- ħ KA e

^ikx

valore in approssimazione

ω = 〈

∫

_{+∞ -∞}

dx dommage

autovalori

valore atteso -> valore misurato

Ψ* => Ψ

ω = 〈

∫

_{+∞ -∞}

= ω

prossimità → non conosce

amissiblile lo spazio là 상 pelor caso는

simpio사게 autoine

STATO STAZIONARIO

estratto nel tempo

eq. Schrödinger H ψ = Ξ ψ

porta ad alcune soluzioni approssimate

e bisogna capire quanto approssimata è

H ψ = Ξ ψ quantità misurata

autofunzioni ⇆ autovalori

contiene tutte le proprietà del sistema

quantistica (operatore) H

T = Ek = ^p²/_2m

^ħ/_idψ/dx - Sⱼ

1/2m (ħ/i d/dx) (ħ/i d/dx) - ħ²/2m d²/dx²

V = 1/2 Kx²

-1/2 Kx²

H = ħ²/2m d²/dx² + 1/2 Kx²

ψ = e^ikx

k/i d/dx (Ae^ikx) = ħkA e^ikx - ħKA e^ikx = ħK ψ

proporzionale a ψ

h/λ = p relazione di De Broglie

valore di aspettazione

∫φ^* Ω φ dx = ω (autofunzione)

∫(ψ^* Ω ψ dx) = a

Φ = ω Φ

ω_n = ω_n

ω per autofunzione → valore atteso e autovalore

Sommatoria ...

Φ = C₁Φ₁ + C₂Φ₂ + ... = Σ C_kΦ_k

∫ ω Φ

Pondera con coefficiente

HERMETICITÀ

∫ Ψ Ω Ψ dτ = ∫ Ψ Ω Ψ dτ

autofunzioni ortogonali

∫ Ψ_i Ω Ψ_k dτ = ∫ Ψ_j Ω Ψ_i dτ

x = Hermitiano

= 0

L'integrazione per parti

= 0

probabilità _n tutte P_osperro che Ψ_c,o = 0Ψ all'infinito e zero

è un operatore Hermitiano

Per energia cinetica

non può essere zero

operatore energia cinetica è Hermitiano

Se l'operatore è Hermitiano allora

^* d² = d²

proprietà

perché funzione normalizzate

perché operatore Hermitiano

ortonomalizzate tra le autofunzioni

= δ_i,j i = j = 1i ≠ j = 0

E_m ≠ E_nse E_m - E_m allora non è detto che le autofunzioni siano ortogonali.

E_m ∫ ψ_mψ_n dτ = E_m∫ψ_m E_n ψ_n dτ

= E_m { ∫ ψ^*_m ψ_n dτ }^*

= E_m { ∫ ψ_m ψ_n dτ }

(E_m - E_m) ∫ ψ_mψ_ndτ = 0 → ∫ψ_mψ_ndτ = 0 funzioni ortogonali

2 particale

H₁ψ₁(r₁) = E₁ ψ₁(r₁)

H₂ψ₂(r₂) = E₂ ψ₂(r₂)

Ψ(r₁,r₂) = ?

H Ψ(r₁,r₂) = H₁ + H₂

Ψ(r₁,r₂) ≡ ψ₁(r₁) ψ₂(r₂)

H₁ + H₂ | ψ₁(r₁) . ψ₂(r₁)

1 | H₁ ψ₁(r₁) . ψ₂(r₂) + H₂ ψ₁(r₁) ψ₂(r₂)
2 | H₁ ψ₁(r₁) . ψ₂(r₂) + ψ₁(r₁) H₂ ψ₂(r₂)
3 | ψ₂(r₂) H₁ ψ

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