Teoria metodo delle forze - parte 5

Metodo delle forze

Il metodo delle forze è applicabile per strutture iperstatiche. Il PLV non si può usare perché si basa sull'ECS (struttura isostatica). Nella struttura iperstatica rimaniamo con soluzioni (i gradi di iperstaticità). Se la struttura è iper, posso usare i seguenti metodi:

• Metodo delle forze
• Metodo dei momenti
• Linea elastica (travi continue)

Esempio

1. V ≥ 3 ⇒ 4 > 3 ⇒ 1 volta IPER "La struttura assegnata"
2. Sopprimiamo una condizione di vincolo, prendendo la struttura isostatica e al posto del corretto mettiamo un'incognita iperstatica.

"Sistema principale isostatico" 1x (incognita iperstatica)

3. Per ripristinare l'equivalenza statica tra le due strutture devo aggiungere in B una forza reattiva che rappresenta l'incognita iperstatica (X) e rappresenta la reazione vincolata del vincolo che ho soppresso. Il sistema appena costituito è detto "sistema principale isostatico".

Osservazioni

Dal punto di vista cinematico (degli spostamenti) vi è una differenza tra i due sistemi perché c'è differenza dello spostamento verticale in B e varia al variare di X. Devo determinare quel valore di X che mi renda nullo lo spostamento verticale in B; devo rispettare la congruenza (o compatibilità cinematica) tra i due sistemi.

5. Si introduce l'equazione di congruenza che renderà le 2 strutture cinematicamente equivalenti

Lv_Est = Lv^Int

Dopo aver determinato le equazioni di congruenza, imposto tale equazione e uso il PLV per trovare il parametro cinematico.

Metodo delle forze

Il metodo delle forze è valido per strutture iperstatiche. Esistono C soluzioni ("grado di iperstatica").

• Metodo delle forze
• Metodi dei momenti
• Linea elastica (travi continue)

Esempio

1. Ver ≥ 3 ⇒ 4 > 3 ⇒ 1 volta IPER "La struttura assegnata"
2. Sopprimiamo una condizione di vincolo, rendendo la struttura isostatica e al posto del corretto mettiamo un’incognita iperstatica.

"Sistema principale isostatico" 1x (incognita iperstatica)

3. Per ripristinare l'equivalenza statica tra le due strutture devo aggiungere in B una forza reattiva che rappresenta l'incognita iperstatica (X) e rappresenta la reazione vincolata del vincolo che ho soppresso. Il sistema appena costituito è detto "sistema principale isostatico".

Osservazioni: Dal punto di vista cinematico (degli spostamenti) vi è una differenza tra i due sistemi perché nello stesso carico lo spostamento verticale in B è ≠ tra i due sistemi. Devo determinare quel valore di X che mi renda nullo lo spostamento verticale in B dei due rispetto la congruenza (o compatibilità cinematica) tra i due sistemi.

5. Si introduce l'equazione di congruenza che renderà le 2 strutture cinematicamente equivalenti.

Lv_est = Lv_int

Dopo aver determinato le equazioni di congruenza, risolto l’equazione uso il PLV per trovare il parametro cinematico.

Esempio impostazione esercizio per orale

Ve ≥ 3m → 6 > 3 → 3 volte iper

1. Rendo iso la struttura (togliendo 3 gradi vincolo in base a quante volte è iper)

Studio il caso (a). SP=SD

Equazioni di congruenza, parametri cinematici, riguardo le incognite del sistema (in questo caso sono 3) Parametri cinematici in B

• WB = 0
• VB = 0
• φB = 0

Esprimiamo per trovare i parametri cinematici Uso il PLV, per esplicitare queste equazioni, dicendo che: Lv_INT = Lv_EST

Luov_EST = 1 • WB Lv_INT = N^_EA + M^_BA + F^N^_EJ + P^T^_EJ + H^c^_GB • Lv_EST = 1 • PB

Studio le reazioni vincolari del sistema in generale

1. X: X - H_A = 0
2. V_y: y - V_A + qL = 0
3. Polo (A): 2 - 2A - yL - qL²/2 = 0

H_A = x V_A = y + qL - 2A = -x + yL + qL²/2

Trovo le reazioni vincolari, trovo le caratteristiche della sollecitazione:

1. N(z) = X
2. T(z) = (y + q(1-z))
3. H(z) = z - y(L-z)/2 - q(1-z)²)

Polo ribaltato

1. z = 0
2. z₁ = 2

(Da esplicitare in funzione delle incognite) WB?

1. (C_S1)

x = 1

1. WB = ∫(N̂N̂/EA + p(T̂T̂/GA + M̂M̂/EJ)d)dl
2. WB = ∫₁ (x/EA) dz = xL/EA
3. WB = xL/EA

→ 1. WB = 0 → x = 0

1. (C_S2)

L - 2A + 4 + qL²/2

1. (N̂(z)=0, T(z)=1, H(z)=-1(L-2))

y + q(1-z) = 1 ↑

1. LV^EST = LV^INT1.(∫L/0 (N̂/EA + (p(T̂)/GA) + (Ĥ/EJ)) dz = L+ ∫₀ 1/ES ∫0 (1(L-2)(2-y(L-z)-q(1-z)²/2)] dz)

V_B = Risultato integrale3) Ñ₃ = 0 T̃₃ = 0 M̃₃() = 1 LV^σ = L^INT= ∫₁^L (N̂^Ñ/ÊA + T̃̂/ĜA + M̃̂/ÊJ) dL_ϕ₈ = 1/ÊJ ∫₁^L (2-y(-)-q(L-)²/2) dL_₈ = RISULTATO INTEGRALE Tendo i 3 risultati degli integrali li costruisco mediante di congruenza scritte all'inizio: (WB ⟶ XL/ÊA = 0 ⟶ x = 0 ⟶ N() = ∅)(VB ⟶ ... ⟶ y = -qL/2)(ϕ_₈ ⟶ ... ⟶ = 1/12 ql²) devo modificare i versi delle reazioni₍₎ ^(L-)1/12 ql²L/2 ql = (versi modificati)1/2 ql = y (versi modificati)

Leggi di variazione

N() = 0 T() = qL/2 + q(L-) ⟶ = 0 ⟶ qL/2 ⟶ = L ⟶ -qL/2 M() = L/2 ql(L-) - 1/12 ql² - q(L-)²/2⟶ = 0 ⟶ -1/12 ql²⟶ = L ⟶ -1/12 ql² M_max ⟶ ( = L/2) ⟶ 1/24 ql²

Lavoro

Un campo di spostamento u definito su B è ammissibile se esso è regolare su tutto B (nel senso che sulle 3 funzioni u_i; (i=1,2,3) è possibile eseguire tutte le normali operazioni matematiche di integrazione, derivazione ecc.). Un campo tensiore T_i^j è anch'esso ammissibile per B (continuo e derivabile) se esso è regolare su tutto B. Dal lemma fondamentale di Cauchy Siano u(x) e T(x) due campi ammissibili definiti su B si dimostra che:

∫_∂B (T^ˆ * m)ⁱ * uⁱ dA = ∫_B div T^ˆ * u dV + ∫_B T^ˆ ⋅ H dV

forze di superficie T^ˆ * ˆm = forze di volume ~ gradiente del campo di spostamento Du Il LAVORO, che un qualunque sistema di tensomi t^ˆ_i = T^ˆ_i agenti sulla FRONTERA di un CORPO CONTINUO B, compie, par effetto di un campo AMMISSIBILE di SPOSTAMENTO, è uguale a alla somma del LAVORO che div T^ˆ_i o T_i compiono per effetto dello spostamento medesimo.

∫_∂B (T^ˆ * m)ⁱ dA = ∫_B div (T^ˆ * u) dV= ∫_B div T^ˆ * u + T^ˆ ⋅ H dV - T = T^ˆ IDENTITA' DIFF.

Teorema dei lavori virtuali

“Teorema Bernoulli”

Def: Un sistema di forze, di volume, di superficie e di tensioni si dice equilibrato se e solo se T^m = Δ ∀x ∈ ∂B div Tb + b = 0 ∀x ∈ B T = T^T, T ∈ Sym, T ammissibile ∀x ∈ B

Def: Un sistema di spostamenti e di deformazioni si dice congruente, se μ è ammissibile e è un campo di deformazione congruente, legato agli spostamenti mediante la relazione di congruenza. E = 1/2 (∇u + ∇u^T)

Teorema dei lavori virtuali in cui: L_V^EST = L_V^INT vale ∀ sistema

Identità dei lavori virtuali

Vediamo che:

∫_∂B s^m · μ dA + ∫_B b₀ · μ dV = ∫_B T · E dV

Teorema dei lavori virtuali esterni computato dalle forze esterne per un qualsiasi spostamento virtuale, è uguale al lavoro virtuale interno che il campo delle tensioni compie per effetto della deformazione relativa allo spostamento prescelto.

Dimostrazione della seguente relazione:

Dal lemma fondamentale:

1. ∫_∂B T^m · u dA = ∫_B div T · u dV + ∫_B T · ∇u dV

Applicando le relazioni di equilibrio:

\[ \int_{V} M \vec{a} = 0 \quad \forall x \in \partial B \quad (\text{dalla frontiera}) \]

\[ \text{div} T = -b \quad \forall x \in B \]

\[ T = T^T \implies T \in \text{Sym} \quad T \text{ ammissibile} \]

Se \( A \in \text{Sym} \implies A \cdot B \equiv A \text{Sym}(B) \quad \forall B \in \text{dim} \)

(\(A\) risulta essere se pareti simmetriche di B)

1. Otteniamo: (sostituendo con le relazioni di equilibrio)

\[ \int_{\partial B} \hat{\sigma} \cdot u \, dA = \int_{B} b \cdot u \, dV + \int_{B} T \cdot \left(\text{Sym} \hat{H}\right) \, dV \]

\[ \int_{\partial B} \hat{\sigma} \cdot u \, dA + \int_{B} b \cdot u \, dV = \int_{B} T \cdot E \, dV \]

Identità triangolare di congruenza equilibrio

Se valgono i due vertici, vale anche il terzo vertice. Se \( E \equiv 0 \land L_{V_{EST}} = 0 \) se il corpo è rigido, il PLV vale indipendentemente dalla natura del materiale di cui si tiene conto.