Scienza delle Costruzioni Teoria

Metodo delle forze - Dimostrazione

Principio del minimo dell'energia complementare totale

Il metodo delle forze può essere descritto attraverso il principio di minimo dell’energia complementare totale _c. L’energia complementare totale _c all’interno di una trave è:

_c = (1/2)∫(N²/EA + T²/6A² + M²/EJ)dj - R_0jy̅_gj

energia di deformazione del sistema di travi lavoro compiuto dalle reazioni vincolari [R_0j] sui cedimenti assegnati

Sistema iperstatico e schemi isostatici

Nel caso generale di un sistema iperstatico è possibile esprimere i valori delle caratteristiche delle sollecitazioni N, T, M e delle reazioni vincolari _R0j come sovrapposizione di n+1 schemi isostatici, se m è il grado di iperstaticità delle strutture.

• N = N₀ + N₁x₁ + N₂x₂ + ... + N_nx_n
• T = T₀ + T₁x₁ + T₂x₂ + ... T_nx_n
• M = M₀ + M₁x₁ + M₂x₂ + ... M_nx_n
• R = R₀ + R₁x₁ + R₂x₂ + ... R_nx_n

Queste equazioni, la sostituzione all’interno dell’energia complementare totale e l'imporre la condizione di minimo rispetto agli incognite iperstatiche x₁, x₂, ..., x_n, si ottiene un sistema di equazioni che costituiscono proprio le condizioni di compatibilità cercate. Esplicitando tale sistema in forma matriciale si ottiene _c,xn=0 ⇒ /x = b

Dettagli di calcolo nel metodo delle forze

Il metodo delle forze può essere descritto verificando il principio di minimo dell'energia complementare totale. L'energia complementare totale all'interno di una travé è:

Ilc = ¹/₂ ∫ ( ^N2/_EA + ^T2/_GA' + ^M2/_EIz ) dy - R_oj y_oj

energia di deformazione del sistema di travi lavoro compiuto dalle reazioni vincolari sui cedimenti assegnati

Nel caso generale di un sistema iperstatico è possibile esprimere i valori delle componenti delle sollecitazioni N, T, M e delle reazioni vincolari R_oj come sovrapposizione di m+1 schemi isostatici, se m è il grado di iperstaticità della struttura.

• N = N₀ + N_x1 x₁ + N_x2 x₂ + ... + N_xn x_n
• T = T₀ + T_x1 x₁ + T_x2 x₂ + ... + T_xn x_n
• M = M₀ + M_x1 x₁ + M_x2 x₂ + ... + M_xn x_n
• R = R₀ + R_v1 x₁ + R_v2 x₂ + ... + R_vn x_n

Queste equazioni e la sostituzione all'interno dell'energia complementare totale, con l'imposizione della condizione di minimo rispetto alle incognite iperstatiche x₁, x₂, ..., x_n, portano a un sistema di equazioni che costituiscono le condizioni di compatibilità cercate. Esplicitando tale sistema in forma matriciale si ottiene:

Ilc,x_i=0 ⇒ [ X ] x = b

F_ij = ∫_S (N_iN_j/EA + T_iT_j/GA_z + M_iM_j/EJ) ds = F_i; b_i = ∫_S (N_oN_i/EA + T_oT_i/GA_z + M_oM_i/EJ) ds + R_iū

F_ij sono i coefficienti della matrice simmetrica F detta matrice di flessibilità e b_i sono i termini noti del sistema.

Esempio di sistema iperstatico

Note del sistema le incognite iperstatiche X₁, x₂,…, x_n, le caratteristiche delle sollecitazioni possono essere ricavate combinando gli schemi isostatici parziali. Ad esempio, per un sistema a volte per un sistema ho che:

Si isola la struttura rendendola isostatica, mettendo un livre di incognite iperstatiche x₁, x₂

Struttura isostatica equivalente

Avremo 3 schemi da risolvere (cioè n+1 schemi isostatici)

• Schemi "0"
• Schemi "1"
• Schemi "2"

Le equazioni sono:

• N = N_o - N_x + N_xx₂
• T = T_o - T_x + T_xx₁
• M = M_o + M_x + M_xx₂
• R = R_o + R_x + R_xx₁

Sostituendo queste equazioni nell'energia complementare totale:

_ΠC = λ/2