Scienza delle Costruzioni Teoria

Metodo delle Forze - Dimostrazione

Il metodo delle forze può essere descritto mediante il principio di minimo dell'energia complementare totale. L'energia complementare totale all'interno di una trave è:

Uc = 1/2 ∫ (N²/EA + T²/GA_* + M²/EJ) ds - R_ju_j

energia di deformazione del sistema di travi

lavoro compiuto dalle reazioni vincolari sui cedimenti assegnati

Nel caso generale di un sistema iperstatico è possibile esprimere i valori delle componenti delle sollecitazioni N, T, M e delle reazioni vincolari R_j come sovrapposizione di n+1 schemi isostatici, se m è il grado di iperstaticità della struttura.

• N = N₀ + N₁x₁ + N₂x₂ + ... + N_nx_n
• T = T₀ + T₁x₁ + T₂x₂ + ... + T_nx_n
• M = M₀ + M₁x₁ + M₂x₂ + ... + M_nx_n
• R = R₀ + R₁x₁ + R₂x₂ + ... + R_nx_n

Queste equazioni, la sostituzione all'interno dell'energia complementare totale, e l'imposizione la condizione di minimo rispetto alle incognite iperstatiche x₁, x₂, ..., x_n, si ottiene un sistema di equazioni che costituiscono proprie le condizioni di compatibilità cercate. Esplicitando tale sistema in forma matriciale si ottiene

⃒x = b

F_ij = ∫ (N_iN_j./EA + I_iI_j/GA_* + M_iM_j/EI) ds = F_i;

b_i = ∫ (N_iN_i./EA + I_iI_i./GA_* + M_iM_i./EI) ds + R_iU

F_ij sono i coefficienti della matrice simmetrica F detta

matrice di flessibilità e b_i sono i termini noti del

sistema.

Note del sistema le incognite iperstatiche X₁, x₂, ... x_n, le

caratteristiche delle sollecitazioni possono essere ricavate

combinando gli schemi isostatici parziai.

Ad esempio per un sistema a volte iperstatico ho che:

Si vincola la struttura risultando

isostatica, mettendo in luce le

incognite iperstatiche x₁, x₂

Struttura isostatica equivalente

Avevvo 3 schemi da risolvere (cioè n+1 schemi isostatici)

Schemi "0" P

Schemi "1"

Schemi "2"

le equazioni sono:

N = N₀ - N_x1 x₁ + N_x2 x₂

T = T₀ - T_x1 x₁ + T_x2 x₂

M = M₀ + M_x1 x₁ + M_x2 x₂

R = R₀ + R_x1 x₁ + R_x2 x₂

Sistema di equazioni di equilibrio.

Trave di Eulero-Bernoulli

Il modello di trave è retto dalle seguenti equazioni differenziali:

• Compatibilità ε = u,x δ = w,x + φ χ = φ,x
• Equilibrio N,x + pₓ = 0 T,x + pᵧ = 0 M,x + μ = 0
• Legame elastico ε = Nₓ/EA δ = T/GA* χ = M/EJ

A queste equazioni vanno aggiunte le condizioni al contorno per risolvere il problema. Il modello in esame è un'unica Trave di Timoshenko e l'equazione di Eulero-Bernoulli si differenzia da quelle di Timoshenko tramite l'ipotesi di assumere

Ciò è basato sulle considerazioni che in una trave la sezione trasversale è relativamente piccola rispetto alla lunghezza della trave stessa e per questo il contributo

Sostituendo in ME ho:

ME = ∫_A - (ψ_xx₁,x₂ + ψ)_x dA =

= ∫_A (ψ + ψ)_A dA - ∫_A (ψ x₁,x₂ + (ψ x₁,1)_x) dA

Applicando il teorema delle divergenze e l'integrale esso:

∫_L (ψ x₁,x₂ + ψ)_x dA = ∫_C (ψ x₃ m₁ + ψ x₄ m₂)_C = 0 x∞

ψ = 0 su C

=> ME = ∫_A 2ψ dA => ME = 2 / ∫_A ψ dA Momento torcente in funzione di ψ

In definitiva l'equilibrio è soddisfatto se valgono le seguenti relazioni:

• τ₃₁ = ψ z, τ₃₂ = ψ x = equilibrio in V
• ψ = 0 su C = equilibrio su C
• ME = 2 / ∫_A ψ dA = equilibrio sulle basi o sezione traversale A

Ora verifichiamo le equazioni rimanenti del problema elastico: cioè le equazioni costitutive (E = E + E) e le equazioni di compatibilità [e_ij= ½(u_i,j + u_j,i)]. Dalle equazioni costitutive ricavo che:

1. ε₂₁ = τ₃₁ / 2G = ψ z / 2G
2. ε₃₂ = τ₃₂ / 2G = -ψ z / 2G
3. ε₃₁ = ψ z / 2G
4. ε₃₂ = -ψ x / 2G

stato deformativo nelle torsione

Si che:

J_p = ∫_A (x₁²+x₂²)dA

Momento d'inerzia polare

e che

Jt = ∫_A [φ,x₁² + φ,2x₂)dA

Momento d'inerzia torsionale

Infine evo:

Mt = GΘJt

Momento Torcente

Mt = GΘJt ⇔ Mt = 2/ψψJA

Jt collega il Mt con l'angolo unitario di torsione Θ

Riassumendo per la torsione ho:

Approccio alle tensioni

Problema di Dirichelet

φ |_{xi, xj} = # INCOGNITE ⇒ φ [x_i,x_j]

φ,11 + φ,22 = -26θ ⇔ A

φ =0 ⇔ C

Mt = 2/ψψJA

Equilibrio in A

Equilibrio su C

Momento torcente

(considerato un'equivalente statico)

Approccio agli spostamenti

Problema di Neimann

φ= m_A

-x₂m₁-x₂m₂⇔C

quantità statiche legate direttamente all'incognita del problema

quantità cinematiche legate direttamente all'incognita del problema.