Teoria Meccanica applicata alle macchine

EQUAZIONI EQUILIBRIO DINAMICO SECONDO D’ALEMBERT

Fin Tr

m@

= - a

In Jo i 6

-

= O

Fin

a

Immaginiamo sistema di corpi rigidi su cui abbiamo n forze Fi, il lavoro virtuale di una singola forza

si ottiene per uno spostamento che è lo spostamento virtuale di una forza. Poi abbiamo il lavoro

virtuale delle coppie

SSSS CNES per equilibrio

dinamico di un sistema di

corpi rigidi

Utilizzo questo simbolo perché è K perché associata al

singolo corpo rigido

uno di tutti i possibili spostamenti

Di tutti i possibili spostamenti virtuali vado a prendere quello vero che considero nell’unità di tempo

infinitesima; l’equazione di sopra è vera anche se divido tutti gli spostamenti per l’istante infinitesimo

dt in cui questi avvengono: Fin

.

F Ot ↓ t

bt Il Equazione dove non compaiono reazioni

Nor

+m vincolari, è un vantaggio perché mi

-I permetterà di scrivere l’equazione di moto

che lega le coppie e le forze applicata alle

accelerazioni del sistema senza produrre

reazioni vincolari

#i

↑ Equazione bilancio di potenze

1°FORMA: Mi

# & =

+ =

2°FORMA: TEO ENERGIA CINETICA: (F)

(mv))

()

1mb(

mb

m Fo -

- =

= =

-

-

=

- - -

- 2 It

bt ((t)]

Jo Job(w i)

E 1

w

- .

- =

= -

= -

2 It

It -Ti

Fo

Fo

mo

- - =

. It

Dato un sistema di corpi rigidi, preso un qualsiasi set di spostamenti compatibili con i vincoli, di fatto

il lavoro compiuto da tutte le azioni deve essere uguale a zero

St

fi Pa

. O

. =

Immaginiamo di avere un corpo il cui baricentro si muove di velocità V e abbiamo il caso in cui

l’accelerazione è concorde con la velocità. In questo caso se l’accelerazione è concorde con

la mia velocità l’energie cinetica del mio punto aumenta. Velocità e forza d’inerzia saranno

discordi quindi la potenza dell’azione d’inerzia sarà negativa (pigreca_i)

-d d Er

V Er7O

1°caso) a concorde con v: Ti <O

It

⑳

Ma

& Ma MiT

d Esco

2°caso) a discorde da v: &

& It

&

*

Fim

& =

= E

E

↑ = dt

LEZIONE 14 Dipende

ATTRITI TRA CORPI A CONTATTO GEOMETRIA DEI CORPI A CONTATTO

*

10 100Mm

= PRESENZA DI MATERIALI TERROSI

#

Il problema dell’attrito è un fenomeno che dipende dalla

↓ p Microsaldature natura dello stato delle superfici che entrano in

· contatto. è sempre possibile individuare, per una

superficie, un profilo medio ed un’ampiezza dei picchi

delle creste e poi sulla base di vari parametri viene

definita la rugosità superficiale dei materiali

Pr

Superficie effettivo: + 1

0

%

01 %

&

. .

Quando i 2 corpi vengono messi a contatto tramite un’opportuna forza P, le prime creste che entrano

in contatto l’una con l’altra (quelle evidenziata con pallini neri) vanno a creare delle micro saldature

che tendono ad unire i 2 corpi

Abbiamo la presenza di moto relativo (in particolare di velocità relativa nel punto/area di

contatto), tra i diversi elementi della macchina.

I 2 fenomeni principali legati al contatto sono l’attrito e l’usura:

• ATTRITO: resistenza o impedimento al movimento relativo tra le parti a contatto

• USURA: perdita progressiva di materiale dalla superficie di un corpo come risultato del moto

relativo su un altro corpo.

CONTATTO:

IN ASSENZA DI STRISCIAMENTO (STATICO)

IN PRESENZA DI STRISCIAMENTO (DINAMICO)

Devo guardare cosa succede a livello di contatto

P

& Mgrind Ju

Mg

F D I

A Mo

·

(111) 1 + Mg

3 # +

T

T T Mgsind

F =

=

F T

0 0

=

= =

La forza d’attrito è un tipo di forza che si genera tra le superfici di 2 corpi e che si oppone al moto

dell’uno rispetto all’altro. L’attrito radente è legato allo STRISCIAMENTO di una superficie su

un’altra e si caratterizza come attrito statico e attrito dinamico. Quando il corpo è fermo sulla

superficie, la superficie esercita sul corpo una forza d’attrito statico; quando il corpo è in moto e a

contatto con la superficie si ha una forza d’attrito dinamico.

Le forze radenti sono forze che vengono esercitate quando le superfici di contatto tra 2 corpi sono

ruvide o scabre e penetrano un po’ l’una dentro l’altra. La rugosità delle superfici favorisce

l’instaurarsi di forze attrattive di tipo elettrostatico che si oppongono allo slittamento delle superfici.

Cono di attrito Condizione limite di attrito statico:

i Tem NTANds Condizione limite

=

TENTAndo Verifica di aderenza

' TENgo

F COEFFICIENTE ATTRITO STATICO

ATTRITO DINAMICO

T fan

=

Si utilizza per caratterizzare il limite di aderenza della mia superficie, ovvero fin tanto che la somma

vettoriale della forza d’attrito statico e la normale rimane nei limite definiti dal cono d’attrito,

caratterizzato da alfa_s, saremo in condizioni di aderenza

Esempio: N Mgrs(

=

Mg T Mgsind

=

16 TegrN Agandfegend Tande ge

=

ATTRITO IN PRESENZA DI STRISCIAMENTO (ATTRITO RADENTE/DINAMICO)

Quando supero il limite di aderenza, succederà che le microsaldature al contatto si romperanno

e quindi inizierà ad esserci uno STRISCIAMENTO relativo tra i 2 corpi. Nel caso dell’attrito

radente, la sua direzione dipenderà dalla velocità relativa di scorrimento tra i 2 corpi a contatto.

Lumi

N FIN-In

T fin

* = IV-Vl

COEFFICIENTE ATTRITO RADENTE Met (SE Visu

·

A N

- (N]

N Mg P

+

=

F Mg F(t)

D 11/1 fo(p

* Mg)

+

N &

& STRISCIAMENTO

Aderenza

⑪ a ·

t

& Strisciamento

Aderenza

S

S T

N Mg P fN

+

= =

N

T P

Mg

F +

= =

F

Mg) T-Ma

Tafo(P

TegoNEs O

+ - =

[F- (P Ml

+

o =

FORZA D’ATTRITO STATICO:

Non dissipa potenza perchè non c’è spostamento relativo nel punto di contatto

En

No =

in

BILANCIO DI POTENZE TEO ENERGIA CINETICA

F

. T (MV)

F

F T

. .

. 0 .

+ +

+ = =

[N]

F X-TH-MoN o

. = FV-TV MVo

=

RESISTENZA AL ROTOLAMENTO S[N/m]e

COMPORTAMENTO ELASTICO LINEARE 3

·

D

.. A

pi e

-1 Ammetto una

/ deformazione

Ciò che avviene nella realtà è che i corpi sono deformabili, deformabilità che in questo caso non

può essere trascurata in quanto trascureremo una forma di dissipazione di energia, ovvero nel

momento del contatto, i corpi si deformano, quindi quello che prima era un punto di contatto ora

è una superficie di contatto, se studio le posizioni di un punto periferico P in diversi istanti di

tempo, potrò dividerlo in zone

COMPORTAMENTO ISTERETICO S[N/m]e

&

w Energia dissipata per unità di volume

3

· *

i

----

A

· A *

1 W Nuw NfR

fuR

u = =

- -

= COEFFICIENTE DI RESISTENZA AL ROTOLAMENTO

A LIVELLO MICROSCOPICO

Quando 2 solidi sono premuti uno contro l’altro, i contatti avvengono in realtà solo in

corrispondenza dei picchi delle superfici irregolari. In tale zone si creano delle adesioni a livello

molecolare (microsaldature)

RUOTA MOTRICE: Mo Tor

Ci =

Fo - + +

* Tr MrömMMr

=

* Ci

Hos D

· A Vor

Mr -Mg ITol foINd

=

%

To No

RUOTA CONDOTTA: TR Mo Ta

=

+ =

Jo Ö

· ITalEfoINal

Hols

· von

Mr -Mg

*

To Na Direzione reale

MOTO VARIO:

m Moto diretto: se il flusso di potenza fluisce dal lato motore al lato utilizzatore

~ Moto retrogrado: se il flusso di potenza fluisce dal lato utilizzatore al lato

motore

BILANCI PARZIALI:

1) LATO MOTORE (nWm-We (mWm-

WrUmWe

Ju In

= Wata

= =

M

In

2) LATO UTILIZZATORE Fowowo

We

Cuo Jowowi

We Cowo

- + +

=

= =

5

u)

s .

We In

Im Um

Wm- We

= (1-ys)) Wm)

Wo Jun

(m Wm- Wm

-

= Moto diretto

Se alla trasmissione ho collegato un utilizzatore con fune inestensibile, la velocità dell’utilizzatore

sarà pari alla velocità periferica/tangenziale del disco della trasmissione

Se stacco il motore a Wm = 0, il corpo non inizia a scendere ma accelera verso l’alto,

perché ‘essere in discesa significa essere trascinati da una forza maggiore rispetto a

quella che mi tiene ferma, questo però se le masse sono uguali

LEZIONE 22 (REG19)

SISTEMI VIBRANTI AD 1 GDL

Pf(t) ·

m xx

x fr Al

kBl

mi 1 1

, -

= = -

(-] Sm]

[N] =

K 22x

Lo smorzamento è un effetto, una forza che nasce nei sistemi meccanici in virtù della velocità con cui

questo elemento si allunga

eSl

Fo -

=

Forza

dissipativa f(t)

kx

mx 2x +

+ =

x(t) (t) Xo(t)

x +

= = Integrale

Integrale particolare

generale

Foss(1

F(t) )

+

=

Integrale generale

kx 0

mx 2x +

+ =

Ae+t

x(t) = t

X(t) +

+Ae

= t

x

X(t) +

Ae

=

(xm 1k)Aet

+e A=0 soluzione banale (non sta vibrando)

0

+

+ = -

In m

te -e =

= 2m Wo

Smorzamento

-

= adimensionale Pulsazione

naturale del

sistema

h

= de/w hN

" 2

2 W = =

- = .

.

that wi -hwowot

=

1) hat 201 Wo

Im

lor =

2) h 1 2 1

=

=

hat

3) 120

1) ha Sistema ipercritico

1 272cr

W => 2 soluzioni reali negative

te -hW

.

= .

-hwo-w

tr t

= .

12 -hw w

+

= t

"

Aet +

** +

+

X(t)

X(t) +Be

+Ae

Be

+ +

=

= =>

S S X(d) A B Xo

+

= =

+A

X(d) Vo

1B

+

= =

(i))

ExeA (

A X

B

+ = =

. V

+ B = .

m

= = vo-tx

A v

+

x - =

= h)

Wi tote

tot

2)h Sistema critico

12 20

= =

2 soluzioni reali conincidenti +

11 hW 11 12

= =

- =

2 .

, **

* **

**

X(t) ↓Bett

x(t) Ae

Ate XAte

Be = +

+

+

= =

3)