Teoria Elettromagnetismo riassunto

Forza di Coulomb

F = Q1Q2 / 4πε0r^2

Campo Elettrico

E = F / Q

Campo Generato da un Filo Infinito

E = λ / 2πε0r

Campo Generato da un Piano Infinito

σ / 2ε0

Flusso del Campo E

ΦE = ∮E · ds

Induzione Elettrica o Densità di Flusso

D = εE

Teorema della Divergenza (Legge di Gauss)

∫_S Φ ds = ∫_V ∇·D ds = q ∫_V ρ_v dv ⇒ ∇·D = ρ_v ∇·E = ρ_v / ε₀

Campo è dovuto ad una distribuzione sferica (0 < r < a)

Φ = ∫∫_D ds = ∫_V dv ⇒ ε₀ · E_r · 4 π r² = ∫∫∵_S ρ_v r² senθ drdφ dθ = 4π ∧ρ_v ^r3⁄₃ ⇒ E_r = ρ_v r ^3ε₀K⁄₃

Campo dovuto ad una distribuzione superficiale sferica

ρ_s drερ

E_r ^{ρ_s a2}⁄_4πε0r² dv = &RArr; r > a

Campo dovuto ad una distribuzione planare in R³

Φ = ∫∫_D ds = ∫∫_{BSE INF+SUP} ds - ∫∫_S ρ · (/-n) ds = ∫_S ρ_s ds = &RArr; 2D_n ·S &RArr; E_n = ρ_s / 2ε₀

Lavoro ed Energia

Lp1 → p2 = ∫p1p2(-F·de) = -∫p2p1 q·E·deV2 - V1 = Lp1 → p2 / q ⇒ ∫p1p2 E· de

DDP dovuta a una carica puntiforme

V2 - V1 = -∫R2R1 καψ> drq = -∫R1R2 E·dr = q/4πε0⊂ v

E è un campo conservativo ⇔ ∫&b()·de = 0

DDP dovuta a una distribuzione continua di cariche

V = 1/4πε₀∫ρ_v (r_{- Ez = Qtot/E1ᴉ1 + Qtot/E2ᴉ2}

Ricordando che il vettore induzione è D=E, si ha:

D_z = E₁ᴉ₁ + E₂ᴉ₂

CONDENSATORI IN SERIE

∮∮∮ds ≈ E_z¹ = E_z²

1

2

Definendo 𝛿= εE si trova:

D_z = 𝄝[è]

• La densità di carica è la carica netta sulle superfici conduttrici è una stessa, in serie.

MATERIALI CONDUTTORI

I conduttori sono materiali in cui gli elettroni sono liberi di muoversi se applicata una forza elettrica.

Applichiamo un E agli elettroni si muovono in direzione opposta.

La misura di quanto gli elettroni siano liberi di muoversi è la conducibilità σ [S/m].

La capacità di un mezzo ridei opporsi al passaggio di corrente è la resistività ρ = 1/σ [Ωm].

TEOREMA DI STOKES E LEGGE DI AMPERE

_S∫∇xH·ds=∫_lH·de=I-∫∫_SJ·ds ⇒ ⟨∇xH=J⟩

Nota: per calcolare ∫_lH·de prendo percorsi in cui H è costante ⇒ circonferenze in caso di fili

AMPERE: FILO INFINITO DI CORRENTE

_S∫∇xH·ds=∫_lH·rdϕ·φ̂ ⇒ H=Hϕ=costante ⇒ Hϕ·rϕ·dϕ

2πlϕ·r=I ⇒ Hϕ=I/2πr

AMPERE: DISTRIBUZIONE SUPERFICIALE DI CORRENTE

Il campo H è ortogonale a S e parallelo al piano, quindi jl dl in

Riimane _l∫H·de= _e/12 e/2·3 -∫∫_SJ_S×n ⇒ H=J_S×n/2

AMPERE: CAVO COASSIALE

Due conduttori concentrati di raggio rispettivamente A e B su cui viaggiano correnti uguali e opposte. Applico Ampere su una circonferenza a raggio A e B che racchiude una superficie attraversata da J_S·n

_l∫H·de=∫_lHϕ·rdϕ·φ̂=Hϕ·2π

_AMPERE∫∇·ds/–∫5·z·ds·z=I

_{DAIKIN LA CASA DEL CONDIZIONATORE}

MAGNETIZZAZIONE – CICLO DI ISTERESI

Per magnetizzare un ferromagnete gli si applica un ciclo di isteresi: si immerge il materiale in un campo H in modo da orientare i domini di Weiss. Togliendo H resta una magnetizzazione residua Br. Per annullare Br si deve applicare un H inverso fino al punto -Hc. Aumentando H inverso si orientano i domini in modo inverso. Facendo variare il campo tra ±H si ottiene il ciclo di isteresi.

I materiali ferromagnetici si dividono in base alla Br in dolci e duri. I primi hanno una curva di isteresi stretta e alta, con una bassa Br, i duri hanno una curva più larga con una Br maggiore.

SOLENOIDI

Un insieme di spire di materiale conduttore avvolte attorno a un ferromagnete forma un solenoide. Più le spire sono fitte, più il solenoide ha un campo simile a un magnete permanente. Il campo sull'asse si ottiene integrando i contributi di ogni spira.

Considero un dζ in cui sono presenti n spire. Quindi:

db = μ•dH = ^{μ•I•n•a2} / _{2(a² + z²)^3/2}, Integrando tra θ₁ e θ₂ ottengo

Il campo totale:

ipotizzando ℓ ≫ a ⇒ θ₁ → −1/2, θ₂ → 1/2.

Considero N = n•e gli avvolgimenti totali; allora si ottiene

B = ^μ•n•I / ₂ (senθ₂ - senθ₁) ⇒ B = μ₀μ_r^N•I / _ℓ

INDUTANZA (AUTOINDUTANZA)

La corrente che fluisce negli avvolgimenti produce un campo magnetico che genera un flusso attraverso la superficie del solenoide stesso. Il flusso è direttamente proporzionale alla corrente e il loro rapporto è l'induttanza L = ^ΦB(I) / _{I [H]}

SOLENOIDE RETTILINEO

L = ^{∫_S B•ds} / _I = N / ^{I μ₀μ_rN•I / _ℓ = N μ₀μ_rN2 / _ℓ [H]}

MONDO ELETTRICO

Q = C•V

MONDO MAGNETICO

Φ(B) = L•I

EQUAZIONI DI MAXWELL: CFR DOMINIO TEMPO/FASORI

• Tempo:
• ∇·D = ρ
• ∇·B = 0
• ∇×E = -dB/dt
• ∇×H = J + dD/dt
• Fasori:
• ∇·D = ρ
• ∇·B = 0
• ∇×E = -jωB
• ∇×H = J + jωD

e im aggiunta con l'equazione di continuità della carica

∇·J = ∂ρ/∂t

∇·J = -jωρ

Riassumendo, le differenze tra tempo e fasori, sia

• Variabili: 3 spaziali + temporale / 3 spaziali
• Dominio: Reali / Complessi
• Derivazione: d/dt / jω
• Integrazione: ∫dt / 1/jω

Risolvendo le equazioni nel dominio dei fasori, basta ricordare che il termine e^jwt è soppresso, quindi per ottenere l'equazione temporale si moltiplica il fasore per e^jwt e se ne prende la parte reale

Ĵ(x,y,z) = Re {Ĵ(x,y,z)·e^jwt}