Teoria - Fondamenti di Elettromagnetismo

Forza Di Coulomb

|F_c| = k ^{q₁ · q₂}/_r²

F_c = k ^Q₁Q₂/_|R̅12|³ R̅̂₁₂ = ^Q₁Q₂/_{4πε0|R̅12|³} R̅̂₁₂

ε₀ cost. dielettrica del vuoto = 8,854 · 10^-12 F/m

Campo Elettrico

|E| = |F|/q = Q/4πε₀R²

Le cariche nel campo elettrico sono soggette ad una forza. Quelle cariche possono essere soggetti alla sovrapposizione degli effetti.

• F = F₁₃ + F₂₃

Campo Elettrico Generato Da Più Cariche

E̅ = E̅₁ + E̅₂ = ¹/_4πε0 [q₁(R̅ - R̅₁)/|R̅ - R̅₁|³ + q₂(R̅ - R̅₂)/|R̅ - R̅₂|³]

Per un sistema di N cariche, il campo totale vale:

E̅ = ^N∑_i=1 E̅_i = ¹/_4πε0 ^N∑_i=1 q_i(R̅ - R̅_i)/|R̅ - R̅_i|³

Quantità Di Carica

Q_v = ∬_V ρ_v dV

Q_s = ∬_S ρ_s dS

Q_l = ∫_l ρ_l dl

Campo È Generato Da Distribuzioni Continue Di Carica

_dE = _pV(V')dV'

E = ∫ _pV(V') R^̂ dV'

Campo È Generato Da Un Filo Con Densità Di Carica Lineare

E = ∫_-∞^+∞ _pl dz / 4πε₀(x² + z²)^3/2 = _pl / 2dτε₀

dE = dQ / 4πε₀R²

Campo È Generato Da Un Piano Con Densità Di Carica Superficiale

E = ρ_S / 2ε₀

Φ(E̅) =

• ∯_S1 E̅ · dS̅ = 0
• ∯_S2 E̅ · dS̅ = q/ε₀
• ∯_S3 E̅ · dS̅ = -q/ε₀
• ∯_S4 E̅ · dS̅ = 0

Induzione Elettrica D o Densità Di Flusso Elettrico

D = ε₀E vettore D

Per una carica puntiforme disego

D = ε₀ ^q/_4πε₀r² = ^q/_4πr² r̂

Quindi

Φ(E) = q_int/ε₀ ⇒ Φ(D) = q_int

Potenziale e Campo Elettrico dovuto ad un Dipolo in Coord. Sferiche

V(,) = _Q/_4πε0 ...

Prelavorati di CD...

x = l sin cos

y = l sin sen

z = l cos

Equazioni di Poisson e Laplace

◯ = ε∇・E̅ = -ε∇²V = ρ_v

∇²V = -ρ_v/ε Eq. Poisson

V (r) = 1 / 4πε ∫_V ( ρ_v/ |r - r'| ) dV'

In assenza di cariche si ottiene l'equazione di Laplace

∇²V = 0

∇²V = ∂²V(x,y,z)/∂x² + ∂²V(x,y,z)/∂y² + ∂²V(x,y,z)/∂z²

Condensatore Sferico

E = ^Q/_4πε1r²

V(r) = ^Q/_4πε1r

ΔV = ^Q/_4πε [ ¹/_a - ¹/_b ]

C = ^Q/_ΔV = 4πε ^ab/_b-a

U_e = ¹/₂ C ΔV²

Condensatori in Parallelo

∫_S Ḃ dś = Q_tot

ΔV_e ^∫ E Ḃ d = E_gd = ^{Q_tot d}/_{ε1A1 + ε2A2}

C = ^Q_tot/_ΔV = C₁ + C₂

D₁₂ = l₁₂ = ε₁ ^Q_tot/_{ε1A1 + ε2A2} => Q₁ = E₁A₁ = ^ε₁A₁/_{ε1A1 + ε2A2} Q_tot

D₂₂ = l₂₂ = ε₂ ^Q_tot/_{ε1A1 + ε2A2} => Q₂ = E₂A₂ = ^ε₂A₂/_{ε1A1 + ε2A2} Q_tot

Campo Magnetico

B = µ H = µ₀µ_r H

Dato µ₀ = 4π · 10^-7 H/m = 12.66 · 10^-7 H/m

Mezzi Diamagnetici (Paramagnetici) µ_r ≃ 1

Mezzi Ferromagnetici µ_r ≥ 10³

Legge di Biot-Savart

d= I / 4πR² = I / 4πR³

Definisco il campo di prodotto da un elemento infinitesimo di lunghezza dℓ in cui scorre una corrente I.

Se il percorso è chiuso:

H = ∮ I / 4πR² = ∮ I / 4πR³

Legge di B.-S. per Distribuzioni Volumetriche o Superficiali di Corrente

H = 1/4π ∬ / R² dv = 1/4π ∬ / R³ dv

H = 1/4π ∬ / R² dS = 1/4π ∬ / R³ dS

Condizioni al contorno

B_x,z = M_r(x)

B_x / M_r2

B_x,z / M_r1 = B_0,1 / M_r2

B_zz / M_r1 = B_z2 / M_r2

Condizioni al contorno Induzione magnetica

D_x,z - E_yz D_x E_x E_x2

D₁₂ E_1z = D_yz E_tz

D₁₂ E_n = D_z2 E_tz

Condizioni al contorno Densità flusso elettrico

E_x,z = D_1,x + *B_s

E₀ E_r2

E_1z = D_1,u

E₀ E_n1

E_2z = D_1,z

E₀ E_n1

Campo elettrico Densità flusso elettrico

Potenza di un induttore

P(t) = _dφL(t) / _dt = LI(t) _dI(t) / _dt = V_L(t) I(t)

Induttori in parallelo

1 / L_eq = _Σ^m_u=1 1 / L_u

Forza indotta

F_4,2 = N_{2 ∫S2 (B(I1) . dS2)} / I₁

F_2,4 = N_{1 ∫S1 (B(I2) . dS1)} / I₂

F_4,2 = F_2,4 = F

Teorema di Poynting

Vettore di Poynting

P(t) = E(t) × H(t)

W/m²

→ densità di potenza per unità di superficie di un campo

∫_V[∂/∂t(B∙H/2) + ∂/∂t(D∙E/2) + ε∙S] dV = ∮(E × H) ds

Vettore di Poynting

è un vettore che indica la direzione e l'intensità della densità di potenza per unità di superficie associato al campo e.m.

P(t) = E(t) × H(t)

P(t) = 0 quando

• E ed H sono paralleli
• E ed H sono nulli
• E ed H esistono indipendentemente l’uno dall’altro