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Sistemi di Trasporto
Sistemi di Trasporto:
È un insieme di infrastrutture, connesse tra loro, sulle quali circola una domanda di trasporto.
Come funziona,
- Domanda di Trasporto
- Flussi di Traffico
Condizionano
- In poche successive
Cargo IL
Determinano
Sistema di Offerta
Sistema di Controllo:
- Guida Libera
- Guida Vincolata
- Guida Automatica
Controllate da un
- Velocità e traiettorie libere
- Solo velocità libera
- Tutto vincolato e automatico
Strada
Sistema Ferroviario
La Metropolitana
Obiettivi:
- Dello studio di un sistema di trasporto
- Che comportamento ha il sistema quando lo carico
Sistema di Offerta
Sistema di Domanda
Assegnazione Flussi di Traffico
Verifiche
Costi Impatti
- Dimensioni
- Prestazioni
Rappresentazione di un Sistema di Trasporti:
- Metodo Grafico (cartina, planimetria)
- Metodo Numerico (archi, nodi)
Archi:
- Orientati
- Non orientati
Nodi:
- Si assegnano a punti conosciuti di interesse
Si cerca di rappresentare il grafico come un modello matematico
G = ( N, L )
Nodi, Archi (Connessioni)
Vari Metodi
-
Matrice di Adiacenza (N×N)
aij = { 1 se (i,j) ∈ N (se esiste un arco)
0 altrimenti }
Esempio (5×5)
- 1 1 0 0 0
- 0 1 0 0 1
- 0 1 1 0 0
- 0 1 0 1 1
- 0 1 1 1 1
-
Matrice di Incidenza (N×L)
aij = { 1 se (i,j) ∈ L
-1 se (j,i) ∈ L
0 altrimenti }
Esempio (5×9)
NB: 2 Metodi molto complicati e largo uso di memoria
Algoritmo:
- Mi noto di un T0 iniziale (albero iniziale)
- Genero altri alberi T1, T2 fino a T∗ (lo seguo cambiando da itinerari più costosi a meno costosi)
- Procedo secondo il Teorema di Bellman:
"Dato un nodo radice Pi, condizione necessaria e sufficiente affinché ∃ modi qualsiasi ni ∈ Ē a T∗ Ē che i costi di itinerario da A a questi soddisfino."
- Cj ≤ Ck + Ckj (costo di j minore uguale rispetto a costo fino a i più da i a j)
- ∃ i ∈ pj : Cj = Ci+ Cij (esiste almeno un nodo i nell'insieme dei cammini in T tale che valga uguale)
- Ca = 0
Quindi ad ogni passo miglioro Ta → trovo Ta∗ → assegna esistenza e unicità.
Quindi, partendo da A fino a j ho costo Cj:
- Se i ∈ Iaj = itinerario di costo minimo
- → Cj = Ci + Cij
- Se i ≠ Iaj∗
- → Cj < Ci + Cij cioè come arrivo in Cj non fa parte dell'itinerario a minimo costo e devo quindi correggere con Cj = Ci + Cij
Serve ora usare l'algoritmo:
Innesco
Mi serve un albero di innesco dal quale partire, faccio un artificio:
- Deve garantire che non cambi il risultato
- Devo garantire che nessun elemento ben specificato entri nel risultato
Jij = ∑o/b Zio/b do/b • Sij con dij ∈ f (se(i,j) ∈ I4) o altrimenti
Problema I risultati prodotti non sono verosimili
Il Principio di Wardrop:
"In condizioni di equilibrio per ciascuna coppia di origine destinazione, tutti gli itinerari percorsi da flusso, costano uguale" E' un equilibrio, cambiamo l'itinerario e vado su uno uguale o più costoso
Nota Bene j = vettore flussi sugli archi all'equilibrio
Se lo traduco in forma analitica troverò:
D.U.E. (uso deterministico dell'utente)
- La domanda si ripete costante ogni giorno
- Non cambiano i costi
Voglio conoscere j in equilibrio anche se il sistema non lo è perché dopo un Δt ogni sistema fisico tende all'equilibrio
Si trova con
Incremental Assignment:
Si divide la domanda in fette
Se ho costi iniziali: 5 10 4
- 1
- 2
- 3
- t(5) 3(60)
Ci =
- 5 i1
- 10 + i2
- 4 + i3
A) DIREZIONE DISCENDENTE:
Sviluppo lineare di g in gk*:
SL(g) = S(gk*) + (g - gk*)' ∇S(gk*)
→ min. SL(g) = min. [S(gk*) + g - gk*] ∇S(gk*)
(sono numeri)
= min. [g' ∈ f(gk*) ]
(Avrò il minimo quando tutto il flusso va sull'itinerario di minimo costo)
Cerco il minimo del prodotto tra il flusso e il costo globale quando il costo è costante
Assegnazione T=0 - N
Trovo gk (minSL(g))
La direzione è discendente perché:
- gk = min. SL(g)
- x = min. g(x) → ∀x*: g(x) < g(x*)
Quindi:
SL(gk) < SL(gk*)
Sostituisco e avrò:
→ S(gk) + [gk + gk*]' ∇S(gk*) < S(gk*) + [gk* - gk*]' ∇S(g)o
→ [ gk + gk* ]' ∇S(gk*) < 0
(La derivata direzionale è < 0 quindi la direzione sarà decrescente)
Modello a 4 Stadi
(della domanda di trasporto)
Ho 4 dimensioni di scelta ->
- Scopo
- Destinazione
- Modo
- Percorso
- Generazione \( \bar{O}_i(l) \)
- Distribuzione \( \rho (D/o(l)) \)
- Scelta Modale \( \rho (m/o(l)D) \)
- Scelta del Percorso \( \rho (k/o(l)Dm) \) - Assegnazione della domanda
\( J_{ob}(l,m,k) = \bar{O}_i(l) \cdot \rho (D/o(l)) \cdot \rho (m/o(l)D) \cdot \rho (k/o(l)Dm) \)
Il numero medio di spostamenti dall'origine alla destinazione con lo scopo \( l \), modo \( m \) e percorso \( k \) è uguale agli spostamenti medi da \( o \) per lo scopo \( l \) e moltiplicati per la probabilità che vadano in \( D \), che lo facciano nel modo \( m \) e sull'itinerario \( k \).
Modello di Generazione:
Voglio sapere la generazione media nella zona
\( \bar{O}_i (l) \)
- \( \bar{o}_i = m_c N_{c,i} \)
- \( \bar{o}_i = \sum_c m_c N_{c,i} \)
N.B. È un modello aggregato tratta la generazione degli utenti e non il singolo.
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