Teoria ed esercizi sui controllori PID

Controllori PID

Legge di controllo PID nel tempo

u(t) = k_P e(t) + k_I ∫₀^t e() d + k_D ^de(t)/_dt

Azioni

• Proporzionale
• Integrale
• Derivativa

Ipotesi (non limitativa): i gradi di G(s) positivo.

Parametri di progetto

• k_P ≥ 0 coefficiente dell'azione proporzionale
• k_I ≥ 0 integrale
• k_D ≥ 0 derivativa

Fdt del controllore PID

Da (*) con e(0)=0 si ottiene

R_PID(s) = U(s)/E(s) = K_P + K_I/s + K_Ds = (K_Ds² + K_Ps + K_I)/s

Oss. R_PID ha due zeri a parte reale ≤0 e un integratore: è una fdt impropria.

Azione integrale → robusta regolazione a zero dell'errore (per setpoint a scalino) → reiezione robusta di disturbi d(t) a scalino.

Azione derivativa: introduzione di uno zero → ampliamento della banda passante.

Parametrizzazione alternativa

R_PID(s) = k_P ( 1 + ¹⁄_TIs + T_Ds ) = k_P ^{T_I T_D s2 + T_I s + 1}⁄_{TI s}

T_I = ^k_P⁄_kI = tempo integrale.

T_D = ^k_D⁄_kP = tempo derivativo.

L&rarw; Se T_I ≥ 4 T_D si ottengono zeri reali.

PID reale (regolatore proprio)

Rimpiazzare R_D(s) con R_D(s) = k_P ^{s T_D}⁄_{1 + ^TD⁄N s} ove N ≥ 0 e ^N⁄_TD ≫ ω_c.

Oss. Il polo aggiuntivo rende R_PID(s) proprio e mantiene ω_c e φ_m quasi identiche.

L&rarw; Si progetta il PID ideale e si aggiunge il polo a posteriori (controllando che φ_m rimanga adeguato).

Perché i controllori PID sono diffusi?

• Semplice realizzazione in diverse tecnologie (e.g. elettronica, meccanica)
• Efficienza in molti processi industriali
• Semplicità di taratura dei parametri
• Esistono metodi di taratura automatica che non richiedono di conoscere un modello del sistema sotto controllo

Sottosistemi notevoli di regolatori

Regolatore P: R_P(s) = k_P. → Se non è necessaria l’azione integrale per le prestazioni statiche.

Regolatore I: R_I(s) = ^k_I/_s.

Regolatore PI: R_PI(s) = k_P + ^k_I/_s = ^{s k_P + k_I}/_s → Ampliamento della banda passante in anello chiuso rispetto a R_I(s).

Taratura dei PID tramite la sintesi per tentativi

Bisogna scegliere solo il guadagno e la posizione dei due zeri.

Linee guida

• Gli zeri cancellano poli a sinistra di G(s).
• Il guadagno è tarato in modo da verificare specifiche dinamiche.

_RPID = _μR ^{(τ₁ s+1) (τ₂ s+1)} / _s

Esempio

Progettare un regolatore di tipo PID tale che:

• (R1) e_∞ = 0 per y^o(t) = A sen(t), t ≥ 0, ∀A ∈ ℝ
• (R2) φ_m ≥ 40°
• (R3) la banda passante in anello chiuso sia massima possibile

G(s) = 0.1 ^e-3s / ((1+5s)(1+20s))

R(s) = _MR/^S (s z₁+1) (s z₂+1)

Progetto statico

La fdt g^∞→ e è S(s) → Requisito (R1) Verificato grazie all'integratore.

Progetto dinamico

Ponendo z₁=5 e z₂=20 si ha

L(s) = R(s)G(s) = _{0.1 MR}/^S e^-3S

Cresce μ_R → l_bb si trasla verso l'ulto → ω_c aumenta.

Calcolo di ω_c in funzione di μ_R:

_{0.1 μR}/^{S ω_c} = 1 → ω_c = 0.1 μ_R

φ_m = 180° - | - 90° - 0.1 μ_R ⋅ ₁₈₀/^π | = 90° - 0.3 μ_{R 180}/^π

μ_R ≤ _{50 ⋅ π}/^{0.3 ⋅ 180} = 2.9

Regolatore finale: _2.9/⁵ (1+5S) (1+20S)

Realizzazione industriale dei controllori PID

Esaturazione dell'azione integrale.

Schema con regola.