Limiti - Teoria ed esercizi

TERZO PASSAGGIO

Scriviamo le definizioni dei due limiti:

• | | |() |

∀ > 0 ∃ > 0 ∶ − < → − <

1 0 1 1

• | | |() |

∀ > 0 ∃ > 0 ∶ − < → − <

2 0 2 2

{ }

= min ,

Pongo in modo da scegliere il raggio dell’intorno più piccolo e fare valere

1 2

nella generalità tutte le condizioni.

QUARTO PASSAGGIO | |

−

1 2

<

Vado a riprendere la condizione che avevo stabilito inizialmente: 2

< −

| |

2

Porto il 2 dall’altra parte: 1 2

Aggiungo e sottraggo all’interno del valore assoluto f(x) in modo da avvicinarmi alle

condizioni che derivavano dalla definizione dei due limiti (terzo passaggio) senza perdere di

generalità (aggiungendo e sottraendo la stessa quantità è come se sommo 0 e quindi non

creo ambiguità); dopodiché ordino i termini per avvicinarmi a quelle condizioni appena

citate:

< − + − () = ( − ()) + ( − )

| ( ) | ( )

2 | |

1 2 2

1

A questo punto sfrutto la disuguaglianza triangolare

< ( − ()) + ( − ) < − + −

( ) | ( ) | | ( ) |

2 | |

2 1 2

1

Guardando poi alle condizioni che derivano dalla definizione dei due limiti vado a vedere

| ( ) | | ( ) |

− < − <

che e

1 2

E quindi posso scrivere:

< − + − < + = 2

| ( ) | | ( ) |

2 1 2 <

2 2

Sono arrivato ad affermare che ma questo è UN ASSURDO.

Quindi la mia ipotesi che esistono due limiti diversi è errata e quindi vuol dire che esisterà

un solo unico limite.

2-TEOREMA DI PERMANENZA DEL SEGNO

ENUNCIATO

Se il limite in Xo di una funzione è positivo allora vuol dire che la funzione è localmente

positiva (in un intorno di Xo)

lim () = > 0 > 0

E cioè se allora

→

0

DIMOSTRAZIONE

L’obiettivo è dimostrare che f(x)>0

PRIMO PASSAGGIO

= >0

lim () = > 0

Consideriamo Assumiamo che 2

→

0

SECONDO PASSAGGIO

Scriviamo la definizione del limite

• | | |()

∀ > 0 ∃ > 0 ∶ − < → − | <

0

=

Poiché abbiamo assunto andiamo a sostituire

2

• | | |()

∀ > 0 ∃ > 0 ∶ − < → − | <

0 2

Elimino il valore assoluto e quindi devo scrivere:

− < () − <

2 2

Ricordandoci l’obiettivo, isolo f(x) facendo attenzione che quando abbiamo il compreso e

sposto un elemento, questo lo devo spostare da entrambe le parti

+

− < () <

2 2

E quindi

3

0< < () <

2 2

0 < () () > 0

E quindi cioè

COROLLARIO

Il corollario mi inverte le condizioni: se la funzione è positiva localmente allora il limite è

positivo.

Si dimostra supponendo l’assurdo: suppongo che la funzione è positiva e il limite è

negativo. Ma ciò non può avvenire perché il teorema mi dice che se il limite è negativo

anche la funzione è negativa. E quindi partendo dalla funzione che è positiva dico che il

limite è positivo. c.v.d. Condizione iniziale Conseguenza

TEOREMA Limite positivo Funzione positiva

COROLLARIO Funzione positiva Limite positivo

3-TEOREMA DEL CONFRONTO

ENUNCIATO

Prese tre funzioni f, g e h che rispondono a queste due ipotesi:

() ≤ ℎ() ≤ ()

1. lim () = lim () =

2. → →

0 0

Allora

lim ℎ() =

→

0

Cioè

Se io so che la funzione f è minore di h che è a sua volta minore di g, e so anche che i limiti

di f e di g (i due “carabinieri”) sono uguali per X che tende a X0, allora anche il limite di h è

uguale ai limiti di f e g

DIMOSTRAZIONE

PRIMO PASSAGGIO

Iniziamo con lo scrivere la definizione dei limiti che conosciamo per l’ipotesi 2. e cioè i limiti

di f e di g

Definizione del limite di f

• | | |()

∀ > 0 ∃ > 0 ∶ − < → − | <

1 0 1

Togliamo il valore assoluto

− < () − <

Isoliamo f(x)

− < () < +

Definizione del limite di g

• | | |()

∀ > 0 ∃ > 0 ∶ − < → − | <

2 0 2

Togliamo il valore assoluto

− < () − <

Isoliamo f(x)

− < () < +

SECONDO PASSAGGIO

{ }

= min ,

Pongo in modo da scegliere il raggio dell’intorno più piccolo e fare valere

1 2

nella generalità tutte le condizioni.

TERZO PASSAGGIO

Mi riscrivo l’ipotesi 1.

() ≤ ℎ() ≤ ()

Sfrutto le uguaglianze in rosso e scrivo

− < () ≤ ℎ() ≤ () < +

− < () ≤ ℎ() ≤ () < +

Ho quindi scritto che

− < ℎ() < +

Ma questa è la conseguenza che si ottiene quando si definisce il limite e quindi possiamo

lim ℎ() =

concludere che che è proprio la tesi che volevamo dimostrare

→

0

ALGEBRA DEI LIMITI FINITI

LEMMA

ENUNCIATO

: ℝ → ℝ lim () = ∈ ℝ

Data tale che allora è limitata localmente (cioè vicino, in un

→

0

intorno di )

0

DIMOSTRAZIONE

= 1

Si fissa | | |()

∃ > 0 ∶ − < → − | < 1 → − 1 < () < + 1

Allora e di qui la

0

tesi.

TEOREMA

ENUNCIATO , : ℝ → ℝ lim () = ∈ ℝ lim () = ∈ ℝ

Date tali che e

1 2

→ →

0 0

Allora:

(()

lim + ()) = +

1. 1 2

→

0 (()

lim ∙ ()) = ∙

2. 1 2

→

0 ()

1 (

lim = ≠ 0)

3. 2

()

→ 2

0

DIMOSTRAZIONE 2.

∈ ℝ, > 0

Sia fissiamo

0 • | | |() |

∃ > 0 ∶ 0 < − < → − <

Per ipotesi A

1 0 1 1

• | | |() |

∃ > 0 ∶ 0 < − < → − <

Per ipotesi B

2 0 2 2

()() ∙

Si vuole dimostrare che il limite di valga e quindi bisogna stimare la

1 2

()() ∙

distanza tra ed .

1 2

|()() − ∙ | →

Tale distanza sarà e dovrà essere piccola a piacere al tendere di .

1 2 0

→ () () ∙ () ()

Al tendere di , tendono ad , la distanza tra e diventa

0 1 2

piccola a piacere. = min { , }

Per usare contemporaneamente A e B si sceglie l’intorno più piccolo: 1 2

| |

0 < − < |()() − ∙ |

Quindi se si ha si scrive la distanza

0 1 2

() ∙

Aggiungendo e sottraendo :

1

|()() | |()

− ∙ () + ∙ () − ∙ = ∙ (() − ) + ∙ (() − )|

1 1 1 2 1 1 2

Sfruttando la disuguaglianza triangolare:

|() |()| |() |

∙ (() − ) + ∙ (() − )| ≤ ∙ − + | | ∙ |() − |

1 1 2 1 1 2

|()() − ∙ |

L’obiettivo è quello di rendere la distanza piccola a piacere.

1 2

()

Si sa per ipotesi del teorema che ammette limite finito e quindi, per il lemma

precedente, la funzione è limitata e quindi sarà minore di una certa costante che si

.

chiamerà genericamente Sfruttando anche le disuguaglianze colorate si potrà scrivere

che: |()| |() | | | |() | | | | |)

∙ − + ∙ − < + = ( +

1 1 2 1 1

| |) | |)

( + = ( +

La quantità piccola a piacere la possiamo interpretare come

1 1

È stato dimostrato che per ogni quantità piccola a piacere vi è un intorno di in modo tale

0

|()() − ∙ | .

che in quell’intorno la distanza sia minore di E questo dimostra

1 2

(()

lim ∙ ()) = ∙

proprio che 1 2

→

0

ALGEBRA DEI LIMITI INFINITI

PROPOSIZIONE

ENUNCIATO lim () = > 0 ∈ ℝ

→

0

Si considerino lim () = +∞

→

0

lim () ∙ () = +∞ ∙ +∞ = +∞

Allora si dimostra che e cioè

→

0

DIMOSTRAZIONE

• > 0,

Sia | |

∃ > 0 ∶ 0 < − < → () >

per ipotesi A

1 0 1

• =

Sia 2 3

| |

∃ > 0 ∶ 0 < − < → < () <

per ipotesi B

2 0 2 2 2 = min { , }

Per usare contemporaneamente A e B si sceglie l’intorno più piccolo: 1 2

| |

0 < − < ()() > ∙ =

Quindi se si ha si può scrivere che:

0 2

()()

Si è dimostrato che è sempre maggiore di una costante grande a