Topografia - Teoria ed esercitazioni

Cenni sulla probabilità

La probabilità è il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili. Tutti i casi possibili devono essere equiprobabili.

La definizione frequentistica si basa sul fatto che al tendere delle prove all'infinito, si stabilizzerà il valore della probabilità.

La probabilità di un evento è un numero compreso tra 0 e 1.

Se gli eventi sono incompatibili: p(A∪B) = p(A) + p(B)

Se si possono verificare entrambi: p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B)

Teorema della probabilità totale

p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B)

Probabilità condizionata

p(A|B) = p(A∩B) / p(B)

Probabilità che si verifichi A sapendo che B è verificato.

p(A∩B) = p(B) × p(A|B)

Probabilità composta

A è stocasticamente indipendente da B se: p(A|B) = p(A)

Condizione necessaria e sufficiente affinché non ci sia affinità tra A e B è che:

p(A|B) = p(A) × p(B)

Se p(A|B) ≠ p(A) × p(B) allora:

p(A|B) ≠ p(A) × p(B)

La probabilità composta è p(A∩B)

Teorema di Bayes

Dalla definizione di probabilità condizionata:

p(A|B) = p(A∩B) / p(B)

p(B|A) = p(A∩B) / p(A)

p(A|B) = p(A|B) × p(B) / p(B|A) = p(B|A) × p(A)

p(A|B) × p(B) = p(A|B)

• 10% capelli chiari
• 60% capelli scuri
• 25% occhi azzurri
• 7% occhi azzurri

Probabilità che ha occhi azzurri?

Probabilità che abbia anche capelli chiari?

Se A: capelli chiari P(A): 0.4

B: occhi azzurri

A: capelli scuri, P(A): 0.6

p(B): P(B|A) ⋅ P(A) + P(B|A') ⋅ P(A') = 0.25 ⋅ 0.40 + 0.07 ⋅ 0.60 = 0.142

p(A|B) = P(B|A) ⋅ P(A)

P(B) = 0.10

0.142 = 0.7042

(ES)

Costruire istogramma

• Intervalli
• Freq. relativa
• Δxi (ampiezza intervalli)
• h_i (altezza istogramma)= f_i(Δxi)^-1 (area)
• F_i (frequenza cumulata)

Costruire boxplot

Si disegna una scatola tra valori Q1 e Q3. Con la linea verticale si individua la mediana Q2.

Valori limiti L e R sono:

L: Q1 - 1.5IQR

R: Q3 + 1.5IQR

ES

x: 10.2 14.6 14.4 14.5 14.5 14.6 14.7 14.7 14.7 14.7 14.7 14.9 15.1 15.9 16.1

Q1: 14.4

Q3: 14.9

Q2: 14.6

IQR = Q3 - Q1 = 0.5

Errori (outliers): punti inferiori a Q1 - 1.5xIQR = 13.65

superiori a Q3 + 1.5xIQR = 15.65 → 10.2, 15.9, 16.4, possibili errori

Trasformazione di variabili casuali

Indichiamo con X la variabile casuale che rappresenta il lancio di un dado.

P(X pari)=0.5, P(X dispari)=0.5

Se y=g(x)

X pari → y testa

X dispari → y croce

y { testa 1/2, croce 1/2 }

P(yεA_y)=P(xεA_x)

f_x(x)dx = f_y(y)dy

F(y)=∫f_x(x)dx

          ^dy

          ─_dx g(x)

Quindi f(y)= f_x(x).

          ─

          g²(x)

Propagazione della varianza

La matrice varianza-covarianza contiene le varianze in diagonale principale e le covarianze nelle altre celle:

C_xx = { σ_x² σ_xy σ_xz σ_xy σ_y² σ_yz σ_xz σ_yz σ_z² }

x = {y₁ y₂ ... y_m}^T

A = {a₁₁ a_m1}^T

y = {x₁ x₂ ... x_m}^T

Sia Y=AX una relazione tra vettori x e y, nota la matrice C_xx, allora:

C_yy = AC_xxA^T

X = {x¹}^T {y¹}^T

E( (x-m_x)(x-m_x) (y-m_y)(y-m_y)) = (x-m_x) (y-m_y)^T con E : media

= σ_xy σ_xy σ_yx σ_y²

= C_xx

Nel caso lineare:

Y = AX C_yy = E[ (Y - MY)(Y - MY)^T ] ma Y - MY = AX - AM_y per teorema della media C_yy = E[(AX - AH)(AX - AH)^T ] Sapendo che (AB)^T = B^TA^T C_yy = E[A(x-H)ⁱ(x-H)^j A^T] = AC_xxA^T

Esempio:

• x₁ = 100 ± 0,03 m
• Δ = 3 f
• γ = 200 ± 0,05 mm
• R ={ cosc 0,5 sin Δ -sen Δ cos 1}x = {x¹}^T
• (x_l)= { X^l Y^l }^T= RX = {√2 0,5 11(10 0)}^T= {(186,61 232,21)

σ_x^l = 13, σ_y^l = 2,1, σ_xy = -3,9

ES

• X ~ N(1, 0,01)
• Y = 10X - 4
• μ(Y|X = 1) = 6
• ε̂² = 10 * 0,01 = 0,1
• Y ~ N(6, 0,1)
• P(5,8) = P(4,0) * P(0,2) = 0,2185

Concetto di stima

Le statistiche campionarie possono considerarsi stima delle corrispondenti quantità teoriche.

Se X denota misure di un angolo con m = 4 misurazioni per ogni gruppo di 4 misure dello stesso angolo, possiamo calcolare t = t(x₁, x₂, x₃, x₄ = m') che diventa a sua volta una variabile casuale che descrive la media dei gruppi di misure dello stesso angolo.

Quindi bisogna definire rapporto tra t e θ, chiamato stima.

Una stima t è definita corretta se la variabile casuale t ha la media teorica uguale a θ: E(t) = E(t(x₁, x₂, x₃, x₁)) = θ

Una stima è consistente se lim_m→∞ E(t) = θ ∴ lim_m→∞ σ²(t) = 0

La media campionaria m_m = 1/m ∑_i x_i è una stima corretta della media teorica della variabile casuale da cui il campione è stato estratto. Usando il teorema della media:

E(m) = E( 1/m ∑_i x_i ) = 1/m E( ∑_i (x_i )) = 1/m ∑_i E(x_i ) = 1/m · m · μ_x = μ_x

σ²= 7(m) =  1/m ∑_i σ(x_i) = m · σ²_x/m² = σ²_x/m

La varianza campionaria non è una stima corretta della varianza teorica s²

s² = 1/m ∑ (x_i - m')²

s'² = 1/m-1 ∑ (x_i - m')² è la stima corretta

Proprietà della media campionaria

La media campionaria m_m = 1/m ∑_ix_i è una stima corretta della media teorica della variabile casuale. Usando il teorema della media:

m₁ + x₁/m + ... + x_m/m

E(m) = 1/m E(x₁) + 1/m E(x) = 1/m · ρ/μ₁ = μ

α₂-100.1=Δ1

α₃-α₂=Δ2

100-α₃=Δ3

100-α₃=Δ1

α₂=100.1-1.57α₄=T₂

α₃=α₂0.205 i₁

α₂=100.1-1526 t₂=1.15

X=0.21 Y=0.21

T₃=1.57

0.21

T=-0.15

T₁=101.57  101.99  101.57

T=-0.12

T_n=100.73

S-L:101.15

Principio di livellazione geometrica

Il livello a cannocchiale deve essere posto a metà tra i due punti l'errore di rettifica di un livello l'angolo che l'asse di collimazione forma con l'orizzontale quando lo strumento in condizioni operative. Posizionare lo strumento a metà per eliminare questo errore.

Nella livellazione geometrica le uniche grandezze misurate sono le lunghezze tra il visto e appoggio delle stadia cui espresso x il punto in cui l'asse di collimazione incorrea la stadia.

Δij=Li-Lj

Se lo scarto quadratico medio di una misura =Θj²

Θ=

e²=Θj² Θ_i²=2 Θj²

Θj=+-√(2Θj²)

AAB:

e_linea m stadia

e_linea=√

Sviluppo linea livellata

ebattuta:√

ebattuta: v√=

l²/100 e battuta

Il peso da dare ad ogni osservazione è inversamente proporzionale alla varianza.

p_i:k

C_yy=Θ_eQ

Nella livellazione la varianza è dir. prop. alla lunghezza della linea di livellazione.

p_i=k

l_i