Teoria e Pratica di Modelli Statistici + Stata

Modello statistico

Un modello è uno schema teorico che si concentra sugli aspetti strutturali più importanti. Un modello statistico tiene conto della relazione tra teoria e dati, e ha due componenti: deterministica o sistematica (regolare) e casuale (rumore). I dati non seguono mai una espressione matematica esatta a causa dell'errore di misurazione e di campionamento (es: l'osservazione di X_i non binom su una retta perfetta).

In generale, un modello statistico è un modello per una variabile di risposta o dipendente y_i:

Y = f_t(x_obs, x_unobs) + u_unobs

• f_t: funzione non nota
• x_obs, x_unobs: variabili esplicative o indipendenti, osservate
• u_unobs: errori causati dalle x_unobs

Solitamente assumiamo un modello statistico lineare:

y = x'β + e_univariate

e_unobs = β₀ + β₁x₁ + ... + β_kx_k + e_tot

• β₀, ..., β_k: k+1 coefficienti di regressione
• β₀: intercetta
• e_tot: componente casuale con distribuzione caso del 1_più

Per modello lineare si intende lineare nei parametri, ciò che può essere ricondotto a lineare tramite trasformazioni:

y = β₀ + β₁x + e → y = β₀β₁x + e → ln(y) = ln(β) + ln(x(β) + ln(e))

La variabile spiegata può essere lineare mediante una funzione monotona, non perfetta frontiera.

y = β₀ + β₁c + e → ma non si può linearizzare x

Dato un campione di grandezza m assumiamo che la relazione valga per ogni unità campionaria!

y_i = β₁ + β₂x_i1 + ... + β_kx_ik + e_i, i = 1, ..., m

Modello statistico lineare classico

Un modello è uno schema teorico che si concentra sugli aspetti strutturali più importanti. Un modello statistico tiene conto della relazione tra teoria e dati, e ha due componenti: deterministica o sistematica (regolar) e casuale (Rumore). I dati non seguono mai una espressione matematica esatta a causa dell'errore di misurazione e di campionamento (ex. osservazioni di $_i$ H non stanno su una retta perfetta).

In generale, un modello statistico è un modello per una variabile di risposta o dipendente $(_i)$:

Y = f(×_obs, ×_unobs) = f(_obs) + e_unobs

• f₁: funzione non nota
• ×_obs, ×_unobs: le variabili esplicative (regolare) e indipendenti e osservate
• ε_unobs: gli errori causati dalle ε_unobs

Solitamente assumiamo un modello statistico:

Y = ß₀ + ß₁ (×_...)=1)

ß₂ + ... + ß_k x_ki + e_i0

• k+1 coefficienti di regressione con ß₀intercept
• e_i: componenti casuali con distribuzione gaussiana

Per modello lineare si intende lineare nei parametri — cioè che può essere ricondotto a lineare tramite trasformazioni:

y = ß₀ + ß₁ x + ß² t ^t d → y = ß₀ + ß₁ x + ß² (z) + v (x_i + e)

y = ß₀ + ß₁ t → ln(y) = ln (αβ): ß₀ (x_i) + ln (e) + Ο (y_i → i)

y = ß₀ + ß₁ ×_z t + e

Detta una cognizione di grandezza assumiamo che la relazione valga per ogni unità campionaria:

Y_t μ_t β₁ Z_ri+ unità componenti variabi | campioni di carattere

Assumere le condizioni classiche alle covarianze, gli errori obbediscono le proprietà:

• E(e_i)=0 ∀
• Var(e_i)=σ² ∀i
• Cov(e_i; e_j)=0 ∀i≠j

Regressione lineare semplice

È il modello con una sola variabile esplicativa (x_i)

y_i = γ₀ + γ₁x_i + e_i, in cui:

• y_i: la costante
• γ₁: coefficiente angolare (pendenza)
• σ²: Var(c_y): varianza residua

Dato che E(y_i|x)=, allora:

y̅ = y₀+ γ̂₁x̅

Pendenza: parametro più importante del modello:

γ̂₁ = E(y_i|x)