Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
LIMITI TEORIA:
TEOREMA DELL'UNICITÀ DEL LIMITE:
limx→x₀ f(x) = l ∈ ℝ ⇒ l è unico ℝ±=ℝ∪{±∞}
ALGEBRA DEI LIMITI:
- limx→x₀ [f(x) ± g(x)] = limx→x₀ f(x) ± limx→x₀ g(x)
- limx→x₀ [c f(x)] = c limx→x₀ f(x)
- limx→x₀ [f(x) g(x)] = limx→x₀ f(x) ⋅ limx→x₀ g(x)
- limx→x₀ [f(x)/g(x)] = limx→x₀ f(x) / limx→x₀ g(x)
- limx→x₀ [g(f(x))] = g (limx→x₀ f(x))
ELENCO DEI LIMITI FONDAMENTALI
- limx→±∞ k = k
- limx→±∞ x = ±∞
- limx→±∞ ax = ±∞ limx→−∞ ax=0 con a>1
- limx→±∞ ax=0 limx→−∞ ax=±∞ con 0<a<1
- limx→±∞ xn=±∞ limx→−∞ xm = ±∞ con m PARI
- limx→±∞ xm = ±∞ con m DISPARI
- limx→±∞ √nx = ±∞ con n DISPARI
- limx→0⁺ √nx = ±∞ con n PARI
- limx→0⁻ loga(x) = −∞ limx→0⁺ loga(x) = ±∞ con a>1
- limx→0± loga(x) = ±∞ limx→0⁻ loga(x) = −∞ con 0<a<1
- limx→±∞ |x| = ±∞
LIMITI TEORIA:
TEOREMA DELL'UNICITÀ DEL LIMITE:
limx⟶x0 f(x) = l ∈ ℝ ⟹ l è unico
ALGEBRA DEI LIMITI:
limx⟶x0 (f(x) ± g(x)) = limx⟶x0 f(x) ± limx⟶x0 g(x)
limx⟶x0 (c f(x)) = c limx⟶x0 f(x)
limx⟶x0 (f(x) · g(x)) = limx⟶x0 f(x) · limx⟶x0 g(x)
limx⟶x0 (f(x)/g(x)) = limx⟶x0 f(x) / limx⟶x0 g(x)
limx⟶x0 [g(f(x))] = g(limx⟶x0 f(x))
ELENCO DEI LIMITI FONDAMENTALI:
- limx⟶x0 k = k
- limx⟶±∞ x = ±∞
- limx⟶±∞ ax = ±∞ con a > 1
- limx⟶-∞ ax = 0 con a > 1
- limx⟶-∞ ax = +∞ con 0 < a < 1
- limx⟶+∞ ax = 0 con 0 < a < 1
- limx⟶+∞ xn = ±∞ con n PARI
- limx⟶-∞ xn = +∞ con n PARI
- limx⟶+∞ xm = ±∞ con m DISPARI
- limx⟶±∞ √n(x) = ±∞ con n DISPARI
- limx⟶-∞ √n(x) = +∞ con n PARI
- limx⟶0+ loga(x) = -∞ con a > 1
- limx⟶+∞ loga(x) = +∞ con a > 1
- limx⟶0+ loga(x) = +∞ con 0 < a < 1
- limx⟶+∞ loga(x) = -∞ con 0 < a < 1
- limx⟶±∞ |x| = +∞
Gerarchia di infiniti e ordini di infinito
- Un infinito "più veloce", "uguale" o "+ lento"
Diciamo che limx→∞ f(x) = ∞ = limx→∞ g(x) si chiama infinito
È di ordine superiore se:
limx→∞ f(x)/g(x) = ∞ f(x) va a ∞ + velocemente di g(x)
È di ordine inferiore se:
limx→∞ f(x)/g(x) = 0 f(x) va a ∞ + lentamente di g(x)
È di ordine uguale se:
limx→∞ f(x)/g(x) = l ≠ 0 f(x) va a ∞ con la stessa velocità di g(x)
Non sono confrontabili se:
limx→∞ f(x)/g(x) = ≠ f(x) non può essere confrontata con g(x)
Gerarchia di infiniti:
"<<" molto minore di, ordine minore
Per x→±∞
log x << xa << bx << xc << dx << gx << cx << xx
con a>1, a>0 a<b<c c<d<y
Principio di eliminazione di infinito di ordine
limx→+∞ f(x)/h(x)±...±f(x) = limx→±∞ f(x)/h(x) se e solo se
f(x) ha ordine maggiore di tutte le funzioni del numer.
h(x) ha ordine maggiore di tutte le funzioni del denom.
Relazioni di equivalenze asintotiche elenco:
- sin(x) ~ x per x -> 0
- arcsin(x) ~ x per x -> 0
- axⁿ ~ xⁿ ln(ax) per x -> 0
- 1 - cos(x) ~ x²/2 per x -> 0
- log(1+x) ~ x per x -> 0
- eˣ - 1 ~ x per x -> 0
- loga(1+x) ~ x / ln(x) per x -> 0
- arctg(x) ~ x per x -> 0
- -x²+x ~ x² per x -> +∞
- -(1+x)⁰ -1 ~ c x per x -> 0
- tg(x) ~ x per x -> 0
- sinh(x) ~ x per x -> 0
- tgh(x) ~ x per x -> 0
- cosh(x) - 1 ~ x²/2 per x -> 0
- x ± ax² ± bx³... = x + o(x) ∀ x per x -> 0
- ax ± 1/x ± b/x²... = ax + o(x) ∀ ax per x -> ±∞
- ln(1±x) ~ x per x -> 0
- ln(1+x) ~ ln x per x -> +∞
x può essere anche f(x) basta che rispetti che limx->x₀f(x) = x -> x₀...
che sia uguale al valore che tende la x in ogni relazione es.
ES LIMITE 29/12/2020
limx→0+ 2xβ[(1+x)2-βx]
2shx-tgx-x
(1+x)β = 1 + βx + β(β-1)/2 x2 + o(x2)
(1+x)β = 1 + βx + β(β-1)/2 x + o(x)
D: 2shx = 2x - x3/3 + o(x4)
-tgx = -x - x3/3 + o(x4)
f(x) → x→0+ β(β-1)/2 x2+β + o(x2)
β(β-1) x3 + o(x4)
- β = 0
- β = 1
- 2 + β > 3 → β > 2
- 2 + β = 3 β = 2
- 2 + β < 3 → β < 2
Studio di funzione
08/09/20
f(x) = x + e-x/x2 + ln x determina C affinché f(x) = C non ha soluzioni
C.E. x > 0 e x2 + ln x ≠ 0
Scrivo x2 + ln x = y(x) è def in ]0, +∞[
limx→0+ y(x) = 0+ - ∞ = -∞
limx→0+ y(x) = +∞
y(x) ha almeno un zero x0.
y'(x) = 2x + 1/x = 2x2 + 1/x > 0 ∀ x
Dominio di f(x) è ]0, x̄ [ ∪ ]x̄, +∞[
limx→0+ f(x) = 1/ -∞ = 0-
limx→0+ f(x) = ±∞±∞
z2
r1 =
r2
ei (θ1 - θ2)
zn = rn ei nθ
MODULO |z| e ARGOMENTO Arg(z)
z = r (cosθ + i sinθ) → MODULO: r , ARG: θ
z = r eiθ → MODULO: r , ARG: θ
z = a + i b → MODULO: √(a2 + b2) e ARG: θ ∈ [0; 2π[
- a > 0 , b = 0 Arg = 0
- a < 0 , b = 0 Arg = π
- a = 0 , b > 0 Arg = π/2
- a = 0 , b < 0 Arg = 3/2 π
- a > 0 , b > 0 Arg = arc tg (b/a)
- a < 0 , b > 0 Arg = π - arc tg (|b/a|)
- a < 0 , b < 0 Arg = π + arc tg (|b/a|)
- a > 0 , b < 0 Arg = 2π - arc tg (|b/a|)
- TRASFERIMENTO DALLE 3 FORME:
DA CARTESIANA A TRIGONOMETRICA:
r = √(a2 + b2) e θ = gli 8 punti visti sopra.
DA TRIGONOMETRICA A CARTESIANA:
a = r cosθ e b = r sinθ
DA ALGEBRICA A ESPONENZIALE:
r = √(a2 + b2) e θ = gli otto punti visti sopra
DA ESPONENZIALE A ALGEBRICA:
a = r cosθ e b = r sinθ
DA ESPONENZIALE A TRIGONOMETRICA O VICEVERSA
IDENTITÀ DI EULERO: r eiθ = r (cosθ + i sinθ)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
