Teoria di Sommerfield

A. Sommerfeld - Teoria quantistica dell'elettrone libero

Ipotesi

1. Elettrone ^a non interagente con il core
2. Elettroni paramagnetici -> ma interazione e-e da considerare

Equazioni e condizioni

L₂ = N_j a_j; f_j = L₃ x_j
L_j x = L₃ a_j, j = 1, 2, 3

Potenziale di interazione nullo: V(z) = 0 se 0, ∞ se z > l
Elettrone in una scatola
Condizioni al contorno: Ψ(z₁) - Ψ(z₁ + l) = 0
Soluzioni: Ψ_n(x) = A sin(Knx) fuori della scatola, Ψ è nulla

Come soluzioni si vogliono onde piane
Le condizioni di contorno ora sono PBC -> posso considerare il singolo come impatto

Equazione di Schrödinger

H₁ = ħ²a_j + V(z)
ħ²a_j/ - EΨ
Solo energia cineticaħ²/ Ψ - EΨ = a_j com Ψ(r)

Cerco la soluzione tipo Ψ(ξ)e^-k_m/ | Ψ(r, t) - Ψ⁰(z) e^-iωt
Z. Schrödinger Ē|k Stato stazionario ha solo la parte reale²a^j/Ψ(ξ;a_t) = a_j/k²/a_tx - k²a_mS/ɸ Ψ(r, t)

Normalizzazione e condizioni di periodicità

Ondapiano, associata di Ψ con un valore E dato Ψ_r(r) = Ae^iKz_s
E(ξ;k) + k²a_mS_z se lo spazio è infinito Ψ₀ = Ψ(x)

Normalizzazione: Ψ = Ψ ^kx = A² = |A|²/bB = |A|/√VPBC: Ψ(ξ;a_t) = Ψ(ξ ϰ_j,min ≃ 2π/L di discretizzazione dei ϰ_j
Di macroscopia quindi ϰ_j molto piccolo posso passare da somme a integrali (Lϰ_x considerato variabile continua)

Autofunzioni e calcolo degli operatori

Ψ_ϰ() = 1/√V e^iϰ· Autofunzioni di Ĥ sono autofunzioni anche dell'operatore Â, ̂? Ψ_ϰ() = ℏ k Ψ_ϰ()
Â, Ĥ commutano e possono calcolarsi comuni.  = ℏ/ ∂/∂ Ψ_ϰ() = (ℏ/ / ) Ψ_ϰ

Momento e energia

Ξ Ξr̥ Ξ (A Ξ Ψ) (ℏ/ k) / Ξ Ξ Ξ ΨA subscript-1 ΨĤ = P = ℏ ∇(r⃗ ) = ℰ(⃗ )
ℰ() = ℏ² k² / 2m = (1/2) ²² (p=m) ^A (1/2)^sub (T) ^sub mE subscript^sub

Poiché prese come soluzioni Ψ = sin(_k(), la quantità di moto non erano autostati di ÂΨ(r⃗ )=1/√V e^{ϰκ ·}Âκ subscript-1 Ψe = Tan o xĤ() (E(k⊹() (k^{sub ╜subscript-1) -⇔k,}

Considerazioni finali

Pauli: 2e sangolo del gamma in modo stato (=m) ♢ = vecamo M o A^sub, stato ()co-scecerò subPoiché doveva subisso, in uomo continuando di (helm per->↦ oil ()omega, () (Φ)= kali late | f (σ oΩ=coωθ(k) tass=✄ ℏe ^{genûm o sup2(define)(√)modere °, ¹ α ⚠/sub}/2)ωレl√❤^subscript/ekProfieri del grande stato.J = OkNumeri no da smentere negli stati

U_o(n) = ¹⁄_V ∑ ( ^e1⁄_K⁄_j³ = ∑ ^ℏk2⁄_2m + 2 ∑^ℏk2⁄_2m -> ^ℏk2⁄_m - > K discreto -> ^K⁄_V sommasu fin transforma integralediscretoΔk = 2^π⁄_Lk_j confermi Δk_j=2π¹⁄_Lm_j mg e²elementi del volume che compete a uno singolo stato

∑⁄_k ∑ ^ℏk2⁄_2m = ∑ ^k2⁄_(2π)³ K³⁄_vΔk = ¹⁄_v(∑)2integrale U_o(n) = ∫^Emu⁄_Emin g_o(ε) dεg(_ε)d_ε#statiE_T(E;d_ε)ε(k)ε E + dE = costg_o(ε) &equal; ^V⁄_2π² εg_f(ε) = 2g_n(ε) g_p(ε) = g_(ε)fdepend perche ε sul teatro anima del parinde delg_f(ε) d_{ε (π² 2)}3R anche a temperature ambiente Deluye Sommerfeld

Cv μ mol - 3 2R = 3 2kB T ≃ 3 εF 5 praticamente indipendentemente da T