Teoria completa di Meccanica Razionale -Geometria delle masse, dinamica del corpo rigido-

INTRODUZIONE

VETTORI

I vettori sono elementi di spazi vettoriali. Si utilizzeranno generalmente spazi vettoriali in tre dimensioni: \( V \in \mathbb{R}^3 \).

I vettori verranno indicati con i simboli: \(\vec{v}, \vec{u}, \vec{w}, \vec{a}\) con \(\vec{v} \in V\).

Un vettore è caratterizzato da:

1. MODULO \((|\vec{v}|)\) cioè la lunghezza;
2. DIREZIONE cioè la retta su cui giace il vettore;
3. VERSO cioè l'orientazione della retta.

OPERAZIONI TRA VETTORI

1. SOMMA: \(\vec{u}, \vec{v} \in V \Rightarrow \vec{w} = \vec{u} + \vec{v}\) con \(\vec{w} \in V\)
2. PRODOTTO SCALARE: \(\lambda \in \mathbb{R}, \vec{v} \in V \Rightarrow \vec{y} = \lambda \vec{v}\) con \(\vec{v} \in V\)
3. DIFFERENZA: \(\vec{u}, \vec{v} \in V \Rightarrow \vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})\)

Si introduce il concetto di VERSORI cioè un vettore che ha un modulo (lunghezza) pari a 1 ed esprime una certa direzione e un certo verso. Si indica con \(\hat{v}\) ed è uguale, in modulo, a:

\(\hat{v} = \frac{1}{|\vec{v}|} \vec{v} \Rightarrow |\hat{v}| = \frac{1}{|\vec{v}|} = 1\)

N.B. Fino a questo momento sono stati esaminati solo VETTORI LIBERI cioè insiemi di segmenti orientati (vettori) tra loro equivalenti (con stesso modulo, direzione e verso) di cui si assume solo un rappresentante.

Ciò serve per non introdurre un sistema di riferimento.

1) Prodotto scalare:

\(\vec{u}, \vec{v} \in V \Rightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \varphi \)

con \(0 \leq \varphi \leq \pi\)

Geometricamente il valore \(|\vec{u}| \cos \varphi\) non è altro che la

proiezione ortogonale del vettore \(\vec{u}\) sul vettore \(\vec{v}\).

Il prodotto scalare associa a due vettori un numero reale (scalare)!

Il prodotto scalare è nullo \(\Rightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Leftrightarrow

\(|\vec{u}| = 0 \lor |\vec{v}| = 0 \lor \vec{u} \bot \vec{v} \Rightarrow (\cos \varphi = 0)\)

W.B.

Esistono vettori nulli ma uguali a zero (\(\vec{v} = 0\)).

\( \text{DIM }\,(N_v = |\vec{N}| \cos \varphi): \)

le componenti di \(\vec{u}\) lungo \(\vec{v}\) non è altro che la sua

proiezione ortogonale su \(\vec{v}\) che per definizione è data da:

\(N_v = \vec{v} \cdot \epsilon = |\vec{v}| \cdot |\epsilon| \cdot \cos \varphi = |\vec{N}| \cos \varphi \quad C.V.D. \)

3) Modulo al quadrato:

\(\vec{N} \in V \Rightarrow |\vec{N}|^2 = \vec{N} \cdot \vec{N} = \vec{N} \cdot \vec{N} \cdot \cos \varphi\)

3 due vettori sono paralleli \(\Rightarrow \cos \varphi = 1 \Rightarrow |\vec{N}|^2 = \vec{N} \cdot \vec{N}\)

6) Somma al quadrato:

\(\vec{u}, \vec{v} \in V \Rightarrow\)

\(\Rightarrow |\vec{u} + \vec{v}|^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{u}\)

Per la proprietà commutativa \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} \Rightarrow\)

\(\Rightarrow |\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2 \vec{u} \cdot \vec{v}\)

Bisogna avere che i, j, k siano L.I se e solo se j, k, n devono essere complanari a w.

Il prodotto misto gode della seguente proprietà:

Permutazioni cicliche di w

Doppio prodotto vettoriale:

v, n, w ∈ V => v × n × w = 2 con z ∈ V

Notazioni di Grassman

le nostre notazioni sono un insieme di vettori che hanno un punto fisso e un punto mobile. Quando le nostre notazioni hanno un massimo dei punti.

Per la notazione di Grassman, un vettore può essere definito come la differenza tra due punti.

^B N = B - A => A + n = B Si passa da un punto all'altro con un vettore

A B (X_B, Y_B, Z_B) A (X_A, Y_A, Z_A) N = (X_B - X_A) i + (Y_B - Y_A) j + (Z_B - Z_A) k

se considero N = B - A e aggiungo e sottraggo un punto C

N = B + A = B – C + C – A = (B – C) + (C – A) Si ottiene le regole del parallelogrammo

SISTEMI DI VETTORI APPLICATI

Un SISTEMA DI VETTORI APPLICATI è un insieme di vettori tra loro ovunque per modulo ovunque e verso applicati tutti in punti diversi.

S = { (P_i, v_i) }_i=1...N

Questo è un SISTEMA DISCRETO cioè un sistema formato da più parti.

N.B. Tutte le formule e i teoremi che verranno introdotti saranno validi per sistemi discreti, ma si possono estendere anche al caso continuo.

Un sistema di vettori applicati è caratterizzato da due VETTORI CARATTERISTICI.

Uno di essi è il VETTORE RISULTANTE definito come la somma di tutti i vettori v_i:

R = ∑_i=1^N v_i

N.B. Il vettore risultante è un vettore libero, privo quindi di posizione sul punto di applicazione.

Il secondo vettore caratteristico è il MOMENTO RISULTANTE che è definito come la somma dei momenti v_i rispetto all’asse polo O, da non confondere con il momento del vettore risultante R.

M(O) = ∑_i=1^N (P_i-O) x v_i

N.B. Anche M(O) risulta essere un vettore libero, perché è dato dalla somma di altri vettori liberi.

Adesso è possibile dare la definizione di asse centrale:

L'ASSE CENTRALE è il luogo di punti di spazio dove come

poli andremo al momento del ritorno uguale al momento

vettoriale: |M(O)| = |Mp| con |Mp| = |I/R|

valore minimo

N.B. Se I=0 >> Mp=0 con R≠0

M(O) = _i=1^N∑ (Ω-O) × N_i = (Ω-O) × _i=1^N∑ N_i =

non dipende da i

= (Ω-O) × R^- = (Ω-O) × R^' = M'^-(O)

per definizione R^- = R^'

N.B. Il momento risultante è uguale al momento del vettore risultante e in generale questa affermazione non vale.

1. Vettori complanari

∀ N_i M^-(O) ⊥ π^- => I = O => M_P = 0

(P_i, N_i) ∈ π => { R = O^-

o R ∈ π con R ≠ O^-

O ∈ π

N.B. Se R^- = O^- e M^-(O) ≠ O^- il sistema è equivalente ad una coppia di vettori e non ad un singolo vettore applicato, quindi non si può definire l'asse centrale e il momento risultante.

1. Vettori paralleli

S = {(P_i, N_i)} _i=1...N

e̅

| | | | | | |

R̅

N_i = n_i e̅ con n_i ≥ O

R^- = _i=1^N ∑ N_i e̅ = R e̅

con R = _i=1^N ∑ n_i ; N_i ∈ ℝ

G - O = ¹⁄_m ∫_C β(p) ⋅ (p - O) dC

β(p) = \u2211 definita del punto p

m = ∫_C β(p) dc

L'elemento dc può assumere forme diverse in base alle dimensioni del corpo C. Si usa dx lungo una dimensione, dxdy se il corpo è bidimensionale, e se il corpo è in tre dimensioni si utilizza dxdydz.

In particolare se corpo omogeneo β(p) = cost

=> m = ∫_C β dc = β ∫_C dc

con ∫_C dc = misura del corpo = msc

In questo caso:

G - O = ¹⁄_{β msc} β ∫_C (p - O) dC = ¹⁄_msc ∫_C (p - O) dc

Proprietà distributiva:

Anche nel caso del calcolo del centro di massa è possibile applicare la proprietà distributiva.

Se si divide il sistema in più parti, si può calcolare il centro di massa per ognuna di esse, e il centro di massa totale si può calcolare come il centro di massa dei centri di massa.