Teoria completa di Meccanica Razionale -Geometria delle masse, dinamica del corpo rigido-

Introduzione ai vettori

I vettori sono elementi di spazi vettoriali. Si utilizzano generalmente spazi vettoriali in tre dimensioni: V(I R³). I vettori verranno indicati con i simboli V, N, N, N con V ∈ V. Un vettore è caratterizzato da:

1. Modulo (|N|) cioè la lunghezza;
2. Direzione cioè la retta su cui giace il vettore;
3. Verso cioè l'orientamento della retta.

Operazioni tra vettori

1. Somma: V, N ∈ V ⇒ W = V+N con W ∈ V
2. Prodotto scalare: λ ∈ R, N ∈ V ⇒ J = λ N con V ∈ V
3. Differenza: U, N ∈ V ⇒ J - N = U + (-N)

Si introduce il concetto di versori, cioè un vettore che ha un modulo (lunghezza) pari a 1 ed esprime una certa direzione e un certo verso. Si indica con e ed è uguale in modulo a: e = 1/|N| . N ⇒ |e| = 1/|N| . |N| = 1

N.B. Fino a questo momento sono stati esaminati solo vettori liberi cioè insiemi di segmenti orientati (vettori) tra loro equivalenti (con stesso modulo, direzione e verso) di cui si assume solo un rappresentante. Ciò serve per non introdurre un sistema di riferimento.

Introduzione ai vettori (ripetizione)

I vettori sono elementi di spazi vettoriali. Si utilizzeranno generalmente spazi vettoriali in tre dimensioni: V (R³). I vettori verranno indicati con i simboli: \(\vec{v}, \vec{u}, \vec{n}, \vec{w} \) con \(\vec{v} \in V\). Un vettore è caratterizzato da:

1. Modulo (\(|\vec{v}|\)) cioè la lunghezza;
2. Direzione cioè la retta su cui giace il vettore;
3. Verso cioè l'orientazione della retta.

Operazioni tra vettori (ripetizione)

1. Somma: \(\vec{u}, \vec{n} \in V \Rightarrow \vec{w} = \vec{u} + \vec{n} \) con \(\vec{w} \in V\)
2. Prodotto scalare: \(\lambda \in R, \vec{n} \in V \Rightarrow \vec{v} = \lambda \vec{n}\) con \(\vec{v} \in V\)
3. Differenza: \(\vec{u}, \vec{n} \in V \Rightarrow \vec{v} - \vec{n} = \vec{u} + (-\vec{n})\)

Si introduce il concetto di versori: cioè un vettore che ha un modulo (lunghezza) pari a 1 ed esprime una certa direzione e un certo verso. Si indica con \(\vec{e}\) ed è uguale, in modulo, a: \(\vec{e} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} \Rightarrow | \vec{e} | = \frac{1}{|\vec{v}|} = 1\)

N.B. Fino a questo momento sono stati esaminati solo vettori liberi cioè insiemi di segmenti orientati (vettori) tra loro equivalenti (con stesso modulo, direzione e verso) di cui si assume solo un rappresentante. Ciò servirà fin non introduco un sistema di riferimento.

Prodotto scalare

_u, _n ∈ V ⇒ _u ∙ _n = |_u| |_n| cos φ con 0 ≤ φ ≤ π. Geometricamente il valore |_u| cos φ non è altro che la proiezione ortogonale del vettore _u sul vettore _n. Il prodotto scalare associa a due vettori un numero reale (scalare)! Il prodotto scalare è nullo _u ∙ _n = 0.

|_n|² = _n ∙ _n cos φ. I due vettori sono paralleli ⇒ cos φ = 1 ⇒ |_n|² = _n ∙ _n.

Somma al quadrato

_u, _n ∈ V ⇒⇒|_u + _n|² - (_u + _n) ∙ (_u + _n) = |_u|² + |_n|² + _u ∙ _n + _n ∙ _u. Per la proprietà commutativa _u ∙ _n = _n ∙ _u ⇒⇒|_u + _n|² - |_u|² + |_n|² + 2_u ∙ _n.

Basi di uno spazio vettoriale

Si introduce il concetto di basi di uno spazio vettoriale V. Un sottogruppo di V di n vettori sono linearmente indipendenti e ogni vettore di V si può esprimere come combinazione lineare degli vettori della base. Si definisce basi ortonormali una base in cui i vettori sono ortogonali tra loro. {e₁, e₂, e₃} V {i, j, k} V {e_m} sono basi di R³. Conviene introdurre, quindi, il Delta di Kronecker i_m, i_en = S_{m n} definito come:

S_{m n} = { 1 m=n 0 m ≠ n {e₁, e₂, e₃} 1, {e₁, e₂, e₃} quando e_{1, 2, 3} = e.