APPUNTI MECCRAZ
- Ripasso Analisi:
Hessiana
- La matrice Hessiana è una matrice quadrata i cui elementi sono le derivate parziali seconde delle funzione f reale di più variabili reali.
- Nel caso di una funzione con n variabili reali dirò che:
- f: A ⊂ Rn → R
- La funzione è definita in un sottinsieme A di Rn e ammette derivate parziali almeno fino al secondo ordine in A.
- Possiamo scrivere che ∀ i,j ∈ { 1, …, n }
- &dtdp;2 f / &dtdp;xi &dtdp;xj = &dtdp;/ &dtdp;xi (&dtdp;/ &dtdp;xj f)
- Dove &dtdp;
- Esempio calcolo derivate parziali seconde
- f(x,y) = 3x2y + 2xy + x3 + y3
- Le variabili sono x e y
- &dtdp;2 f / &dtdp;x2 = 6xy + 4y
- &dtdp; / &dtdp;y = cxy + z
- &dtdp; / &dtdp;x = 6xy + 4y
- &dtdp;2 f / &dtdp;y2 = 6x + 4y
Thm Schwartz
- Se tutte le derivate seconde sono continue in A allora le derivate miste seconde coincidono. La conseguenza del teorema è che l'Hessiana risulterà una matrice simmetrica.
JACOBIANO
Consideriamo le funzioni che ci permettono di effettuare il passaggio dalle coordinate cartesiane (x,y) nel piano alle coordinate polari (ρ,θ)
x = ρ cos θ
y = ρ sen θ
x = f1(x1, x2, ..., xn)
y = f2(x1, x2, ..., xn)
La matrice jacobiana associata ad un cambiamento di coordinate di un generico sistema Rn ad Rm (definito da n funzioni) è definita come la matrice data da:
Jg = ∂f1/∂x1, ∂f1/∂x2, ..., ∂f1/∂xn
∂f2/∂x1, ∂f2/∂x2, ..., ∂f2/∂xn
∂fm/∂x1, ∂fm/∂x2, ..., ∂fm/∂xn
Il determinante delle matrice quadrata (n×n) appena scritta è lo Jacobiano associato al cambiamento di coordinate. Nel caso che il cambiamento sia da carteisane a polari ottengo:
det Jg = det |cos θ -ρsen θ|
|sen θ ρcos θ|
= ρ cos2 θ + ρ sen2 θ = ρ
Tale trasformazione si usa
- il dominio di integrazione è un cerchio, settore circolare, corona circolare (lo Jacobiano non cambia in funzione di dove è centrato il cerchio in esame).
Dalla definizione di integrale di seconda specie si possono ricavare gli argomenti dell'integrale
= - F(x(tx), y(t)yt = F(2E3+2t3,2E3- 2t2) - F(3)
y(t)=2E5. Nota
= 0 Prodotto scalare
Procediamo con la lezione F(x;y) = (∞, x) quando il valore ∞ diventa c e il valore y diventa x
dove,
0 parametrico di 0 d3-7Scarica il documento per vederlo tutto.
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