Teoria di Idraulica applica

Lezione 1

Lunedì 25 febbraio 2019

Lezioni a 11:30 e 14:30

No parziali

Il fluido si deforma in maniera continua sotto l'azione di sforzi e risponde allo sforzo con una velocità di deformazione.

Argomenti del corso

1. Fluidi in quiete - Statica dei fluidi
   • es. acqua in un contenitore
   • che forza agisce sulle pareti del contenitore?
   • Quindi la pressione del sistema?
2. Cinematica dei fluidi
   • es. Condotte in pressione dove abbiamo acqua che viaggia dentro la condotta (fluido confinato)
   • es. fluidi confinati a superficie libera (una superficie comune con l'atm)
   • L idraulica

L'acqua quando si muove può muoversi di moto laminare che fanno riferimento a dei modelli.

Bibli: (testi) Cengel (traslazione + ampia che uso freccia)

Ripasso nozioni matematiche

scalare es: pressione

vettore es: velocità in un punto

∇⋅a = (∂a/∂x) + (∂a/∂y) + (∂a/∂z) - divergenza (scalare)

∇a = (∂a/∂x) i + (∂a/∂y) j + (∂a/∂z) k - gradiente (vettore)

∇⋅v = (∂v₁/∂x) + (∂v₂/∂y) + (∂v₃/∂z) - divergenza (scalare)

∇v = [ (∂v₁/∂x) (∂v₁/∂y) (∂v₁/∂z) (∂v₂/∂x) (∂v₂/∂y) (∂v₂/∂z) (∂v₃/∂x) (∂v₃/∂y) (∂v₃/∂z) ]

va a formare una matrice

tensore

Φ = [ Φ_xx Φ_xy Φ_xz Φ_yx Φ_yy Φ_yz Φ_zx Φ_zy Φ_zz ]

Tensore degli sforzi

9 numeri in quanto 3 sforzi normali 3 sforzi tangenziali

∇⋅Φ = (∂Φ_x/∂x) + (∂Φ_y/∂y) + (∂Φ_z/∂z) (vettore)

dV

dΥ

dy

dt

viscosimetro e strumento per misurare la

viscosità

Abbiamo introdotto:

IL TENSORE DEGLI SFORZI

esempio:

dA

- in modo da poter immagine

sulla parete e che le fila di resistenze

si rompano forma — superfici così

accordata l'equilibrio

mancante con tale rete di

sforzi che mi tenga il

liquido.

Introduciamo il TETRAEDRO DI CAUCHY

Φ_x

Φ_y

Φ_z

Φ_n dA + Φ_x dAx + Φ_y dAy + Φ_z dAz = 0

dAy = -h_y dA

dAx = -n_xdA

dAz = -h_zdA

VARIAZIONE DI PRESSIONE CON LA QUOTA

In un campo gravitazionale, in un fluido in quiete, la pressione non varia in direzione orizzontale (mi pongo non a caso sopra isobare).

Se siamo in quiete lungo la direzione verticale, la pressione aumenta con la profondità perché sugli strati più profondi pesa la massa crescente del fluido sovrastante.

La relazione che lega pressione e profondità si ottiene prendendo l'equilibrio alla traslazione verticale di un elemento di fluido di altezza _Δz = z₂ - z₁, e lunghezza _Δx. Se è denso e costante omogeneo con ρ_f e ρ_e (le pressioni agenti a quota z₁ e z₂) si ha:

∑F_z = P₁Δx - P₂Δx - ρg_Δx_Δz = 0

P₁ - P₂ = ρg_Δz

Peso del fluido con γ_f = ρg (Peso specifico)

P₁ - P₂ = ϒ_Δz = ϒ(z₂ - z₁)

La differenza di pressione tra 2 punti in un fluido a colonna è proporzionale alla differenza di quota tra i due punti e alla densità del fluido.

La pressione in un fluido aumenta linearmente con la profondità

ϒ_P/ϒ + z₁ = P₂/ϒ + z₂

In generale P/ϒ + z = cost

LEGGE DI STEFANO

IL MODULO DELLA SPINTA CHE UN FLUIDO OMOGENEO

(denso costante) ESERCITA SU UNA SUPERFICIE PIANO

È UGUALE AL PRODOTTO DELLA PRESSIONE NEL BARICENTRO

DELLA SUPERFICIE PER L’AREA DI TATA SUPERFICIE

Per il verso e la direzione: la SPINTA È diretta Unga la

normale al piano e verso l’interno (Ponto di quello verso

la superficie c’e la pressione relativa (Del liquido è maggiore

di quella atmosferica) mente verso l’esterno se P>Patm (o)

Per potere calcolare la risultante di mia spinta, bisogna

conoscere la RETTA D'AZIONE DELLA SPINTA

la variabile non è premos but la pianta importo che la

retta d’azione della bruna non m’in’ui perpendico rec. le

baumento del rinc che fino alla pressi come Expo da

pressione è maggiore)

L'intersezione tra lece e la rotta d’addo viene definita

CENTRO DI SPINTA che dista É, dal sellentino

RE di fonda rota

S

ente regol

del

asse sdici

Ɣ

θ

spostata

reta di

asse

sorda

per

PES

dello

Sfulban

A

SUPpACCIOE come perfet pieta ferme che

centro

S

Y4

is

Yc

Retta di spoda daree retta di spada

G данный

to line paraida\ufffd uksozane loered- il momento della spinta respeitoalla reca di spardo- L’iavferoia dei momenti sulle

Spinto elementari rispetto alla

stessa rosa

Se = ∫A PreydA = ∫A yy/28 y dA = gcos0 ∫A Y²dA

cos o

MOMENTO D’INERZIA DELLA SUPERFICIE

RISPETTO ALLA RETA

DI SPONDA

Se = γson0 I

E = γrsonθ I = Xsonθ I I

М

S

Зей I I

S_Z - S_AB

S_AB - S = S_BC + S_AC + G

L_b scomporre nelle due direzioni

Per generalizzare il discorso ad un qualsiasi vetraccio:

Ripendo l'equazione indipendente della statica dei fluidi

-g?z = ?p per un elemento infinitesimo

Integrando su una superficie:

∫_w -pg∫ δdΩ = ∫_w ?pδdΩ

non è altro

che il peso!

Con il teorema delle divergenze:

∫_w?a dΩ = -∫_An dA

∫_w?(a⋅c)dΩ = -∫_A(a-β)n dA

L con c vettore constante che non dipende da x

∫_w ?(a⋅e)dΩ = [∫_wa?z dΩ ∫_wc⋅?adΩ]

∫_wa ?⋅ζ dΩ = 0

∫_wf ∫a dΩ = -∫_A(a-β)n dA

Ripendo i nostri calcoli:

∫_w?p dΩ = - ∫_Ap n dA in versione normale entrante

√_T√ risultante delle forze agenti sul volume

Quindi:

ᴛ_p + √ = 0 EQUAZIONE GLOBALE DELLA STATICA

spezziarne nelle componenti

Effetti di capillarità

Innalzamenti/abbassamenti che la superficie libera del liquido subisce all'interno di un tubo di piccolo diametro causato al livello della superficie libera del liquido in cui è parzialmente immerso.

Si può facilmente osservare che la superficie libera dell'acqua in un contenitore di vetro curva apparentemente verso l'alto in prossimità del vetro. L'opposto avviene per il mercurio, che invece curva verso il basso.

Questo effetto viene di solito espresso dicendo che l'acqua bagna il vetro (aderendo ad esso), mentre il mercurio non lo bagna.

L'intensità di tale effetto è quantificata tramite l'angolo di contatto φ, definito come l'angolo che la tangente alla superficie del liquido forma con la superficie solida nel punto di contatto.

• Se φ > 90°, il liquido non bagna la parete (es. mercurio)
• Se φ < 90°, il liquido bagna la parete (es. acqua)

Tale fenomeno può essere spiegato considerando:

• Forze di coesione (forze tra molecole di liquido)
• Forze di adesione (forze tra molecole diverse)

Il rapporto tra queste forze determina se il liquido bagna o no la parete.