Teoria delle travature

Teoria delle travature

Cinematica e definizioni

Cinematica: Studia se esistono campo di spostamenti eventuali condizioni di vincolo.

Def: struttura. Corpo o insieme di corpi che permette di trasporre azioni esterne a strutture interne (vincoli) per garantire l’equilibrio tra forze esterne e reazioni vincolari.

Ricorda: 2 punti hanno distanza costante.

Def: trave. Elemento con sviluppo prevalentemente monodimensionale.

Deformazioni: La distanza tra 2 punti non resta invariata che è spazio tridimensionale ed euclideo.

Curva regolare che prende il nome di asse longitudinale, baricentro, sezione trasversale.

Teoria delle travature

Cinematica della trave

Cinematica: Si dice se esistono campi di spostamenti ammissibili e le eventuali condizioni di vincolo.

Def: struttura. Corpo o insieme di corpi che permette di trasferire azioni esterne a strutture interne (vincoli) per garantire l'equilibrio tra forze esterne e azioni vincolari.

Ricorda: 2 punti hanno distanza costante.

Def: trave. Elemento con sviluppo prevalentemente monodimensionale.

Deformazioni: La distanza tra 2 punti resta invariata.

Che è spazio tridimensionale ed euclideo!

Che fa curva regolare che prende il nome di GET e il vettore tangente si è in G.

Asse longitudinale.

Baricentro.

Sezione trasversale.

Baricentro punto applicazione velocita peso.

Frecciam spostare e lungo l riman l tangate a l.

Raggio dicurvatura rispetto oin caso di sez costant.

Difinire il movimento della trave stabilisco qui origine e in verso di escaza curvilinea.

Il solido che si foma prende il nome di trave.

Se la sezione varia lungo s prende il nome di trave a sezione variabile.

Difiniz deform unicamento longitudinale dove esseredetimensione delle seguente relazioni:

• DN/A wiver A << 1.
• Ruckio piu piccolo che descina la sez traversale.
• 1/s << 1.
• Curvatura molto piccola.

Trave piana

"Immaginiamo una sezione trasversale τ".

Affinché la trave sia piana Γ deve essere contenuta in τ piano di simmetria per carichi esterni:

• Γ ∈ τ.
• τ piano simmetria per i carichi.
• Variabili ∈ τ.
• A ⊥ τ'.

Cinematica trave rigida, rettilinea e a sezione costante

Per descrivere uno spostamento ho bisogno di tre parametri: v_x(s) w_x(s) φ.

Angolo compreso tra le due tangenti (quella prima e quella dopo lo spostamento).

Spostamento punto P verso O.

U(s) = φ · x (P - O).

Considerando due punti P e Q.

U(P) = U(Q) + φ · ∧ (P - Q).

V_p = v_x + φ(x_p- x_a).

W_p = w_x + φ(y_p- y_a).

Se una trave è libera il suo campo di spostamento può essere considerato come rotazione attorno a un Centro Relativo Assoluto 3 g.d.l.

Traslaz. Verticale orizzont. Rotazione.

Bisogna trovare i centri di rotazione compatibili.

Trave vincolata

Vincolo: qualunque dispositivo che limita o condiziona l'insieme degli spostamenti ammissibili delle travi.

N.B. Le appartengono il piano contenente la direzione longitudinale prendono il nome di vincoli piani.

∀ P, Q ∈ B.

U(P) - U(Q) + ψ × (P - Q).

Nei punti vincolati tale relazione non è valida sono presenti delle limitazioni.

N.B. Nel caso di piccoli spostamenti fosse annullare il ss. indeformabile.

Confronto l'arco di circonferenza con la secante.

d = tg.

Commuto un piccolo arco.

I vincoli godono di tre proprietà: essi devono essere lisci, piani, bilateri.

Campo di spostamenti corpo rigido.

Esemplici con un'equazione.

Rigido, piano, infinitesimo.

Anche il campo di spostamenti deve essere.

Esemplici con un eq. di 1º gr.

Perché eq. di 2º grado.

Per piccoli spostamenti considero PO + PA iniziale l'arco di circonferenza.

d = tg.

Vincoli semplici doppi.

Def: centri di rotazione assoluta

Punto rispetto al quale il corpo si muove di moto puramente rotatorio.

Dispositivo in grado di impedire lo spostamento nella direzione dell'asse efficace.

1a) Carrello

_T libera → 3 DOF.

_T vincolata → 2 DOF.

• Spostamento.
• Rotazione.

_U(P): Â = 0.

Vp cosα + Wp senα = 0.

Che succede a Q?

Sia Q (v_q; w_q; φ).

v_p = v_q - φ (z_p - z_q).

w_p = w_q + φ (y_p - y_q).

U(e) = U(a) + φ ẑ x (p - q).

v_q cosα + w_q senα - φ [ (z_p - z_a) cosα - (y_p - y_a) senα ] = 0.

Asse verticale.

α = 0   v_p = 0.

Asse orizzontale.

α = π/2   w_p = 0.

Centro del disto: luogo dei punti compatibile con il vincolo che definiscono il campo di spostamento della trave.

Che succede e M?

M e U(M) = U(P) + (H-P) U(M) = U(P) + .

Prodotto misto tra due vettori paralleli.

U(M) = 0.

Partiamo da perché siamo su un piano in genere esistono una intersezione interna un centro.

(C-P) = ₁ ( .

Equazione che rappresenta il luogo dell’una sfera.

1b) Pendolo (biella)

Uguale al carrello, solo per spostamenti infinitesimi.

Spostamento lungo u(P), e_d e rotazione.

u(P) e_d = 0.

v_P cos_a + w_P sen_a = 0.

(C-P) = 1/p (l à 0(P)).

l = 0.

d=0.

v_P = 0.

d=g/2.

w_P = 0.

Piccoli spostamenti.

a ≈ q α.

Spostamenti non infinitesimi.

Non ammissibili.

1c) Doppio-doppio pendolo

ψ=0.

(C-P) = ¹/_ψ (i ∧ u(P)).

x ¹/₀ ∞ . . . ∞ ¹ retta indurata.

2a) Cerniero

Le leve posse 2 DOF.

Q(x₀,ω_ai,ψ).

U(P)=0.

v_z=0.

w_p=0.

Ṽ(P)=Ṽ(Q)+ψ ĭ ^ (P-Q).

v_Q-ψ(z_P-z_Q)=0.

w_Q+ψ(y_P-y_Q)=0.

(C-P)=¹/_ψ(ĭ ^Ṽ(P)).

C≡P.

Il centro è il punto conficiente con il p.to di apice del vincolo.

Descrive il comportamento della trave.

Un vincolo doppio può essere espresso come combinazione di 2 vincoli semplici.

v_(h)=0.

U(P)ê=0.

U(Q)ŝ=0.

2b) Doppio pendolo

Blocca rotazione e spostamento nella direzione.

φ = 0.

u(CP) ṡ̇ = 0.

• v_Bcos&#966; + w_Psen&#966; = 00.
• l₂ = 0.
• φ_P = 0.
• v_P = 0.

(G-P) = ¹⁄_φ′ (1 + ür(R̲)).

d 1/w.

3c) Incastro

Teorema vettoreale ψ_P = 0 U₁(P) = 0.

(E - P) = (^f_V⁄_ψ) (ι ∪ υ(P)).

Non esiste campo compatibile con l'incastro.

Non c'è nessun campo di spostamenti compatibile con il vincolo.

Molteplicità

Ricordando le leve libera.

Consideriamo Q ∈ τ, esprimibile con i parametri lagrangiani:

(V_Q, W_Q, φ).

Poss. riferire a Q gli spostamenti del punto P.

{V_P - V_Q - φ(Z_P - Z_Q) W_P - W_Q + φ(Y_P - Y_Q)} V_P,Q ∈ τ.

Incognite.

I parametri lagrangiani possono esprimere mediante combinazione lineare.

α₁V_Q + α₂W_Q + α₃φ = 0.

con α₁, α₂, α₃ ∈ ℝ≠0.

Nel caso della cerniera.

V_A = 0.

W_A = 0.

1. V_A + ⦾ W_A + ⦿ ψ = 0.

⦾ V_A + ⧫ W_A + ⧬ ψ = 0.

In generale.

d_i1V_Q + d_i2W_Q + d_i3ψ = 0.

d₂₁V_Q + d₂₂W_Q + d₂₃ψ = 0.

......

d_v12V_Q + d_v22W_Q + d_v23ψ = 0.

Qui V_e molteplicitá vincolo.

Possiamo scrivere il tutto in forma matriciale.

[C] {u} = {e}.

[C] = [d₁₁ d₁₂ d₁₃= = =d_v12 d_v22 d_v23].

τ(c) ≤ min (V_e1; 3).

Se il luogo è massimo la soluzione è quella banale.

Es.

V_e = 2 + 2 + 1 + 1 = 6.

Possiamo scrivere 6 equazioni di vincolo sia motore a sistema.

In forma matriciale [c] essa caratterizza da 6 righe e 3 colonne.

Le incognite del problema sono i parametri lagrangiani.

Struttura cinematicamente determinata

Isostatica.

Perstancia.

Cinematicamente indeterminata.

Labile.

Labile vincoli inefficaci.

Esempi

1 t = 3.

L'unica soluzione è quella banale.

(v_x; w_x; φ) = (0; 0; 0).

Ve=3-c[C].

Vincoli sono strettamente sufficienti a imporre la configurazione della trave.

Isostatica.

Ve=2+1=3.

Vincoli applicati sufficienti x uguaglianza.

VE=3.

Non è isostatica.

Iperstatica.

Ve≥3.

Se i=Ve-3 grado di iperstaticità.

Ve=4.

i=1.

Ve=2+3=5.

i=2.

Quanti vincoli posso togliere per restare nel campo delle strutture cinematicamente determinate.

Se le tolgo un vincolo (A) o ave(b), la struttura è sempre cinematicamente determinata.

Sia = 3 - grado di labilità > 0.

{0} : {0} ha ∞² soluzioni.

Labile.

Il numero di vincoli insufficienti per determinare la struttura.

L.V.I.

Posso tranquillamente sopprimere un vincolo e non cambio nulla il grado di indeterminazione.