Statica - travature reticolari, teoria, esercizi

CB

N N

AC CB

CB CB

N

AB

N

AB CB

CB Consideriamo l’asta AC:

N quando la forza normale N ha il

AC

CB verso rappresentato in figura,

diciamo che l’asta è soggetta a

trazione, ossia è tesa. Se

immaginiamo di tagliare l’asta

Asta tesa in una generica sezione S

N tirante posta lungo il suo asse e di

N

AC dividerla in due parti, affinché

CB ciascuna delle due parti sia

฀

ancora in equilibrio (nella figura

N > 0

N è rappresentata la parte

CB

AC

CB inferiore)

è necessario postulare che fra le due superfici individuate dalla sezione le

S

due porzioni di asta si scambino forze interne capaci di fare equilibrio alle

forze esterne. ฀

Se immaginiamo di tagliare l’asta in una generica sezione posta lungo il

S

suo asse e di dividerla in due parti, affinché ciascuna delle due parti sia

ancora in equilibrio (nella figura è rappresentata la parte inferiore) è

necessario postulare che fra le due superfici individuate dalla sezione le

S

฀

due porzioni di asta si scambino forze interne capaci di fare equilibrio alle

forze esterne. ฀

Consideriamo ora l’asta AB.

Asta compressa Diciamo che l’asta è compressa

puntone quando, immaginando di sezionare

N l’asta, la forza

AB normale N ha il

N

AB

CB verso indicato in figura a lato.

CB compressa è detta

Un’asta

puntone.

N

N

AB In travature reticolari molto

CB  semplici, come quella esaminata,

0

N per capire quale asta sia tesa e

quale asta sia invece compressa,

posso pormi questa domanda:

“Quali aste possono essere sostituite da una fune senza che la travatura

modifichi la sua forma?” Nella figura a sinistra è riportata la

risposta alla domanda: posso

sostituire solo le aste tese perché la

fune resiste solo a trazione.

Facciamo ancora un esempio:

supponiamo che la stessa travatura

sia soggetta ad un carico posto in C,

come illustrato qui a lato. Ovviamente

non posso pensare di sostituire con

due funi le aste AC e CB, come nel

caso precedente: il peso cadrebbe al

suolo. sostituire l’asta AB

Posso invece

con una fune e mantenere stabile

la forma della travatura. La fune,

infatti trattiene il carrello B che

tende ad allontanarsi verso destra

per effetto del peso che, se non ci

fosse la fune, divaricherebbe le

due aste inclinate.

Non è sufficiente però ricorrere ad un metodo semplicemente intuitivo quando

si progettano travature più complesse. Vedremo in seguito due metodi per

determinare la forza assiale nelle aste. Posso costruire travature reticolari

triangolate più complesse aggiungendo su un lato del triangolo iniziale due

nuove aste e una nuova cerniera, e così via. Se invece alla travatura

composta da due triangoli

ABCD (rappresentata in piccolo

qui a sinistra) aggiungo un’altra

asta diagonale DC, ottengo una

travatura internamente

iperstatica.

Operando in questo modo ottengo travature reticolari che sono internamente

isostatiche, ossia è possibile calcolare le forze interne delle aste usando solo

equazioni di equilibrio.

Equilibrio delle travature triangolate

Condizione necessaria per l’equilibrio:

  2

a s n

= numero delle aste

a = numero dei vincoli semplici

s

฀ = numero dei nodi

n

฀ Se:

฀ e i vincoli sono ben Equilibrio

 

a s 2n disposti isostatico

e i vincoli sono ben Equilibrio

 

a s 2n disposti iperstatico

฀

฀    Equilibrio

a s 2n

 impossibile

  e i vincoli sono mal



a s 2n disposti

฀

Esempi di equilibrio isostatico

13  

 

  



a n n

n a

a s s

s 8 6

4 9

5 3 3

3

  

 

13 3 2 8 5 9

3 3

2 2

4 6

16 12

 ฀

฀ ฀ ฀ ฀ ฀

฀ ฀

฀ 16 12

8 8

e vincoli ben e vincoli ben

e vincoli ben disposti ฀ ฀

฀ disposti disposti

฀ ฀

฀ Esempi di equilibrio iperstatico 

    

 

13 n

a s n a s

s n

a 6

5 4 4 9 4

4 8  

   9 4 2 6

13 4 5

2 4

8 2 4

16 12

 ฀

฀ ฀ ฀ ฀ ฀

฀ ฀

฀ 17 13

9 8

฀

฀ ฀ e vincoli ben

e vincoli ben disposti e vincoli ben disposti disposti

฀ ฀

฀ Esempi di equilibrio impossibile

10  

 

 





a n n

n a s

a

s

s 6

4

7 4

5 9

3

3  

  



10 5 9

3 4

3 2 2

2 4 6

7

14 12

 ฀

฀ ฀ ฀ ฀ ฀

฀ ฀

฀ 13 13

8 8

฀ ฀

฀ e vincoli mal disposti vincoli mal disposti

฀ ฀

฀ Soluzione di travature reticolari triangolate isostatiche

1) Determino, se possibile, le reazioni vincolari

2) Determinazione delle forze interne nelle aste usando il metodo dei nodi

o il metodo delle sezioni

Il metodo dei nodi

Il metodo dei nodi prevede che si isoli ogni singolo nodo della travatura

reticolare e si imponga l’equilibrio del nodo sotto l’azione delle forze

esterne (note) e delle forze normali nelle aste (incognite). Dopo aver

determinato le reazioni vincolari, si isola un nodo canonico, ossia un nodo

in cui convergono solo due aste le cui forze normali sono incognite, e si

impone l’equilibrio. L’equilibrio del nodo può essere studiato

analiticamente o graficamente