Teoria della trave: Appunti di Scienza delle Costruzioni

S I G

CC

II

EE

NN

ZZ

AA DD

EE

LL

LL

EE CC

OO

SS

TT

RR

UU

ZZ

II

OO

NN

II PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

S I G

C I

E N

Z A D

E L

L

E C O S

T R U Z I

O N I P

E R N G

E G N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

TT

EE

O RR

II

AA D

EE

LL

LL

AA TT

RR

AA

VV

EE

O D

T E O R I

A D

E L L

A T R A V

E

S

S

F

O R Z

O N

O R

M A

L E

F

O R Z

O N

O R

M A

L E

C

a p i

t o l

o 1 .

L D S – V (

1 . 1 )

L D S – V (

1 . 1 )

A T R

A

V

E D II EE A

II

N T EE

N A

N T

A T R

A

V

E D A N T N A

N T

A T R

A

V

E D I E A

I N T E N A

N T

Il problema dell’equilibrio dei corpi linearmente elastici, omogenei e isotropi, presenta difficoltà analitiche.

Perciò risultano molto utili le soluzioni ricavate da De Saint-Venant per i solidi monodimensionali (travi)

sotto ben precisate ipotesi. Nel trattare questo argomento assumiamo la notazione:

σ σ σ τ τ τ

= = = = = = = = =

x x , y x , z x , t , t , t , t , t , t

1 2 3 x 11 y 22 z 33 xy 12 yz 23 zx 31

Vediamo ora le ipotesi poste da De Saint-Venant sul solido in esame:

a

) La trave deve essere molto allungata, ad asse rettilineo e sezione costante.

a

)

b ) La trave è vincolata per un piccolo intorno del baricentro della sezione iniziale, che si assume quale

b ) origine di una terna di riferimento, con asse z coincidente con l’asse del solido e diretto verso la sezione

finale, assi x e y coincidenti con gli assi principali d’inerzia della sezione. Ogni sezione retta è riferita ad

un sistema di assi xy coincidenti con gli assi principali di inerzia della stessa e diretti come gli assi x e y

di riferimento globale.

c ) Il materiale del solido è omogeneo e isotropo, e poco deformabile, in modo da poter trascurare gli

c ) spostamenti dei punti della trave quando si confrontano con le sue dimensioni.

d

) La trave si considera priva di peso, e caricata soltanto da forze di superficie sulla sezione finale (o base

d

) libera, poiché non vincolata), e dunque si considera scarica la superficie laterale. σ σ

= =

e ) Gli elementi piani paralleli all’asse della trave non supportano tensioni normali. Dunque .

e ) 0

x y

A queste ipotesi va aggiunto un postulato, che afferma:

f ) Lo stato tensionale del solido, a sufficiente distanza dalle basi caricate, non dipende dalle modalità di

f ) applicazione delle forze esterne, ma soltanto dalle sei caratteristiche meccaniche di esse.

Per l’ipotesi sullo stato tensionale degli elementi piani paralleli all’asse del solido, deve essere:

e)

σ σ σ σ τ τ τ τ τ

= + + + + + = = ∀ =

⇒ ⇒

2 2 2

n n n 2 n n 2 n n 2 n n 0 2 n n 0 ( n , n ) 0

n x x y y z z xy x y yz z y xz x z xy x y x y xy

= = =

( 0 ) ( 0 ) ( 0 )

Le componenti tangenziali secondo x e y sugli elementi piani paralleli all’asse della trave risultano:

τ σ τ τ τ σ τ τ

= + + = = + + =

n n n 0 ; n n n 0

nx x x yx y zx z ny y y xy y zy z

Perciò la tensione tangenziale su tali piani è diretta secondo l’asse della trave. Gli invarianti di tensione sono:

σ τ τ

= = − + =

2 2

I ; I ( ) ; I 0

1 z 2 zx zy 3

L’annullarsi del terzo implica che lo stato tensionale, in nessun punto della trave, è triassiale. Se I =0 lo stato

2

tensionale è monoassiale, altrimenti è piano. Per le ipotesi e le equazioni ai limiti per gli elementi della

c) d),

superficie laterale si scrivono:

σ τ τ τ τ σ

+ + = = = + + = =

n n n p 0 ; p 0 ; n n n p 0

x x yx y zx z x y xz x yz y z z z

= = = =

( 0) ( 0) ( 0) ( 0 )

Per x e y le equazioni si riconducono all’identità 0 = 0 (le p sono nulle per ipotesi). Per la terza, essendo nulla

τ

la somma delle proiezioni di τ e τ su il vettore tensione relativo ad elementi in prossimità della

n, z

zx zy

superficie laterale non ha componente secondo la normale al contorno della generica sezione considerata.

Essendo in ogni punto σ = σ = τ = 0, le equazioni indefinite di equilibrio si scrivono:

x y xy τ τ

∂ ∂

τ τ σ

∂ ∂ ∂

= = + + =

zy yz

zx xz z

0 ; 0 ; 0

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

z z x y z

e mostrano che l’intensità di τ e τ è costante al variare di z. Le relazioni di Navier si riducono a:

zx zy τ

σ ε τ  

2

ε ε ε γ γ γ ϑ ε

= = = − = = = = −

yz

xz

z z

, ; 0 , , ; 1

 

z x y xy xz yz z

 

E m G G m

Per il postulato, escludendo le zone di estremità della trave, la distribuzione delle tensioni nella generica

sezione dipende unicamente dalle caratteristiche di sollecitazione nella stessa. Non variando con z il campo

delle forze definito dal vettore, lo sforzo di taglio ed il momento torcente sono costanti in tutte le sezioni

della trave. Inoltre, per ragioni di equilibrio, anche lo sforzo normale è costante, mentre gli altri due

momenti variano linearmente con z. Enunciamo ora il principio di De Saint-Venant: “Il modo di applicazione e

di distribuzione delle forze sulle basi del prisma è del tutto ininfluente sugli effetti prodotti nel corpo, per cui è sempre

possibile sostituire, con un buon grado di approssimazione, le forze applicate con delle forze staticamente equivalenti,

R S – C S 1

II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

S I G

CC

II

EE

NN

ZZ

AA DD

EE

LL

LL

EE CC

OO

SS

TT

RR

UU

ZZ

II

OO

NN

II PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

S I G

C I

E N

Z A D

E L

L

E C O S

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O N I P

E R N G

E G N

E R I

A E S

T I

O N

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E

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EE

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II

AA D

EE

LL

LL

AA TT

RR

AA

VV

EE

O D

T E O R I

A D

E L L

A T R A V

E

cioè con stesso momento globale e stessa risultante, ma distribuito esattamente così come si richiede perché le formule

che si ricavano per lo sforzo normale, la flessione e la torsione siano rigorosamente esatte”.

Si dimostra che vale la seguente relazione tra la tensione σ e le caratteristiche di sollecitazione:

z

M T

M T

N

σ = − + − +

y y

x x

x y xz yz

z A I I I I

y x y x

con A area della sezione considerata, e I , I i momenti d’inerzia della sezione rispetto agli assi x e y

x y

rispettivamente. Le travi reali (o tecniche) non hanno certamente le caratteristiche di quella di De Saint-

Venant, sia per le condizioni di carico e/o vincolo, sia per la forma stessa. Tuttavia, per il loro studio,

ricorreremo comunque ai risultati di questo capitolo (con notevoli forzature). Noti i carichi esterni attivi

agenti sulla trave, determinate le reazioni vincolari e dedotti i diagrammi delle caratteristiche di

sollecitazione, per ciascuna di esse prenderemo in esame un tratto di trave dz, incastrato in un intorno

piccolissimo del baricentro della sezione iniziale di ascissa z, nel quale si possono considerare costanti la

sezione, le proprietà del materiale, la sollecitazione considerata. Riferiremo tale concio elementare alla

sezione iniziale, il cui baricentro abbiamo assunto come origine, e assumeremo per tale elemento tutte le

ipotesi di De Saint-Venant. In tal modo si trascura il peso del concio, si considera scarica la superficie laterale

e si assume in ogni punto σ = σ = τ = 0 e la relazione precedente di σ . Note le speciali di tensione in ogni

x y xy z

punto del concio, determineremo le associate speciali di deformazione, in modo che sia del tutto nota la

risposta dell’elemento di trave studiato alla caratteristica di sollecitazione considerata. Sarà infine possibile,

con processi di integrazione, determinare la deformazione della trave nel suo insieme, come risultante dalla

deformazione dei conci elementari che la costituiscono.

S (

1 . 2 )

S (

1 . 2 )

FF

O R

Z O N O R

M A

L E S

E M P

L II

C

E

O R

Z O N O R

M A

L E S

E M P

L C

E

F

O R

Z O N O R

M A

L E S

E M P

L I C

E

Si ha quando le forze agenti sulla base libera di una trave di Saint-Venant possono

sforzo normale semplice

ridursi ad una forza assiale baricentrica. L’unica caratteristica di sollecitazione diversa da zero è N, costante

in ogni sezione e >0 se di trazione (uscente), < 0 se di compressione (entrante). L’unica componente speciale

, che vale N/A. Determiniamo le tensioni che si destano in una sezione

di tensione diversa da zero è σ

z

inclinata della trave, di normale che forma un angolo ϕ con l’asse della trave. Consideriamo ϕ positivo se

n,

l’asse z ruota in senso antiorario per portarsi su Per l’omogeneità dello stato tensionale, in ogni punto

n.

della sezione inclinata si ha la stessa t = N/A = σ cosϕ, con A =A/cosϕ area della sezione obliqua.

ϕ z ϕ

n

Scomponendo la tensione secondo la normale e la tangente all’elemento obliquo, si trova:

σ ϕ σ ϕ τ ϕ σ ϕ ϕ

= = = =

2

t cos cos ; t sin cos sin

ϕ ϕ

n z n z

Le componenti della tensione sono dunque funzioni dell’ inclinazione della sezione. Si evince che se essa è

nulla (sezione retta), la componente normale coincide con σ e quella tangenziale è nulla. Se invece ϕ =π/2,

z

entrambe le componenti sono nulle. Per la legge di Hooke, in ogni punto della trave gli scorrimenti angolari

γ sono nulli, essendo nulle le omologhe componenti speciali di tensione τ . Le componenti speciali di

ij ij

deformazione non nulle sono: σ σ

N N

ε ε ε

= = = = − =−

( z ) ( z )

z z

,

z x y

E E A mE mE A

( z ) ( z ) ( z ) ( z ) ( z ) ( z )

ε

ε

ε = ∂ ∂

= ∂ ∂

= ∂ ∂

Essendo , , , con funzioni di x, y, z, integrando si ottiene:

u, v, w

w z

v y

u x z

y

x N

N N

ε ε ε

= = − = = − = = ( z )

u x x ; v y y ; w z z

x y z

mEA mEA E A

( z ) ( z )

Il generico punto P’(x’,y’,z’), a deformazione avvenuta si porta in P(x,y,z) con le relazioni x = x’ + y = y’ +

u, v,

e z = z’ + I punti che nella configurazione iniziale appartengono ad una sezione retta, nella configurazione

w.

deformata si trovano ancora su un piano di equazione z = z*= cost, ma traslato parallelamente di una

lunghezza pari a Nz*/AE. In particolare la sezione libera della trave z=L subisce uno spostamento pari alla

variazione di lunghezza della trave stessa: = ΔL=NL/EA; la costante EA/L si definisce

w rigidezza a sforzo

K , mentre il suo inverso si definisce D . Vediamo ora le deformazioni

normale deformabilità a sforzo normale

N N

subite dalle sezioni normali della trave. Notiamo che e non dipendono da z, e pertanto tutte le sezioni si

u v

deformano allo stesso modo. Le coordinate x e y del generico punto P sono proporzionali alle coordinate x’ e

= − . Dunque, sovrapponendo i piani della

y’, del corrispondente punto P’, secondo il fattore r 1 ( N mEA

)

R S – C S

2 II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

S I G

CC

II

EE

NN

ZZ

AA DD

EE

LL

LL

EE CC

OO

SS

TT

RR

UU

ZZ

II

OO

NN

II PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

S I G

C I

E N

Z A D

E L

L

E C O S

T R U Z I

O N I P

E R N G

E G N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

TT

EE

O RR

II

AA D

EE

LL

LL

AA TT

RR

AA

VV

EE

O D

T E O R I

A D

E L L

A T R A V

E

sezione naturale e di quella deformata, i punti delle due sezioni si

corrispondono in una di rapporto e centro il baricentro della

1

omotetia r

sezione. Essendo per i materiali noti m>0, per N>0 è <1 e la sezione si

r

contrae come in figura, se invece N<0 è >1 e la sezione si dilata. Il

r

coefficiente di dilatazione cubica vale in ogni punto

ϑ ε ε ε

= + + = − , e la variazione di volume della trave

( N EA

)(1 2 m )

x y z

è ΔV=ϑV, con V=AL. Le espressioni dell’energia potenziale elastica

unitaria e di quella immagazzinata dalla trave, divengono:

   2 2

1 1 N N 1 N 1 N 1

ϕ σ ε ϕ

= = = Φ = = = = =

; L V L L Nw

  

z z i e

2

  

2 2 A EA 2 EA 2 EA 2

Nei casi pratici, per quanto riguarda lo sforzo normale semplice, possiamo avere due tipi differenti di

problemi: di verifica e di progetto. Per il primo, possono verificarsi i seguenti casi:

1. Noti l’area A della sezione della trave e lo sforzo normale N, verificare la tensione unitaria massima cui è

sottoposto il materiale. Basta calcolare la σ e verificare che essa sia inferiore a quella ammissibile del

z

σ σ σ σ

= ≤ = ≤