Teoria della trave: Appunti di Scienza delle Costruzioni

EE

NN

ZZ

AA DD

EE

LL

LL

EE CC

OO

SS

TT

RR

UU

ZZ

II

OO

NN

II PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

S I G

C I

E N

Z A D

E L

L

E C O S

T R U Z I

O N I P

E R N G

E G N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

TT

EE

O RR

II

AA D

EE

LL

LL

AA TT

RR

AA

VV

EE

O D

T E O R I

A D

E L L

A T R A V

E

cioè con stesso momento globale e stessa risultante, ma distribuito esattamente così come si richiede perché le formule

che si ricavano per lo sforzo normale, la flessione e la torsione siano rigorosamente esatte”.

Si dimostra che vale la seguente relazione tra la tensione σ e le caratteristiche di sollecitazione:

z

M T

M T

N

σ = − + − +

y y

x x

x y xz yz

z A I I I I

y x y x

con A area della sezione considerata, e I , I i momenti d’inerzia della sezione rispetto agli assi x e y

x y

rispettivamente. Le travi reali (o tecniche) non hanno certamente le caratteristiche di quella di De Saint-

Venant, sia per le condizioni di carico e/o vincolo, sia per la forma stessa. Tuttavia, per il loro studio,

ricorreremo comunque ai risultati di questo capitolo (con notevoli forzature). Noti i carichi esterni attivi

agenti sulla trave, determinate le reazioni vincolari e dedotti i diagrammi delle caratteristiche di

sollecitazione, per ciascuna di esse prenderemo in esame un tratto di trave dz, incastrato in un intorno

piccolissimo del baricentro della sezione iniziale di ascissa z, nel quale si possono considerare costanti la

sezione, le proprietà del materiale, la sollecitazione considerata. Riferiremo tale concio elementare alla

sezione iniziale, il cui baricentro abbiamo assunto come origine, e assumeremo per tale elemento tutte le

ipotesi di De Saint-Venant. In tal modo si trascura il peso del concio, si considera scarica la superficie laterale

e si assume in ogni punto σ = σ = τ = 0 e la relazione precedente di σ . Note le speciali di tensione in ogni

x y xy z

punto del concio, determineremo le associate speciali di deformazione, in modo che sia del tutto nota la

risposta dell’elemento di trave studiato alla caratteristica di sollecitazione considerata. Sarà infine possibile,

con processi di integrazione, determinare la deformazione della trave nel suo insieme, come risultante dalla

deformazione dei conci elementari che la costituiscono.

S (

1 . 2 )

S (

1 . 2 )

FF

O R

Z O N O R

M A

L E S

E M P

L II

C

E

O R

Z O N O R

M A

L E S

E M P

L C

E

F

O R

Z O N O R

M A

L E S

E M P

L I C

E

Si ha quando le forze agenti sulla base libera di una trave di Saint-Venant possono

sforzo normale semplice

ridursi ad una forza assiale baricentrica. L’unica caratteristica di sollecitazione diversa da zero è N, costante

in ogni sezione e >0 se di trazione (uscente), < 0 se di compressione (entrante). L’unica componente speciale

, che vale N/A. Determiniamo le tensioni che si destano in una sezione

di tensione diversa da zero è σ

z

inclinata della trave, di normale che forma un angolo ϕ con l’asse della trave. Consideriamo ϕ positivo se

n,

l’asse z ruota in senso antiorario per portarsi su Per l’omogeneità dello stato tensionale, in ogni punto

n.

della sezione inclinata si ha la stessa t = N/A = σ cosϕ, con A =A/cosϕ area della sezione obliqua.

ϕ z ϕ

n

Scomponendo la tensione secondo la normale e la tangente all’elemento obliquo, si trova:

σ ϕ σ ϕ τ ϕ σ ϕ ϕ

= = = =

2

t cos cos ; t sin cos sin

ϕ ϕ

n z n z

Le componenti della tensione sono dunque funzioni dell’ inclinazione della sezione. Si evince che se essa è

nulla (sezione retta), la componente normale coincide con σ e quella tangenziale è nulla. Se invece ϕ =π/2,

z

entrambe le componenti sono nulle. Per la legge di Hooke, in ogni punto della trave gli scorrimenti angolari

γ sono nulli, essendo nulle le omologhe componenti speciali di tensione τ . Le componenti speciali di

ij ij

deformazione non nulle sono: σ σ

N N

ε ε ε

= = = = − =−

( z ) ( z )

z z

,

z x y

E E A mE mE A

( z ) ( z ) ( z ) ( z ) ( z ) ( z )

ε

ε

ε = ∂ ∂

= ∂ ∂

= ∂ ∂

Essendo , , , con funzioni di x, y, z, integrando si ottiene:

u, v, w

w z

v y

u x z

y

x N

N N

ε ε ε

= = − = = − = = ( z )

u x x ; v y y ; w z z

x y z

mEA mEA E A

( z ) ( z )

Il generico punto P’(x’,y’,z’), a deformazione avvenuta si porta in P(x,y,z) con le relazioni x = x’ + y = y’ +

u, v,

e z = z’ + I punti che nella configurazione iniziale appartengono ad una sezione retta, nella configurazione

w.

deformata si trovano ancora su un piano di equazione z = z*= cost, ma traslato parallelamente di una

lunghezza pari a Nz*/AE. In particolare la sezione libera della trave z=L subisce uno spostamento pari alla

variazione di lunghezza della trave stessa: = ΔL=NL/EA; la costante EA/L si definisce

w rigidezza a sforzo

K , mentre il suo inverso si definisce D . Vediamo ora le deformazioni

normale deformabilità a sforzo normale

N N

subite dalle sezioni normali della trave. Notiamo che e non dipendono da z, e pertanto tutte le sezioni si

u v

deformano allo stesso modo. Le coordinate x e y del generico punto P sono proporzionali alle coordinate x’ e

= − . Dunque, sovrapponendo i piani della

y’, del corrispondente punto P’, secondo il fattore r 1 ( N mEA

)

R S – C S

2 II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

S I G

CC

II

EE

NN

ZZ

AA DD

EE

LL

LL

EE CC

OO

SS

TT

RR

UU

ZZ

II

OO

NN

II PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

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RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

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LL

EE

S I G

C I

E N

Z A D

E L

L

E C O S

T R U Z I

O N I P

E R N G

E G N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

TT

EE

O RR

II

AA D

EE

LL

LL

AA TT

RR

AA

VV

EE

O D

T E O R I

A D

E L L

A T R A V

E

sezione naturale e di quella deformata, i punti delle due sezioni si

corrispondono in una di rapporto e centro il baricentro della

1

omotetia r

sezione. Essendo per i materiali noti m>0, per N>0 è <1 e la sezione si

r

contrae come in figura, se invece N<0 è >1 e la sezione si dilata. Il

r

coefficiente di dilatazione cubica vale in ogni punto

ϑ ε ε ε

= + + = − , e la variazione di volume della trave

( N EA

)(1 2 m )

x y z

è ΔV=ϑV, con V=AL. Le espressioni dell’energia potenziale elastica

unitaria e di quella immagazzinata dalla trave, divengono:

   2 2

1 1 N N 1 N 1 N 1

ϕ σ ε ϕ

= = = Φ = = = = =

; L V L L Nw

  

z z i e

2

  

2 2 A EA 2 EA 2 EA 2

Nei casi pratici, per quanto riguarda lo sforzo normale semplice, possiamo avere due tipi differenti di

problemi: di verifica e di progetto. Per il primo, possono verificarsi i seguenti casi:

1. Noti l’area A della sezione della trave e lo sforzo normale N, verificare la tensione unitaria massima cui è

sottoposto il materiale. Basta calcolare la σ e verificare che essa sia inferiore a quella ammissibile del

z

σ σ σ σ

= ≤ = ≤

nel caso di trazione, nel caso di compressione.

materiale: N / A | | | N | / A | |

z at z ac

2. Nota la sezione A della trave e assegnata la tensione ammissibile del materiale, determinare il valore

massimo dello sforzo normale sopportabile. Il valore cercato sarà dato da N =σ A o |N |=|σ A|.

max at max ac

Per i problemi di progetto, calcolato lo sforzo normale e assegnata la tensione ammissibile (cioè il materiale),

occorre determinare la sezione da assegnare alla trave. Fissata la forma, possono presentarsi due casi:

1. La forma della sezione è regolare. Si pone allora l’area A in funzione di una dimensione che resta

nel caso di trazione, A=|N|/|σ | nel caso di

incognita, e si risolve rispetto a questa l’equazione A=N/σ

at ac

compressione.

2. La forma della sezione è irregolare. Se A’ è l’area di una figura omotetica ad A, e sono due

h’ h

dimensioni corrispondenti nelle due figure, dovendo essere si determina σ A’)

h/h’=√(A/A’), h=h’√(N/ at

nel caso di trazione, e |A’) nel caso di compressione.

h=h’√(|N|/|σ

ac

Vediamo come estendere i risultati ad una trave reale. Si abbia una trave ad asse rettilineo, comunque

vincolata, comunque caricata, a sezione e modulo elastico E comunque variabili. Determinato per essa il

diagramma dello sforzo normale, sia N(z) il valore che esso assume nella sezione di ascissa z e area A. A

partire da z consideriamo un concio elementare di lunghezza dz, nel quale possiamo considerare costanti

sforzo normale, sezione trasversale e modulo E. Riferiamo tale tratto di trave (di cui consideriamo scarica la

superficie laterale e trascurabile il peso) alla sezione iniziale, di ascissa z, e applichiamo ad esso i risultati

ottenuti per la trave di Saint-Venant. Troviamo, con le formule di cui sopra, σ , la variazione di lunghezza

z(z)

del concio ε dz, e la variazione delle lunghezze trasversali della sezione, definita dai coefficienti d