Scienza delle Costruzioni - teoria

Prodotto Scalare

Dati due vettori u e v, si ottiene:

u · v = |u| |v| cosα

In termini di componenti:

u · v = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z

Il prodotto scalare ci dà il prodotto tra il modulo del primo vettore e la proiezione del secondo vettore lungo la retta su cui giace il primo.

1. Se u · v = 0 allora α = 90°
2. Se u · v < 0 allora α > 90°
3. Se u · v > 0 allora α < 90°

Prodotto Vettoriale

Dati due vettori u e v, il loro prodotto vettoriale è un vettore che ha:

1. Direzione perpendicolare al piano che contiene i due vettori;
2. Verso dato dalla regola della mano destra;
3. Modulo uguale all'area del parallelogramma formato dai vettori u e v.

u × v = |u| |v| senα

Regola della mano destra

Secondo la regola della mano destra, se si pone il pollice nel verso del vettore u e le altre dita nel verso di v, allora il vettore u × v è uscente dal palmo della mano.

In termini di componenti, il prodotto vettoriale sarà:

u × v = ^| _{ux vx} ^î _{uy vy} ^ĵ _{uz vz} ^k̂

Il prodotto vettoriale è uguale al determinante della matrice:

det(u × v) = î(u_yv_z) + ĵ(u_zv_x) + k̂(u_xv_y) - î(u_zv_y) + ĵ(u_xv_z) - k̂(u_yv_x)

Raggruppando i termini si ottiene:

(u_yv_z - u_zv_y)î + (u_zv_x - u_xv_z)ĵ + (u_xv_y - u_yv_x)k̂

LA TENSIONE NON È UNA QUANTITA' FISICA MISURABILE COME

LA DEFORMAZIONE O GLI SPOSTAMENTI, MA È UNA QUANTITA'

IDEALE.

DUNQUE, LA TENSIONE È OTTENUTA DA UN LIMITE MATEMATICO.

SE CONSIDERIAMO UN'AREA

SULLA SUPERFICIE DI SEPA-

RAZIONE, LA RISULTANTE DELLE FORZE MUTE SI CHIAMERÀ

È QUELLA DEI MOMENTI

PERCIÒ:

_ΔΩ→0

_ΔΩ

=

_ΔΩ→0

DIMOSTRAZIONE

(PER IL PRINCIPIO DI AZIONE-REAZIONE)

CONSIDERIAMO UN CILINDRO INFINITESIMO

DI ALTEZZA h, CHE HA COME SUPERFICIE

QUELLA INDIVIDUATA DALL'INTORNO

DEL

PUNTO P, SAPENDO CHE:

• m è LA NORMALE ALLA SUPERFICIE LATERALE,
• ds è l'ASCISSA CURVILINEA PER UNA

CURVA CHE GIACE SULLA SUPERFICIE

LATERALE.

PER L'EQUILIBRIO, SI HA:

ΔS + ΔS + ∫ Δsh + ∫ ds = 0

SE h → 0 :

ΔS + ΔS = 0

DUNQUE:

=

Componenti Principali ed Invarianti di Tensione

Esistono delle direzioni particolari lungo le quali il vettore t_m è parallelo ad m, le componenti tangenziali sono nulle e si hanno solo le componenti normali σ_m, tali direzioni prendono il nome di "direzioni principali di tensione".

Sappiamo che:

t_m = σ_m m ⇒ (σ - σ_mI) m = 0 (polinomio caratteristico)

Inoltre:

• t_nx = σ_m m_x = σ_x m_x + τ_xy m_y + τ_xz m_z
• t_ny = σ_m m_y = τ_yx m_x + σ_y m_y + τ_yz m_z
• t_nz = σ_m m_z = τ_zx m_x + τ_zy m_y + σ_z m_z

Da cui si ottiene:

• (σ_x - σ_m) m_x + τ_xy m_y + τ_xz m_z = 0
• τ_yx m_x + (σ_y - σ_m) m_y + τ_yz m_z = 0
• τ_zx m_x + τ_zy m_y + (σ_z - σ_m) m_z = 0

Affinché il sistema ammetta soluzioni non banali, deve essere valido il teorema di Rouché-Capelli:

det(A) ≠ 0

det [ (σ_x - σ_m) τ_xy τ_xz τ_yx (σ_y - σ_m) τ_yz τ_zx τ_zy (σ_z - σ_m) ] = 0

Calcolo del Determinante:

(σ_x - σ_m)(σ_y - σ_m)(σ_z - σ_m) + 2τ_xyτ_xzτ_yz - τ_xz²(σ_y - σ_m) +

- τ_yz² (σ_x - σ_m) - τ_xy² (σ_z - σ_m) = 0

(σ_x σ_y - σ_x σ_m - σ_y σ_m + σ_m²)(σ_z - σ_m) + 2τ_xyτ_xzτ_yz - τ_xz²(σ_y - σ_m) +

- τ_yz²(σ_x - σ_m) - τ_xy²(σ_z - σ_m) = 0

Il tensore diventa:

_σ^~ =

[σ_x σ_xy 0]

[σ_xy σ_y 0]

[0 0 0]

t_m = σ_m

t_z = σ_z = 0

Quindi la condizione necessaria affinché uno stato di tensione sia piano è che una delle tensioni principali sia nulla.

Condizione sufficiente

Assumiamo σ₁ ≠ 0, σ₂ ≠ 0, σ₃ = 0

Avremo:

σ =

[σ₁ 0 0]

[0 σ₂ 0]

[0 0 0]

Consideriamo una giaciatura di normale m^~:

Vogliamo calcolare:

t_m = σ^~ m^~ =

[σ₁ 0 0]

[0 σ₂ 0]

[0 0 0]

[m₁, m₂, m₃].

Avremo:

t_m1 = σ₁ m₁

t_m2 = σ₂ m₂

t_m3 = σ₃ m₃ = 0·m₃ = 0

Gli invarianti di tensione saranno:

I₁ = σ₁ + σ₂ + σ₃ = σ₁ + σ₂

I₂ = σ₁σ₂ - σ₁σ₃ - σ₂σ₃ = σ₁σ₂

I₃ = σ₁σ₂σ₃ = 0

Stato tensionale monassiale ⇒ σ₁ = 0, σ₂ = 0, σ₃ ≠ 0

^N.B. Uno stato di tensione piano implica il II invariante nullo!

2. \( \left( \sigma_m - \frac{\sigma_1 + \sigma_3}{2} \right)^2 + \tau_m^2 - \left( \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} \right)^2 \le 0 \)

CENTRO:

\( C_2 = \frac{\sigma_1 + \sigma_3}{2} \)

RAGGIO:

\( R_2 = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} \)

come soluzione otteniamo i punti interni alla circonferenza (compreso il contorno)

3. \( \left( \sigma_m - \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2} \right)^2 + \tau_m^2 - \left( \frac{\sigma_1 - \sigma_2}{2} \right)^2 \ge 0 \)

CENTRO:

\( C_3 = \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2} \)

RAGGIO:

\( R = \frac{\sigma_1 - \sigma_2}{2} \)

come soluzione otteniamo i punti esterni alla circonferenza (compreso il contorno)

L'area compresa tra le circonferenze prende il nome di ARBELŌ DI MOHR

La massima tensione tangenziale corrisponde al più grande dei raggi dei tre cerchi:

\( \tau_{max} = \frac{1}{2} \max \left\lbrace |\sigma_1 - \sigma_2|, |\sigma_2 - \sigma_3|, |\sigma_1 - \sigma_3| \right\rbrace \)