Scienza delle Costruzioni - teoria

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Revisionato il 09/06/2026

di 91fra

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Appunti di scienza delle costruzioni basato su appunti personali del publisher presi alle lezioni dell’università degli Studi della Calabria - Unical, della facoltà di …

Esame Scienza delle costruzioni

Facoltà Ingegneria

Università Università della Calabria

A.A. 2017-2018

68 pagine

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Estratto del documento

Prodotto scalare

Dati due vettori _u e v, si ottiene:

_u · v = |_u| |v| cos_α

In termini di componenti:

_u · v = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z

Il prodotto scalare ci dà il prodotto tra il modulo del primo vettore e la proiezione del secondo vettore lungo la retta su cui giace il primo.

Se _u · v = 0 allora α = 90°
Se _u · v < 0 allora α > 90°
Se _u · v > 0 allora α < 90°

Prodotto vettoriale

Dati due vettori _u e _v, il loro prodotto vettoriale è un vettore che ha:

Direzione perpendicolare al piano che contiene i due vettori;
Verso dato dalla regola della mano destra;
Modulo uguale all'area del parallelogramma formato dai vettori _u e _v.

_u × v = |_u| |v| sen_α

Prodotto scalare

Dati due vettori _μ e _v, si ottiene:

_μ・_v = |_μ| |_v| cosα

In termini di componenti:

_μ・_v = _{μ_x} V_x + _{μ_y} V_y + _{μ_z} V_z

Il prodotto scalare ci dà il prodotto tra il modulo del primo vettore e la proiezione del secondo vettore lungo la retta su cui giace il primo.

Se _μ・_v = 0 allora α = 90°
Se _μ・_v < 0 allora α > 90°
Se _μ・_v > 0 allora α < 90°

Prodotto vettoriale

Dati due vettori _μ e _v, il loro prodotto vettoriale è un vettore che ha:

Direzione perpendicolare al piano che contiene i due vettori;
Verso dato dalla regola della mano destra;
Modulo uguale all'area del parallelogramma formato dai vettori _μ e _v.

_μ × _v = |_μ| |_v| senα

Regola della mano destra

Secondo la regola della mano destra, se si pone il pollice nel verso del vettore u e le altre dita nel verso di v, allora il vettore u × v è uscente dal palmo della mano.

In termini di componenti, il prodotto vettoriale sarà:

u × v = [ û ĵ K u_x u_y u_z v_x v_y v_z]

Il prodotto vettoriale è uguale al determinante della matrice:

det (u × v) = û(u_yv_z) + ĵ (u_zv_x) + &kirc;(u_xv_y) - û(u_zv_y) + - ĵ (u_xv_z) - &kirc;(u_yv_x)

Raggruppando i termini si ottiene:

(u_yv_z - u_zv_y) û + (u_zv_x - u_xv_z) ĵ + (u_xv_y - u_yv_x) &kirc;

Analisi della tensione

Si consideri un corpo continuo nello spazio, i cui punti sono riferiti ad un sistema di assi O_xyz, sia V la regione di spazio occupata dal corpo ed S la sua frontiera.

Su ogni elemento infinitesimo dS della superficie esterna S sia applicata una forza superficiale infinitesima:

d=pdS

dove:=(p_x,p_y,p_z)

Su ciascun elemento infinitesimo dV del volume V, sia applicata una forza di volume infinitesima:

dQ=FdV

dove:F=(X,Y,Z)

Dunque:

è una forza di superficie (esempio: pressione esercitata da un liquido sul solido che vi è immerso)
F è una forza di volume (esempio: forza peso)

In assenza di vincoli esterni, il sistema delle, p e delle f, deve rispettare le 6 condizioni di equilibrio statico del corpo, cioè:

Equazioni di equilibrio alla traslazione lungo gli assi

\[\int_{S} p_x dS + \int_{V} X dV = 0\]

\[\int_{S} p_y dS + \int_{V} Y dV = 0\]

\[\int_{S} p_z dS + \int_{V} Z dV = 0\]

Equazioni di equilibrio alla rotazione intorno agli assi

\[\int_{S} (p_z y - p_y z) dS + \int_{V} (\bar{Z}_y - \bar{Y}_z) dV = 0\]

\[\int_{S} (p_x z - p_z x) dS + \int_{V} (X_z - \bar{Z}_x) dV = 0\]

\[\int_{S} (p_y x - p_x y) dS + \int_{V} (Y_x - X_y) dV = 0\]

Si supponga di sezionare un corpo in due parti mediante un taglio.

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